1、立体几何立体几何(6) 12020 大同市测试试题如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AC3，BC4，AB5， AA14，点 D 是 AB 的中点 (1)求证 ACBC1； (2)求证 AC1平面 CDB1； (3)求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值 2 2020 惠州市高三第一次调研考试试题如图， 在四棱锥 P - ABCD 中， PA平面 ABCD， ABC 是正三角形，AC 与 BD 的交点为 M，PAAB4，ADCD，N 是 CD 的中点 (1)求证：MN平面 PAD； (2)求点 M 到平面 PBC 的距离 32020 广东省七校联合体高三第一次联考试题如图所示，
2、四棱锥 P - ABCD 中，PA底 面 ABCD，PA2，ABC90 ，AB 3，BC1，AD2 3，CD4，E 为 CD 的中点 (1)求证：AE平面 PBC； (2)求三棱锥 C - PBE 的体积 42020 唐山市高三年级摸底考试如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧 棱 PD底面 ABCD，PDDC2，点 E 是 PC 的中点 (1)求证：PA平面 BED； (2)若直线 BD 与平面 PBC 所成的角为 30 ，求四棱锥 P - ABCD 的体积 52020 石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试如图，四棱锥 P - ABCD 中，PA底面 ABCD，ACD
3、 是边长为 2 的等边三角形，且 ABBC 2，PA2. (1)求证：平面 PAC平面 PBD； (2)若点 M 是棱 PC 的中点，求直线 PD 与 BM 所成角的余弦值 6 2020 南昌十中期中如图， 直角梯形 ABCD 所在平面与等腰直角三角形 ABE 所在平面 互相垂直，AEB 2，ABCD，ABBC，AB2CD2BC. (1)求证：ABDE. (2)求证：平面 AED平面 BCE. (3)线段 EA 上是否存在一点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出EF EA的值；若不存在，说 明理由 立体几立体几何何(6) 1. 解析：(1)直三棱柱 ABC - A1B1C1底面三边 AC3
4、，BC4，AB5，AC2BC2AB2， ACBC.又 ACCC1， BCCC1C， AC平面 BCC1B1， 又BC1平面 BCC1B1， ACBC1. (2)如图，设 CB1与 C1B 的交点为 E，连接 DE，D 是 AB 的中点，E 是 BC1的中点， DEAC1DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，AC1平面 CDB1. (3)DEAC1，CED 或其补角为 AC1与 B1C 所成的角 在CED 中，ED 1 2AC1 5 2，CD 1 2AB 5 2，CE 1 2CB12 2，cosCED CE2DE2CD2 2 CE DE 8 22 25 2 2 2 5 .异面直线 AC1与
5、B1C 所成角的余弦值为2 2 5 . 2解析：(1)解法一 因为ABC 是正三角形，所以 BABC，又 ADCD，所以 BD 所 在的直线为线段 AC 的垂直平分线， 所以 M 为 AC 的中点， 又 N 是 CD 的中点， 所以 MNAD， 又 AD平面 PAD，MN平面 PAD，所以 MN平面 PAD. 解法二 在正三角形 ABC 中，ABBC，因为 ADCD，BDBD，所以ABDCBD， 所以 M 为 AC 的中点如图，取 PC 的中点为 E，连接 ME，NE.因为 M 为 AC 的中点，E 为 PC 的中点，所以 MEPA，又 ME平面 PAD，PA平面 PAD，所以 ME平面 PA
6、D，同理可 得 NE平面 PAD.又 ME平面 MEN，NE平面 MEN，MENEE，所以平面 MEN平面 PAD.又 MN平面 MEN，所以 MN平面 PAD. (2)设点 M 到平面 PBC 的距离为 h， 在 RtPAB 中， PAAB4， 所以 PB4 2.在 RtPAC 中，PAAC4，所以 PC4 2，在PBC 中，PB4 2，PC4 2，BC4，所以 SPBC 4 7.连接 PM，由 V三棱锥M - PBCV三棱锥P - BMC，即1 34 7h 1 32 34，解得 h 2 21 7 ，所 以点 M 到平面 PBC 的距离为2 21 7 . 3解析：(1)AB 3，BC1，AB
7、C90 ， AC2，BCA60 . 在ACD 中，AD2 3，AC2，CD4， AC2AD2CD2，CAD90 ，ACD 是直角三角形 又 E 为 CD 的中点，AE1 2CDCE2， ACE 是等边三角形，CAE60 ， CAE60 BCA，BCAE. 又 AE平面 PBC，BC平面 PBC，AE平面 PBC. (2)PA底面 ABCD，PA底面 BCE， PA 为三棱锥 P- BCE 的高 BCA60 ，ACD60 ，BCE120 . 又 BC1，CE2， SBCE1 2BCCEsinBCE 1 212 3 2 3 2 ， V三棱锥C- PBEV三棱锥P- BCE1 3SBCEPA 1 3
8、 3 2 2 3 3 . 4. 解析：(1)如图，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE. 由题意可知，PEEC，AOOC， PAEO，又 PA平面 BED，EO平面 BED， PA平面 BED. (2)由 PD底面 ABCD，得 PDBC， 又由题意可知 CDBC，且 PDCDD， BC平面 PCD，则 BCDE. 由 PEEC，PDDC，得 PCDE，又 PCBCC， DE平面 PBC，DBE 即直线 BD 与平面 PBC 所成的角 设 ADx，在 RtDBE 中，DE 2，BD 4x2， 则 sinDBEDE BD 1 2，解得 x2. 四棱锥 P- ABCD 的体积 V1 3PDS
9、矩形ABCD8 3. 5解析：(1)PA底面 ABCD，PABD， 取 AC 的中点 O，连接 OB，OD， 则 ACOB， ACOD，点 O， B， D 共线， 即 ACBD. 又 PAACA，BD平面 PAC. BD平面 PBD，平面 PAC平面 PBD. (2)取 CD 的中点 N，连接 MN，BN，则 MNPD. BMN 或其补角是异面直线 PD 与 BM 所成的角 RtPAD 中，PAAD2，PD2 2，MN 2. 连接 OM，则 OMPA，OM平面 ABCD， RtMOB 中，MOOB1，BM 2. BDN 中，BD 31，DN1，BDN30 ， 由余弦定理 BN2BD2DN22B
10、D DN cos 30 ，得 BN22 3. BMN 中，cosBMNBM 2MN2BN2 2 BM MN 222 3 2 2 2 2 3 4 ， 直线 PD 与 BM 所成角的余弦值为2 3 4 . 6. 解析：(1)如图，取 AB 的中点 O，连接 EO，DO. 由ABE 为等腰直角三角形，可得 EBEA，所以 EOAB. 因为四边形 ABCD 为直角梯形，AB2CD2BC，ABBC， 所以四边形 OBCD 为正方形，则 BOOD，即 ABOD. 又 ODOEO，OD平面 ODE，OE平面 ODE， 所以 AB平面 ODE. 又 DE平面 ODE，所以 ABDE. (2)因为平面 ABE平
11、面 ABCD，平面 ABE平面 ABCDAB， 且 ABBC，BC平面 ABCD，所以 BC平面 ABE. 又 AE平面 ABE，所以 BCAE. 又 AEBE，BCBEB，BC平面 BCE，BE平面 BCE，所以 AE平面 BCE. 又 AE平面 AED，所以平面 AED平面 BCE. (3)存在点 F，且EF EA 1 3时，有 EC平面 FBD.理由如下 如图，连接 AC，BD，ACBDM，取 AE 上靠近点 E 的三等分点 F，连接 FB，FD， MF. 因为四边形 ABCD 为直角梯形，AB2CD2BC， 所以CM MA CD AB 1 2. 又EF FA 1 2，所以 CM MA EF FA，所以 ECFM. 因为 EC平面 FBD，FM平面 FBD， 所以 EC平面 FBD.
