1、热点热点(五五) 基本不等式基本不等式 1(基本不等式)已知 x0，y0，且 2xy1，则 xy 的最大值是( ) A.1 4 B4 C.1 8 D8 2(基本不等式)若正实数 a，b 满足 ab1，则( ) A.1 a 1 b有最大值 4 Bab 有最小值 1 4 Ca2b2有最小值 2 2 D. a b有最大值 2 3(基本不等式)若 a0，b0，且 ab1，则2 a 1 2b的最小值为( ) A5 B.9 2 C4 D.7 2 4(基本不等式)若 ab0，且3 a 4 b1，则 ab 的最小值是( ) A4 3 B74 3 C8 3 D78 3 52020 安徽皖江联盟联考(基本不等式)
2、已知正数 a，b 满足 ab1 a 9 b10，则 ab 的最小值是( ) A2 B3 C4 D5 6(基本不等式)若正数 x，y 满足 x4yxy0，则 xy 的最小值为( ) A9 B8 C5 D4 7(基本不等式)已知 0a0，b0，若不等式4 a 1 b m ab恒成立， 则 m 的最大值为( ) A10 B12 C16 D9 92020 天津南开月考(基本不等式)已知 x0，y0， 3 x2 3 y21，则 x2y 的最小值 为( ) A9 B12 C15 D6 23 10(与向量结合)已知向量 a(x1,2)，b(4，y)，若 ab，则 9x3y的最小值为( ) A2 B2 3 C
3、6 D9 11(与数列结合)在各项均为正数的等比数列an中，a63，则 a4a8( ) A有最小值 6 B有最大值 6 C有最大值 9 D有最小值 3 122020 湘东七校联考(极值与基本不等式结合)已知 f(x)1 3x 3ax2(b4)x1(a0， b0)在 x1 处取得极值，则2 a 1 b的最小值为( ) A.32 2 3 B32 2 C3 D9 13(与三角函数结合) 9 sin2 1 cos2的最小值为_ 14(基本不等式)已知 x0，y0，且 xy1，若不等式 a1 x 9 y恒成立，则实数 a 的最 大值为_ 15 2020 陕西汉中一检(与函数、 直线方程结合)已知函数f(
4、x)loga(x3)1(a0且a1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny40 上，其中 mn0，则 1 m1 2 n的最小值为 _ 162020 湖南五市十校二联(基本不等式成立的条件)已知函数 f(x)x4 x，g(x)2 xa， 若 x1 1 2，1 ， x22,3 ， 使 得f(x1)g(x2) ， 则 实 数a的 取 值 范 围 是 _ 热点热点(五五) 基本不等式基本不等式 1答案：C 解析：2xy 2xy 2 2 1 2 21 4(当且仅当 2xy 1 2时取等号)，xy 1 8，故选 C. 2答案：D 解析：对于 A，取 a0.01，b0.99，则1 a 1 b100
5、4，故 A 错误；对于 B，取 a0.01，b 0.99，则 ab0.009 91 4，故 B 错误；对于 C，取 ab0.5，则 a 2b20.50，b0，ab1，2 a 1 2b(ab) 2 a 1 2b 2 a 2b 2b a 1 2 5 2 a 2b 2b a 5 2 2 a 2b 2b a 9 2，当且仅当 a2b 时等号成立， 2 a 1 2b的最小值为 9 2，故选 B. 4答案：B 解析：ab(ab) 3 a 4 b 3b a 4a b 72 3b a 4a b 74 37，当且仅当 b2 34， a32 3时，取“”，故选 B. 5答案：A 解析：设 abx(x0)，则1 a
6、 9 b10 x， 所以 x(10 x)(ab) 1 a 9 b 109a b b a102 9a b b a16(当且仅当 9a b b a，即 b3a 时取等号)， 所以 x210 x160 且 x0，解得 2x8， 即 2ab8， 所以 ab 的最小值为 2， 故选 A. 6答案：A 解析：x0，y0，x4yxy，4 x 1 y1， xy(xy) 4 x 1 y 5x y 4y x 52 x y 4y x 9，当且仅当 x6，y3 时，取等号， xy 的最小值为 9，故选 A. 7答案：C 解析：0a1，根据基本不等式，得 1 1a 4 a(1a)a 1 1a 4 a 541a a a
7、1a52 49， 当且仅当 0a0，b0，且不等式4 a 1 b m ab恒成立， 所以 m 4 a 1 b (ab)恒成立，等价于 m 4 a 1 b ab min. 因为 4 a 1 b (ab)54b a a b52 4b a a b9(当且仅当 4b a a b，即 a2b 时取等号)，所 以 m9. 即 m 的最大值为 9，故选 D. 9答案：D 解析：设 ax2，by2，则 xa2，yb2. 因为 x0，y0，所以 a2，b2， 所以 3 x2 3 y2 3 a 3 b1(a2，b2)， 所以 x2ya2b6(a2b) 3 a 3 b 636b a 3a b 32 6b a 3a
8、b 36 2， 当且仅当6b a 3a b 且3 a 3 b1，即 a31 2， b33 2 2 时，取等号 故 x2y 的最小值为 6 23. 故选 D. 10答案：C 解析：ab，(x1,2) (4，y)0，4(x1)2y0，即 2xy2. 9x3y2 32x 3y2 32x y2 326，当且仅当 2xy1 时取等号，故选 C. 11答案：A 解析：设等比数列an的公比为 q(q0) a63，a4a6 q2 3 q2，a8a6q 23q2， a4a8 3 q23q 22 3 q2 3q 26， 当且仅当 3 q23q 2，即 q1 时，等号成立，故选 A. 12答案：C 解析：因为 f(
9、x)1 3x 3ax2(b4)x1(a0，b0)， 所以 f(x)x22axb4. 因为 f(x)在 x1 处取得极值， 所以 f(1)0，所以 12ab40，解得 2ab3. 所以2 a 1 b 2 a 1 b 1 3 (2ab) 1 3 42b a 2a b 1 1 3 52 2b a 2a b 3(当且仅当 ab1 时取等号) 故选 C. 13答案：16 解析： 9 sin2 1 cos2(sin 2cos2) 9 sin2 1 cos2 919cos 2 sin2 sin2 cos2912 9cos2 sin2 sin2 cos216. 14答案：16 解析：x0，y0，且 xy1，
10、1 x 9 y(xy) 1 x 9 y 10y x 9x y 102 y x 9x y 16，当且仅当 y3x3 4时取等号 不等式 a1 x 9 y恒成立 1 x 9 y mina， a(，16，即实数 a 的最大值为 16. 15答案：4 3 解析：因为函数 f(x)loga(x3)1(a0 且 a1)的图象恒过定点(2，1)， 所以 A(2，1) 将 A(2，1)的坐标代入 mxny40，得 2mn4， 即 2(m1)n6. 所以 1 m1 2 n 1 m1 2 n 1 62(m1)n 1 6 2 n m1 4m1 n 2 1 6(222 2)4 3，当且仅当 m 1 2，n3 时等号成立 所以 1 m1 2 n的最小值为 4 3. 16答案：(，1 解析：x1 1 2，1 ，x22,3，使得 f(x1)g(x2)， 等价于 f(x1)ming(x2)min x1 1 2，1 ，x22，3 . 因为 f(x)x4 x在区间 1 2，1 上单调递减， 所以在该区间上 f(x)minf(1)14 15. 因为 g(x)2xa 在区间2,3上单调递增， 所以在该区间上 g(x)ming(2)22a4a. 所以 54a，解得 a1， 即实数 a 的取值范围是(，1
