1、热点热点(十四十四) 新定义新定义，新背景新背景，新情境新情境 1定义集合 A，B 的一种运算：A*Bx|xx1x2，其中 x1A，x2B，若 A1,2,3， B1,2，则 A*B( ) A1,2,3,4,5 B2,3,4,5 C2,3,4 D1,3,4,5 2若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函 数”，那么函数解析式为 yx2，值域为1,4的“同族函数”共有( ) A7 个 B8 个 C9 个 D10 个 3设数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn S2n为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差 数列bn的首项为 1， 公差不为 0， 若数列bn为“
2、吉祥数列”， 则数列bn的通项公式为( ) Abnn1 Bbn2n1 Cbnn1 Dbn2n1 42020 辽宁省实验中学摸底科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体，称 之为“扭曲棱柱”对于空间中的凸多面体，数学家欧拉发现了它的顶点数、棱数与面数存 在一定的数量关系(如下表) 凸多面体 顶点数 棱数 面数 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱锥 6 10 6 六棱锥 7 12 7 根据上表所体现的数量关系可得，有 12 个顶点、8 个面的扭曲棱柱的棱数是( ) A14 B16 C18 D20 5定义一种运算： a b c d adbc.已知函数 f(x) sin x sin
3、3 cos x cos 3 ，为了得到函数 ysin x 的图象，只需要把函数 yf(x)的图象上所有的点( ) A向左平移 3个单位长度 B向右平移 3个单位长度 C向上平移 3个单位长度 D向下平移 3个单位长度 6 定义 d(a， b)|ab|为两个向量 a， b 间的“距离” 若向量 a， b 满足： |b|1； ab； 对任意 tR，恒有 d(a，tb)d(a，b)，则( ) Aab Ba(ab) Cb(ab) D(ab)(ab) 7定义 n i1 n ui 为 n 个正数 u1，u2，u3，un的“快乐数”若已知数列an的前 n 项的“快 乐数”为 1 3n1，则数列 36 an2
4、an12 的前 2 019 项和为( ) A.2 018 2 019 B. 2 019 2 020 C. 2 019 2 018 D. 2 019 1 010 82020 陕西咸阳模考设函数 f(x)的定义域为 D，如果对任意的 x1D，存在 x2D，使 得 f(x1)f(x2)成立，则称函数 f(x)为“H 函数”下列为“H 函数”的是( ) Af(x)sin xcos xcos2x Bf(x)ln xex Cf(x)2x Df(x)x22x 92020 江苏南京师大附中期中已知函数 f(x)的定义域为 D，若存在闭区间a，bD， 使得 f(x)满足f(x)在a，b上是单调函数，f(x)在a
5、，b上的值域为2a,2b，则称区间a，b 为 f(x)的“倍增区间”下列函数存在“倍增区间”的是( ) Af(x)x1(xR) Bf(x)x2(x0) Cf(x)x1 x(x0) Df(x)3 x(xR) 102020 陕西渭南二模定义一种运算：(a1，a2)(a3，a4)a1a4a2a3，将函数 f(x)( 3， 2sin x)(cos x，cos 2x)的图象向左平移 n(n0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则 n 的最小值为( ) A. 12 B. 4 C. 5 12 D. 3 11定义：分子为 1 且分母为正整数的分数叫作单位分数，我们可以把 1 拆分成多个不同 的单位分数之
6、和例如：11 2 1 3 1 6，1 1 2 1 4 1 6 1 12，1 1 2 1 5 1 6 1 12 1 20，依此拆 分方法可得，11 2 1 6 1 12 1 m 1 n 1 30 1 42 1 56 1 72 1 90 1 110 1 132 1 156 1 182，其中 m， nN*，则 mn( ) A2 B4 C6 D8 12若定义在 R 上的奇函数 f(x)满足对任意的 x1，x2R，且 x1x2，都有fx1fx2 x1x2 0， 则称该函数为满足约束条件 K 的一个“K 函数”下列为“K 函数”的是( ) Af(x)x1 Bf(x)x3 Cf(x)1 x Df(x)x|x
7、| 13 2020 江苏如东创新班月考用 C(A)表示非空集合 A 中的元素的个数， 定义 A*B|C(A) C(B)|.若 A1,1，Bx|(ax23x)(x2ax2)0，A*B1，设实数 a 的所有可能取值 构成集合 S，则 C(S)_. 142020 上海市复兴高级中学期末对于数列an，若存在 i，j(1i0)有且仅有 4 个实数根，则正实数 k 的取值范围为_ 热点热点(十四十四) 新定义新定义，新背景新背景，新情境新情境 1答案：B 解析：当 x11 时，x2可以取 1 或 2，则 x1x22 或 3； 当 x12 时，x2可以取 1 或 2，则 x1x23 或 4； 当 x13 时
8、，x2可以取 1 或 2，则 x1x24 或 5. A*B2,3,4,5故选 B. 2答案：C 解析：由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数函数解析式为 yx2，值域为 1,4，当 x 1 时，y1；当 x 2 时，y4，则定义域可以为1,2，1，2，1,2， 1，2，1，1,2，1，1，2，1,2，2，1，2,2，1，1,2，2，因此 “同族函数”共有 9 个故选 C. 3答案：B 解析：设等差数列bn的公差为 d(d0)， Sn S2nk，因为 b11，则 n 1 2n(n1)d k 2n1 22n2n1d ， 即 2(n1)d4k2k(2n1)d， 整理得(4k1)dn(2k1)(
9、2d)0. 因为对任意的正整数 n 上式均成立， 所以 4k1d2k12d0 ，解得 k1 4 d2 ， 所以数列bn的通项公式为 bn2n1.故选 B. 4答案：C 解析：由题中的表易知同一凸多面体顶点数、棱数与面数间的规律为：棱数顶点数 面数2.所以有 12 个顶点、8 个面的扭曲棱柱的棱数为 128218.故选 C. 5答案：A 解析：由题设知，f(x)sin xcos 3cos xsin 3sin x 3 ，所以为了得到函数 ysin x 的图 象，只需要把函数 f(x)sin x 3 的图象上所有的点向左平移 3个单位长度故选 A. 6答案：C 解析：由题意知 d(a，tb)d(a，
10、b)|atb|ab|，即(atb)2(ab)2， 又|b|1，所以展开整理得 t22a bt2a b10. 因为上式对任意 tR 恒成立， 所以 4(a b)24(2a b1)0， 即(a b1)20，所以 a b 1.于是，b (ab)a b|b|21120，所以 b(ab)故选 C. 7答案：B 解析：由题意得数列an的前 n 项和 Sn n 1 3n1 3n2n，易知 an6n2.于是， 36 an2an12 36 6n6n1 1 n 1 n1， 故数列 36 an2an12 的前 2 019 项和为 11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 2 019 1 2 020 1 1 2
11、020 2 019 2 020.故选 B. 8答案：B 解析：由题意知，“H 函数”的值域关于原点对称 选项 A 中，因为 f(x)sin xcos xcos2x1 2sin 2x 1cos 2x 2 2 2 sin 2x 4 1 2， 所以函数 f(x)的值域为 2 2 1 2， 2 2 1 2 ，该函数的值域不关于原点对称，故选项 A 中 的函数不是“H 函数”； 选项 B 中，函数 f(x)ln xex在(0，)上单调递增，函数 f(x)的值域为 R，关于原点对 称，故选项 B 中的函数是“H 函数”； 选项 C 中，函数 f(x)2x的值域为(0，)，不关于原点对称，故选项 C 中的函
12、数不是 “H 函数”； 选项 D 中，因为 f(x)x22x(x1)211，所以该函数的值域为1，)，不关 于原点对称，故选项 D 中的函数不是“H 函数” 综上，选 B. 9答案：B 解析：对于 A，f(x)x1(xR)在a1，b1(a1b1)上单调递增，则 x12x 没有两个不同 的解，所以 A 不正确 对于 B，f(x)x2(x0)在a2，b2(0a20)在a3，b3(1a31 时没有两个 不同的解；同理得，f(x)的任意单调区间都不符合题意，所以 C 不正确 对于 D，f(x)3x(xR)在a4，b4(a40，等 价于奇函数 f(x)在 R 上单调递增选项 B 中，函数 f(x)x3在
13、 R 上单调递减，故选项 B 中 的函数不是“K 函数” 选项 D 中，函数 f(x)x|x| x2，x0，x2，x0 在 R 上单调递增且为奇函数，故选 项 D 中的函数是“K 函数”故选 D. 13答案：5 解析：因为 A1,1，有两个元素，Bx|(ax23x)(x2ax2)0，且 A*B1， 所以 B 中有一个或者三个元素 当 B 中有一个元素时，(ax23x)(x2ax2)0 有一个解，可得 a0. 当 B 中有 3 个元素时，易知 a0，(ax23x)(x2ax2)0 有三个解，其中的两个为 x1 0，x23 a. 当 x2ax20 有一个解时，令 0，可得 a 2 2； 当 x2a
14、x20 有两个解且其中一个和 0 或者3 a相等时也满足条件， 此时 x3a a 28 2 ，x4a a 28 2 ，显然 x3，x4不等于 0， 所以a a 28 2 3 a或 a a28 2 3 a，解得 a3 或 a3. 综上所述，a 的取值可以为 0,2 2，2 2，3,3，所以构成的集合 S 的元素个数为 5， 即 C(S)5. 14答案：10 解析：由题意知an的“基数列”的项数即 ancos2n 19 的不同的取值个数 由周期性知，只需考虑 02n 19 2 的情况即可， 此时 00)有且仅有 4 个交点， 如图，先画出函数 f(x)的图象，又直线 y1kx(k0)恒过定点 P(0,1)，设点 A，B 的坐标分别 为(3,0)，(4,0)，要使函数 f(x)的图象与直线 y1kx(k0)有且仅有 4 个不同的交点，易知应满 足1 3kPAkkPB 1 4，解得 1 4k 1 3.
