1、 第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年江西省赣州市十五县（市）十六校高三（上）期学年江西省赣州市十五县（市）十六校高三（上）期 中数学试卷（文科）中数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）cos135 cos15sin135 sin15( ) A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 2 （5 分）已知集合 3 |0 5 x Ax x ，集合 |46Bxx，则 (AB ) A(
2、4,5) B(4，5 C(5,6) D5，6) 3 （5 分）设a，bR，则“1ab”是“(1)(1)0ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）要得到cos(2) 6 yx 的图象，只需将函数sin(2 ) 2 yx 的图象( ) A向左平移 12 个单位 B向右平移 12 个单位 C向左平移 6 个单位 D向右平移 6 个单位 5 （5 分）已知向量|3,| 1,| |ababab，则a与ab的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 6 （5 分）设 1 ( )16 9 a ，则(a ) A144 B 9 log 16
3、C 16 1 log 9 D 3 log 4 7 （5 分）已知函数( )f x的定义域为R，其导函数为( )f x ，( )f x 的部分图象如图所示，则 ( ) 第 2 页（共 16 页） A( )f x在区间(0,1)上单调递减 B( )f x的一个增区间为( 1,1) C( )f x的一个极大值为( 1)f D( )f x的最大值为f（1） 8 （5 分）在区间 1 ,2 3 上，不等式 2 41 0mxx 有解，则m的取值范围为( ) A4m B 7 4 m C4m D3m 9 （5 分）中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗 主责之粟五斗， 羊主曰： “
4、我羊食半马 ” 马主曰： “我马食半牛 ” 今欲衰偿之， 问各出几何？ 此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗粟羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半 ”马主人说： “我马所吃的禾苗只有牛的一半 ”打算按此 比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中 1 斗为 10 升，则牛主人应偿还多少升粟？( ) A 50 3 B 50 7 C 100 7 D 200 7 10 （5 分）已知函数( )f xlnxax有两个零点，则实数a的取值范围为( ) A 1 a e B0a C 0a D 1 0a e 11 （5 分）如图，已知菱形ABCD的边长为 2，60BAD，点E，
5、F分别在边BC，DC 上，BEBC，DFDC若 9 ,1 2 AE AFCE CF，则( ) A 7 12 B2 C 2 9 D 5 6 12 （ 5分 ） 已 知 函 数 2 ( )( 1)f xlnxx， 则 1 2021 (2020)af， 20202021 1 (log),(log2020) 2021 bfcf的大小关系为( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置分将答案填在答题卡的相应位置 第 3 页（共 16 页） 13 （5 分）用反证法证明：存在xR
6、，cos1x，应先假设： 14 （5 分）已知向量(1, cos ),(sin ,2)ab且ab，则 3sin2cos 2sincos 15 （5 分）若数列 n a前n项和 2 1 n Snn，则数列 n a的通项公式为 16 （5 分）下列命题正确的是 .（填写正确的序号） 在等差数列 n a中，有 210 26aa，则 567 39aaa； 已知数列 n a是正项等比数列，且 37 23 6 aa ，则 5 a的值可能是2； 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，且对任意xR，都有(1)(1)fxfx成立，则 f（1）f（2）f（3）(2019)(2020)0ff 三、解答题：共三、
7、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 5 9a ， 4 16S （1）求 n S的表达式； （2）设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）已知aR，函数 32 11 ( )(1)3 32 f xxaxax （1）当1a 时，求函数( )yf x在点(3，f（3）)处的切线方程； （2）若函数( )f x在区间(2,4)上是减函数，求a的取值范围 19 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 角A，B，C的 对 边 分 别 是a，
8、b，c， 且 s i n 2c o s ()c o ss i n 2 CBCBC cb （1）求角A的大小； （2）若ABC的面积为 21 4 ，10a ，求bc的值 20 （12 分）已知( 2cos1,sin(),( 2cos1, 3)() 2222 xx axb ，函数 ( )f xa b （1）若函数( )f x为偶函数，求( )f x的解析式； （2）若函数( )f x的一个对称中心为(,0) 3 ，现将( )f x图象横坐标缩小为原来的 1 3 （纵坐 第 4 页（共 16 页） 标不变） ，得到函数( )yg x的图象，当 5 (,) 18 18 x 时，求函数( )g x的值域
9、 21 （12 分）如图，在直角坐标系中有边长为 2 的正方形，取其对角线的一半，构成新的正 方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形如此形成一个边长不断缩小的正方形 系列设这一系列正方形中心的纵坐标为() n y nN，其中 1 y为最大正方形中心的纵坐标 （1）求数列 n y的通项公式； （2）若数列 n y的奇数项构成新数列 n a，求 n a的前n项和 n S 22 （12 分）已知函数( )f xalnxax， 2 ( )2g xxx，其中aR （1）求函数( )( )( )h xf xg x的极值； （2） 若( )g x的图象在 1 (A x， 1 ()g x， 2 (B x，
10、 212 ()(0)g xxx处的切线互相垂直， 求 21 xx 的最小值 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年江西省赣州市十五县（市）十六校高三（上）期学年江西省赣州市十五县（市）十六校高三（上）期 中数学试卷（文科）中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）cos135 cos15sin135 sin15( ) A 3 2 B 3 2 C 1
11、 2 D 1 2 【解答】解： 3 cos135 cos15sin135 sin15cos(13515 )cos150co s30 2 故选：B 2 （5 分）已知集合 3 |0 5 x Ax x ，集合 |46Bxx，则 (AB ) A(4,5) B(4，5 C(5,6) D5，6) 【解答】解： |35Axx， |46Bxx， (4,5)AB 故选：A 3 （5 分）设a，bR，则“1ab”是“(1)(1)0ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由1ab得：10a ，10b ， 则(1)(1)0ab，是充分条件， 由(1)(1)
12、0ab，得：1a ，1b 或1a ，1b ，不是必要条件， 故“1ab”是“(1)(1)0ab”的充分不必要条件， 故选：A 4 （5 分）要得到cos(2) 6 yx 的图象，只需将函数sin(2 ) 2 yx 的图象( ) A向左平移 12 个单位 B向右平移 12 个单位 第 6 页（共 16 页） C向左平移 6 个单位 D向右平移 6 个单位 【解答】解：要得到cos(2) 6 yx 的图象，只需将函数sin(2 )cos2 2 yxx 的图象向 右平移 12 个单位得到cos(2) 6 yx 的图象 故选：B 5 （5 分）已知向量|3,| 1,| |ababab，则a与ab的夹角
13、为( ) A30 B60 C120 D150 【解答】解：由向量|3,| 1,| |ababab， 所以 22 ()()abab， 所以0a b ， 所以 2 ()3 03a abaa b ； 又 22 |23012abaa bb， 所以 ()33 cos 2|32 a ab aab ， 所以a与ab的夹角为30 故选：A 6 （5 分）设 1 ( )16 9 a ，则(a ) A144 B 9 log 16 C 16 1 log 9 D 3 log 4 【解答】解： 1 ( )16 9 a ， 3 193 9 24 1616log 4 2 log aloglog 故选：D 7 （5 分）已知
14、函数( )f x的定义域为R，其导函数为( )f x ，( )f x 的部分图象如图所示，则 ( ) 第 7 页（共 16 页） A( )f x在区间(0,1)上单调递减 B( )f x的一个增区间为( 1,1) C( )f x的一个极大值为( 1)f D( )f x的最大值为f（1） 【解答】解：结合图象： ( 1,1)x 时，( )0f x，( )f x递增，故A错误，B正确； (1,3)x时，( )0f x，( )f x递减， 故1x 是( )f x的极大值点，f（1）是函数( )f x的一个极大值， 但不一定是最大值，即D错误； ( 1)f 是函数( )f x的一个极小值，即C错误；
15、故选：B 8 （5 分）在区间 1 ,2 3 上，不等式 2 41 0mxx 有解，则m的取值范围为( ) A4m B 7 4 m C4m D3m 【解答】解：区间 1 ,2 3 上，不等式 2 41 0mxx 有解， 等价于 1 3x，2时，不等式 2 14 m xx 有解 设 1 t x ，则 1 2 t，3， 所以 22 ( )4(2)4f tttt ， 且( )f t的最大值是f（2）4， 所以m的取值范围是4m 故选：C 第 8 页（共 16 页） 9 （5 分）中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗 主责之粟五斗， 羊主曰： “我羊食半马 ” 马主曰：
16、“我马食半牛 ” 今欲衰偿之， 问各出几何？ 此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗粟羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半 ”马主人说： “我马所吃的禾苗只有牛的一半 ”打算按此 比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中 1 斗为 10 升，则牛主人应偿还多少升粟？( ) A 50 3 B 50 7 C 100 7 D 200 7 【解答】解：设牛、马、羊所吃禾苗分别为 1 a， 2 a， 3 a， 则 n a是公比 1 2 为的等比数列， 1 3 3 1 (1) 2 50 1 1 2 a S ， 解得 1 200 7 a ， 故选：D 10 （5 分）已知函数
17、( )f xlnxax有两个零点，则实数a的取值范围为( ) A 1 a e B0a C 0a D 1 0a e 【解答】解：因为函数( )f xlnxax，所以 1 ( )fxa x ，(0)x ， 若0a，必有 1 ( )0fxa x ，即( )f x在R上是增函数，不可能有两个零点， 0a，由( )0f x，得 0 1 x a ， 当 1 (0, )x a 时，( )0f x；当 1 (x a ，)时，( )0f x， 即( )f x在 1 (0,) a 上是增函数，在 1 ( a ，)上是减函数， 所以 11 ( )( )1f xfln aa ， 要使( )f x有两个零点，其必要条件
18、是 1 ( )0f a ，得 1 0a e 显然 1 (0, )e a ，f（e）10ae ， 2 11 ( aa ，)， 2 111 ()2fln aaa ， 设 1 te a ，( )2g tlntt， 2 ( )10g t t ， 第 9 页（共 16 页） ( )g t在( ,)e 上是减函数，( )g tg（e）20e，即 2 1 ()0f a ， 由零点存在定理得：当 1 0a e 时，( )f x有两个零点 故选：D 11 （5 分）如图，已知菱形ABCD的边长为 2，60BAD，点E，F分别在边BC，DC 上，BEBC，DFDC若 9 ,1 2 AE AFCE CF，则( )
19、A 7 12 B2 C 2 9 D 5 6 【解答】 解： 由已知条件得：| | 2,60ABADAB AD， 且2 2 c o s 6 02A BA D 因为点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC， 所以由 9 ,1 2 AE AFCE CF得： 9 () ()() () 2 ABBEADDFABADADAB， 整理得： 229 (1) 2 AB ADABAD，即 5 2 4 ， 且(1)(1)1CE CFEC FCADAB，即 1 1 2 ， 联立解得 7 12 故选：A 12 （ 5分 ） 已 知 函 数 2 ( )( 1)f xlnxx， 则 1 2021 (2020)af，
20、 20202021 1 (log),(log2020) 2021 bfcf的大小关系为( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 【解答】解： 22 ( )( 1)( 1)f xlnxxlnxx ， ( )f x在0，)，(,0)上都单调递减， ( )f x在R上单调递减， 1 0 2021 202020201， 20202020 1 10 2021 loglog， 202120212021 0log1log2020log2021 1， 第 10 页（共 16 页） 1 2021 20202021 1 20202020 2021 loglog， bca 故选：D 二、填空题：本大题共二、填
21、空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置分将答案填在答题卡的相应位置 13 （5 分）用反证法证明：存在xR，cos1x，应先假设： xR ，cos1x 【解答】解：证明：存在xR，cos1x成立， 可考虑原命题的否定，即xR ，cos1x ， 故先假设xR ，cos1x 故答案为：xR ，cos1x 14 （5 分）已知向量(1, cos ),(sin ,2)ab且ab，则 3sin2cos 2sincos 4 5 【解答】解：因为向量(1, cos ),(sin ,2)ab且ab， 所以sin2cos0， 所以sin2cos， 则
22、3sin2cos6cos2cos4 2sincos4coscos5 故答案为： 4 5 15（5 分） 若数列 n a前n项和 2 1 n Snn， 则数列 n a的通项公式为 1,1 2 ,2 n n a n n 【解答】解：1n 时， 11 1as， 2n时， 22 1 1 (1)1 12 nnn assnnnnn ， 综上 1,1 22 n n a n n 故答案为： 1,1 22 n n a n n 16 （5 分）下列命题正确的是 .（填写正确的序号） 在等差数列 n a中，有 210 26aa，则 567 39aaa； 已知数列 n a是正项等比数列，且 37 23 6 aa ，则
23、 5 a的值可能是2； 第 11 页（共 16 页） 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，且对任意xR，都有(1)(1)fxfx成立，则 f（1）f（2）f（3）(2019)(2020)0ff 【解答】 解： 对于在等差数列 n a中， 有 210 26aa， 所以 6 13a ， 则 56763 3 9a aaa ， 故正确； 已 知 数 列 n a是 正 项 等 比 数 列 ， 且 37 23 6 aa ， 所 以 2 2 55 23 6 q aa q ， 即 2 2 55 132 6 (2)q aqa ，所以 5 2a ，故错误； 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，且对任意
24、xR，都有(1)(1)fxfx成立，即 ( )(2)f xf x， 故(4)( )f xf x，可得( )f x是周期为 4 的函数， 则f（1）f（2）f（3）(2019)(2020)505fff（1）f（2）f（3）f （4） 505f（1）f（3）f（2）f（4）0， 故正确； 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 5 9a ， 4 16S （1）求 n S的表达式； （2）设 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和
25、 n T 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为d，由题设可得： 1 1 49 4 3 416 2 ad d a ， 解得： 1 1a ，2d ， 2 (1) 2 2 n n n Snn ； （2）由（1）可得：12(1)21 n ann ， 第 12 页（共 16 页） 又 1 11111 () (21)(21)2 2121 n nn b a annnn ， 1 11111111 ()(1) 2 1335212122121 n n T nnnn 18 （12 分）已知aR，函数 32 11 ( )(1)3 32 f xxaxax （1）当1a 时，求函数( )yf x在点(3，f（3
26、）)处的切线方程； （2）若函数( )f x在区间(2,4)上是减函数，求a的取值范围 【解答】解： 2 ( )(1)f xxaxa， （1）当1a 时，f（3）3，f（3）8， 故切线方程是：3 8(3)yx ，即8210 xy； （2）若函数( )f x在区间(2,4)上是减函数， 则( )(1)() 0f xxxa在(2,4)恒成立， 而10 x 在(2,4)恒成立， 0 xa 在(2,4)恒成立，此时：4a， 故函数( )f x在区间(2,4)上是减函数时：4a 19 （ 12 分 ） 在ABC中 ， 角A，B，C的 对 边 分 别 是a，b，c， 且 s i n 2c o s ()c
27、 o ss i n 2 CBCBC cb （1）求角A的大小； （2）若ABC的面积为 21 4 ，10a ，求bc的值 【解答】解： （1）因为 sin2cos()cossin 2 CBCBC cb ， 所以 2sincoscoscossin 2sinsin CCABC CB ， 所以sincoscoscossin0BCABC， 可得sincos2sin()0 4 AAA ， 所以sin()0 4 A ， 因为(0, )A， 第 13 页（共 16 页） 所以 3 4 A （2）由题意可知 121 sin 24 bcA ，且 2 sin 2 A，可得 21 2 bc ， 又10a ， 所以由
28、余弦定理 222222 21 2cos2()(22)10 2 abcbcAbcbcbc ， 所以11bc 20 （12 分）已知( 2cos1,sin(),( 2cos1, 3)() 2222 xx axb ，函数 ( )f xa b （1）若函数( )f x为偶函数，求( )f x的解析式； （2）若函数( )f x的一个对称中心为(,0) 3 ，现将( )f x图象横坐标缩小为原来的 1 3 （纵坐 标不变） ，得到函数( )yg x的图象，当 5 (,) 18 18 x 时，求函数( )g x的值域 【解答】 解： 因为已知( 2cos1,sin(),( 2cos1, 3)() 2222
29、 xx axb ， 所以 2 ( )2()13sin()cos()3sin() 2 x f xa bcosxxx 2cos() 3 x （1）因为( )f x是偶函数，所以(0)1f，所以 3 k ，即, 3 kkZ ， 又因为 22 ，所以 3 所以( )2cosf xx （2）因为( )f x的一个对称中心为(,0) 3 ，所以 332 k ， 所以 7 , 6 kkZ ，又因为 22 ，所以 6 所以( )2cos() 6 f xx 由( )f x图象横坐标缩小为原来的 1 3 （纵坐标不变） ，可得( )2cos(3) 6 g xx 因为 5 1818 x ，所以 2 3 363 x
30、， 所以12cos(3) 2 6 x ， 第 14 页（共 16 页） 所以函数( )g x的值域为( 1，2 21 （12 分）如图，在直角坐标系中有边长为 2 的正方形，取其对角线的一半，构成新的正 方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形如此形成一个边长不断缩小的正方形 系列设这一系列正方形中心的纵坐标为() n y nN，其中 1 y为最大正方形中心的纵坐标 （1）求数列 n y的通项公式； （2）若数列 n y的奇数项构成新数列 n a，求 n a的前n项和 n S 【解答】解： （1）由题设易知： 12 1yy， 34 1 1 2 yy ， 2 56 11 1( ) 22 yy
31、， 211 212 1 1( ) 1111 2 1( )( )2( ) 1 2222 1 2 n nn nn yy ， 1 2 1 2 1 2( ), 2 1 2( ), 2 n n n n y n 为奇数 为偶数 ； （2）由（1）知： 11 1ay， 23 1 1 2 ay ， 2 35 11 1( ) 22 ay ， 211 1 1( ) 1111 2 1( )( )2( ) 1 2222 1 2 n nn n a ， 211 1111 21( )( )22( ) 2222 nn n Snn 22 （12 分）已知函数( )f xalnxax， 2 ( )2g xxx，其中aR （1）求
32、函数( )( )( )h xf xg x的极值； （2） 若( )g x的图象在 1 (A x， 1 ()g x， 2 (B x， 212 ()(0)g xxx处的切线互相垂直， 求 21 xx 的最小值 第 15 页（共 16 页） 【解答】解： （1）因为( )f xalnxax， 2 ( )2g xxx， 所以 2 ( )(2)h xxa xalnx，定义域为(0,)， 所以( )2(2)(0) a h xxax x ， 当0a时，( )2(2)0 a h xxa x 恒成立， 所以( )h x在(0,)上单调递增，无极值； 当0a 时，令( )2(2)0 a h xxa x ，即 2
33、2(2)0 xa xa， 解得1x 或 2 a x ， 因为0 x ，所以 2 a x ， 所以( )h x在(0,) 2 a 上单调递减，在,) 2 a 上单调递增， 所以( )h x在 2 a x 处取得极小值，极小值为 2 ()() 242 aaa haaln 综上可知，当0a时，( )h x无极值； 当0a 时，( )h x在 2 a x 上取得极小值 2 () 42 aa aaln ，无极大值 （2） 2 ( )2g xxx，所以( )22g xx， 所以( )g x在 1 xx和 2 xx处的切线斜率分别为 11 22kx和 22 22kx， 因为( )g x的图象在 1 (A x
34、， 1 ()g x， 2 (B x， 212 ()(0)g xxx处的切线互相垂直， 所以 12 1k k 即 12 (22)(22)1xx ， 所以 1212 44()41x xxx ， 所以 1212 5 4 xxx x ， 因为 22 21211 2 ()()4xxxxx x， 所以 222 2112121212 5325 ()()4() 4216 xxx xx xx xx x ， 因为 12 0 xx，所以 12 0 x x ， 所以当 12 3 4 x x 时 2 21 ()xx取得最小值为 1， 第 16 页（共 16 页） 所以当 12 3 4 x x 时 21 xx取得最小值为 1
