1、 第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 2 |2 0Ax xx ， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A 1，0，1 B 1，0，1，2 C0，1，2 D0，1，2，3 2 （4 分）已知 3 (0,),sin() 225 xx ，则sin2(x ) A 12 25 B 24 25 C 1
2、2 25 D 24 25 3 （4 分）已知 1 3 2a ， 2 1 log 3 b ， 1 2 1 log 3 c ，则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 4 （4 分）如图，在ABC中，D是BC的中点若ABa，ADb，则(AC ) A32ab B2ab C2ab D 11 22 ab 5 （4 分） “lnalnb”是“33 ab ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 （4 分）已知函数 31 ( )sincos(0) 22 f xxx的图象与直线1y 的相邻两个交点间 的距离等于，则( )f x的图象的一条对称轴是(
3、 ) A 12 x B 12 x C 3 x D 3 x 7 （4 分）在ABC中，4AB ，3AC ，且| |ABACABAC，则(BC CA ) A12 B9 C9 D12 8 （4 分）已知( )f x是定义在R上的偶函数，且当(x ，0时， 1 ( )2 3 x f x ，则 第 2 页（共 18 页） 2 3 (log)( 2 f ) A 1 3 B1 C 7 6 D 11 6 9 （4 分）已知函数 2 2 |1|, 7 ( ) , xxe f x lnx ex e 剟 若存在实数m，使得 2 ( )24f maa成立，则 实数a的取值范围是( ) A 1，) B(，13，) C
4、1，3 D(，3 10 （4 分）已知奇函数( )f x的定义域为(,) 2 2 ，且( )fx是( )f x的导函数若对任意 (,0) 2 x ，都有( )cos( )sin0fxxf xx，则满足( )2cos() 3 ff 的的取值范围是( ) A(,) 2 3 B(,)(,) 233 2 C(,) 3 3 D(,) 3 2 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）已知向量(3,1)a ，( ,2)bt，若/ /ab，则实数t 12 （5 分）已知0 x ，0y ，1xy ，则4xy的最小值为 ，此时x的值为 13（5 分
5、） 在一个房间使用某种消毒剂后， 该消毒剂中的某种药物含量 3 (/)y mg m随时间( )t h 变化的规律可表示为 1 ,0 2 11 , 2 att y t at ，(0)a 如图所示，则a ；实验表明，当房间中 该药物含量不超过 3 0.75mgm时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消 毒剂对这个房间进行消毒后至少经过 小时方可进入 第 3 页（共 18 页） 14 （5 分） 设 n a是公差为d的等差数列， n S为其前n项和 能说明 “若0d ， 则数列 n S 为递增数列”是假命题的一组 1 a和d的值为 15 （5 分）公元前 2 世纪的古希腊天文学家和数学
6、家希帕科斯是三角学的创立者之一，他 因天文观测的需要编制了有关三角比率的表格 后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质 上使用了公式 2 1cos sin 22 如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形， 已知点B在 以线段AC为直径的圆O上，D为弧BC的中点， 点E在线段AC上且AEAB， 点F为EC 的中点设OAr，DOC给出下列四个结论：2 2 CDrsin2 sinABr； (1 cos )CFr； 22 2(1 cos )CDr 其中，正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证
7、明过程。 16 （13 分）已知函数( )sin3cosf xxx （）求() 3 f 及( )f x的最小正周期； （）若 3 , 22 x ，求( )f x的值域 17 （13 分）已知 n a是等差数列， n b是各项都为正数的等比数列， 12 1ab，再从条件 、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知 （）求数列 n a的通项公式； （）求数列 n b的前n项和 条件： 24 10aa；条件： 24 4b b ；条件： 45 ba 18 （14 分）在ABC中，2AB ，3AC （）若60B ， （）求BC； 第 4 页（共 18 页） （）设D是边BC上一点，且120ADC，求sin
8、C； （）若AE是ABC的内角平分线，求AE的取值范围 19 （15 分）已知函数( )()f xxalnx aR （）当1a 时，求函数( )f x的极值； （）若不等式 2 1 ( ) 2 f xxax对任意0 x 恒成立，求a的取值范围 20 （15 分）已知函数 cos ( )( ax f xb a x ，)bR （）当1a ，0b 时，判断函数( )f x在区间(0,) 2 内的单调性； （）已知曲线 cos ( ) ax f xb x 在点(,() 22 f 处的切线方程为 6 2yx （）求( )f x的解析式； （）判断方程 3 ( )1 2 f x 在区间(0，2 上解的个数
9、，并说明理由 21 （15 分）已知数列 n a是无穷数列，其前n项和为. n S若对任意的正整数2m，存在正 整数k，(1)lk l剟使得 mkl Saa，则称数列 n a是“S数列” （）若2 (1 n an n，2，)，判断数列 n a是否是“S数列” ，并说明理由； （）设无穷数列 n a的前n项和(1,2,) n n Sq n，且2q ，证明数列 n a不是“S数 列“； （）证明：对任意的无穷等差数列 n a，存在两个“S数列“ n b和 n c，使得 (1 nnn abc n，2，)成立 第 5 页（共 18 页） 2020-2021 学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷学年北
10、京市朝阳区高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 2 |2 0Ax xx ， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A 1，0，1 B 1，0，1，2 C0，1，2 D0，1，2，3 【解答】解：由A中不等式变形得：(2)(1) 0 xx ， 解得：12x 剟，即 1A ，2， 1B ，0，1，2，3， 1AB ，0，1，2， 故选：B 2 （4 分）已知
11、3 (0,),sin() 225 xx ，则sin2(x ) A 12 25 B 24 25 C 12 25 D 24 25 【解答】解： 3 sin() 25 x ， 3 cos 5 x， 又(0,) 2 x ， 2 4 sin1 5 xcos x， 则 3424 sin22sin cos2 5525 xxx 故选：B 3 （4 分）已知 1 3 2a ， 2 1 log 3 b ， 1 2 1 log 3 c ，则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 【解答】解： 1 0 3 0221a ， 22 1 loglog 10 3 b ， 122 2 1 loglog 3log 21
12、3 c ， cab 故选：C 第 6 页（共 18 页） 4 （4 分）如图，在ABC中，D是BC的中点若ABa，ADb，则(AC ) A32ab B2ab C2ab D 11 22 ab 【解答】解：ABa，ADb， BDADABba， D是BC的中点， DCBDba， 2ACADDCbbaba， 故选：C 5 （4 分） “lnalnb”是“33 ab ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： “33 ab ” “ab” ， “lnalnb” “0ab” ， “0ab”是“ab”的充分而不必要条件， 故“lnalnb”是“33
13、 ab ”的充分而不必要条件， 故选：A 6 （4 分）已知函数 31 ( )sincos(0) 22 f xxx的图象与直线1y 的相邻两个交点间 的距离等于，则( )f x的图象的一条对称轴是( ) A 12 x B 12 x C 3 x D 3 x 【解答】解：函数 31 ( )sincossin() 226 f xxxx ， 由( )f x的图象与直线1y 相邻两个交点间的距离等于， 所以( )f x的最小正周期为 2 T ， 第 7 页（共 18 页） 解得2； 所以( )sin(2) 6 f xx ， 令2 62 xk ，解得 23 k x ，kZ； 当0k 时，得( )f x图象
14、的一条对称轴是 3 x 故选：D 7 （4 分）在ABC中，4AB ，3AC ，且| |ABACABAC，则(BC CA ) A12 B9 C9 D12 【解答】解：在ABC中，4AB ，3AC ，且| |ABACABAC， 可得 2222 22ABACAB ACABACAB AC， 所以0AB AC ，即ABAC，则5BC ， 3 cos 5 ACB， 3 |cos()5 3 ()9 5 BC CABC CAACB 故选：B 8 （4 分）已知( )f x是定义在R上的偶函数，且当(x ，0时， 1 ( )2 3 x f x ，则 2 3 (log)( 2 f ) A 1 3 B1 C 7
15、6 D 11 6 【解答】解：根据题意， 2 3 log0 2 ，则 22 32 loglog0 23 ， 则 2 2 3 2 2121 (log)21 3333 log f， 又由( )f x为偶函数，则 22 32 (log)(log)1 23 ff， 故选：B 9 （4 分）已知函数 2 2 |1|, 7 ( ) , xxe f x lnx ex e 剟 若存在实数m，使得 2 ( )24f maa成立，则 实数a的取值范围是( ) A 1，) B(，13，) C 1，3 D(，3 第 8 页（共 18 页） 【解答】解：作出函数 2 2 |1|, 7 ( ) , xxe f x lnx
16、 ex e 剟 的图象如图： ( 7)6f ， 2 ()2f e ，值域为 2，6， 若存在实数m，使得 2 ( )24f maa成立， 2 2 246aa剟，解得13a 剟， 实数a的取值范围是 1，3 故选：C 10 （4 分）已知奇函数( )f x的定义域为(,) 2 2 ，且( )fx是( )f x的导函数若对任意 (,0) 2 x ，都有( )cos( )sin0fxxf xx，则满足( )2cos() 3 ff 的的取值范围是( ) A(,) 2 3 B(,)(,) 233 2 C(,) 3 3 D(,) 3 2 【解答】解：令 ( ) ( ) cos f x g x x ，( 2
17、 x ，) 2 ， ( )f x为奇函数，cosyx为偶函数， ( )g x为奇函数 ( 2 x ，0)，有( )cos( )sin0fxxf xx， 2 ( )cos( )sin ( )0 fxxf xx g x cos x ， 第 9 页（共 18 页） ( )g x在区间( 2 ，0)上单调递减，又( )g x为奇函数， ( )g x在区间( 2 ，) 2 上单调递减， 当( 2 x ，) 2 ，cos0 x ， ( )2cos() 3 ff ， () ( ) 3 cos cos 3 f f ， ( )() 3 gg ， 32 故选：D 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每
18、小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）已知向量(3,1)a ，( ,2)bt，若/ /ab，则实数t 6 【解答】解：/ /ab， 60t ，6t 故答案为：6 12 （5 分）已知0 x ，0y ，1xy ，则4xy的最小值为 4 ，此时x的值为 【解答】解：由0 x ，0y ，1xy ， 所以42 44xyxy， 当且仅当4xy且1xy 即2x ， 1 2 y 时取等号， 故答案为：4，2 13（5 分） 在一个房间使用某种消毒剂后， 该消毒剂中的某种药物含量 3 (/)y mg m随时间( )t h 变化的规律可表示为 1 ,0 2 11 , 2 att y t at
19、，(0)a 如图所示，则a 2 ；实验表明，当房间 中该药物含量不超过 3 0.75mgm时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该 消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过 小时方可进入 第 10 页（共 18 页） 【解答】解：由图可知，当 1 2 t 时，1y ，则 1 1 2 a，即2a ； 则 1 2 ,0 2 11 , 22 tt y t t ， 由题意可得， 1 2 1 0.75 2 t t ，得 2 3 t 则为了不使人体受到该药物的伤害，使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过 2 3 小时 方可进入 故答案为：2； 2 3 14 （5 分） 设 n a是公差为d的等差数
20、列， n S为其前n项和 能说明 “若0d ， 则数列 n S 为递增数列”是假命题的一组 1 a和d的值为 1 3a ，1d （答案不唯一） 【解答】解：取 1 3a ，1d 则 2 (1)1525 3() 2228 n n n Snn 可得：1n ，2 时，数列 n S为递减数列；3n时，数列 n S为递增数列 因此0d ，则数列 n S为递增数列”是假命题 故答案为： 1 3a ，1d （答案不唯一） 15 （5 分）公元前 2 世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一，他 因天文观测的需要编制了有关三角比率的表格 后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质 上使用了公式 2
21、 1cos sin 22 如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形， 已知点B在 以线段AC为直径的圆O上，D为弧BC的中点， 点E在线段AC上且AEAB， 点F为EC 第 11 页（共 18 页） 的中点设OAr，DOC给出下列四个结论：2 2 CDrsin2 sinABr； (1 cos )CFr； 22 2(1 cos )CDr 其中，正确结论的序号是 【解答】解：因为AC为圆的直径，所以ABC，ACD均为直角三角形， 因为D为AB的中点，所以22BOCDOC ， 所以2BACDAC ， 对于：在Rt ACD中， 11 22 DACDOC，22ACOAr， 所以2 sin 2 CDr 故
22、正确； 对于：在Rt ABC中，2ACr， 1 2 BACBOC， 所以cos2 cosABACBACr， 故错误； 对于：由可知2 cosABr， 因为AEAB，所以2 cosAEr， 因为2ACr，所以22 cosECrr， 因为F为EC中点，所以 1 (22 cos)(1cos) 2 CFrrr， 故正确； 对于：由可知：2 sin 2 CDr ， 所以 222 4sin 2 CDr ， 因为 2 1cos sin 22 ， 所以 222 1cos 42(1cos) 2 CDrr ， 第 12 页（共 18 页） 故正确 故选 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解
23、答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）已知函数( )sin3cosf xxx （）求() 3 f 及( )f x的最小正周期； （）若 3 , 22 x ，求( )f x的值域 【解答】解：因为( )sin3cos2sin() 3 f xxxx ， （）()2sin()2sin00 333 f ， 又 2 2 1 T ，所以函数的最小正周期为2； （）因为 3 , 22 x ，所以 7 , 366 x ， 则 1 sin(),1 32 x ，所以2sin() 1 3 x ，2， 故当 3 , 22 x 时，函数( )f x的值域为
24、 1，2 17 （13 分）已知 n a是等差数列， n b是各项都为正数的等比数列， 12 1ab，再从条件 、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知 （）求数列 n a的通项公式； 第 13 页（共 18 页） （）求数列 n b的前n项和 条件： 24 10aa；条件： 24 4b b ；条件： 45 ba 【解答】解：选条件： 24 10aa；条件： 24 4b b （）设 n a的公差为d，由题意可得 1 1a ， 11 ()(3 )10adad， 解得 1 1a ，2d ，则 1 (1)21 n aandn，*nN； （）设 n b的公比为q，(0)q ，由题意可得 2 1b ，
25、4 4b ， 则 24 2 4 b q b ，解得2q ， 1 1 2 b ， 所以数列 n b的前n项和为 1 1 (12 ) 1 2 2 122 n n 18 （14 分）在ABC中，2AB ，3AC （）若60B ， （）求BC； （）设D是边BC上一点，且120ADC，求sinC； （）若AE是ABC的内角平分线，求AE的取值范围 【解答】解： （） （）因为2AB ，3AC ，60B ， 所以：由余弦定理知， 222 2cosACABBCAB BCB， 即 2 9422cos60BCBC ， 解得16BC （）120ADC，60ADBB ，ABD为等边三角形， 2ADAB， 在ACD
26、中，由正弦定理知， sinsin ADAC CADC ，即 23 sinsin120C ， 解得 3 sin 3 C （）设AEx，(0) 2 BAECAE ， 由 ABCABEACE SSS ， 即 111 2 3 sin22sin3 sin 222 xx， 第 14 页（共 18 页） 即有 5 6sincossin 2 x ， 由sin0，可得12cos5x， 又0 2 ，可得0cos1，即 5 01 12 x ， 解得 12 0 5 x， 则AE的取值范围为 12 (0,) 5 19 （15 分）已知函数( )()f xxalnx aR （）当1a 时，求函数( )f x的极值； （）
27、若不等式 2 1 ( ) 2 f xxax对任意0 x 恒成立，求a的取值范围 【解答】解：函数( )f x的定义域是(0,)，( )1 a fx x ， （）当1a 时， 11 ( )1 x fx xx ， 令( )0fx，解得：1x ， x，( )fx，( )f x的变化如下： x (0,1) 1 (1,) ( )fx 0 ( )f x 递减 极小值 递增 故( )f x的极小值是f（1）1，无极大值； （）不等式 2 1 ( ) 2 f xxax恒成立 等价于 2 1 0 2 xaxxalnx恒成立， 令 2 1 ( ) 2 g xxaxxalnx，(0,)x， 故 2 (1)() (
28、)1 axaxxaxxa g xxa xxx ， （1）当0a时，(0,)x，0 xa ， 令( )0g x，解得：1x ， x，( )g x，( )g x的变化如下： x (0,1) 1 (1,) ( )g x 0 第 15 页（共 18 页） ( )g x 递减 最小值g （1） 1 2 a 递增 当0a时，不等式( ) 0g x 恒成立当且仅当 1 0 2 a ， 故 1 2 a符合题意； （2）当1a 时， 2 (1) ( )0 x g x x ， 故( )g x在(0,)递增，而g（1）0，故不合题意， （3）10a 时，令( )0g x，解得：1x 或xa ， 则01a ， x，(
29、 )g x，( )g x的变化如下： x (0,)a a (,1)a 1 (1,) ( )g x 0 0 ( )g x 递增 极大值 递减 极小值 递增 显然g（1） 1 0 2 a，故不合题意， （3）当1a 时，令( )0g x，解得：1x 或xa ， 则1a， x，( )g x，( )g x的变化如下： x (0,1) 1 (1,)a a (,)a ( )g x 0 0 ( )g x 递增 极大值 递减 极小值 递增 显然，g（1） 1 0 2 a，不合题意， 综上： 1 2 a 20 （15 分）已知函数 cos ( )( ax f xb a x ，)bR （）当1a ，0b 时，判断
30、函数( )f x在区间(0,) 2 内的单调性； （）已知曲线 cos ( ) ax f xb x 在点(,() 22 f 处的切线方程为 6 2yx 第 16 页（共 18 页） （）求( )f x的解析式； （）判断方程 3 ( )1 2 f x 在区间(0，2 上解的个数，并说明理由 【解答】解：( ) I当1a ，0b 时， cos ( ) x f x x ， 2 sincos ( ) xx fx x ， (0,) 2 x 时，( )0fx，函数单调递减， cos ()( ) ( )( ax II i f xb a x ，)bR， 2 ( sincos ) ( ) a xxx fx x
31、 ， 由曲线 cos ( ) ax f xb x 在点(,() 22 f 处的切线方程为 6 2yx 的斜率 6 且过( 2 ， 1)， ()1 2 fb ， 26 () 2 a f ， 3a，1b ， 3cos ( )1 x f x x ， ( )ii方程 3 ( )1 2 f x 在区间(0，2 上解有 3 个，理由如下： 设 33cos3 ( )( )1 22 x F xf x x ，则 2 3( sincos ) ( ) xxx F x x ， 当(0, 2 x 时，( )0F x，F( ) x单调递减， 又 3 ()0 3 F ， 3 ()0 22 F ， ( )F x在(0， 2
32、上有一个零点， 当 3 (,) 22 x 时，cos0 x ，( )0F x ，没有零点， 当 3 2 x ，2 时，令( )sincosh xxxx，( )cos0h xxx， 又 3 ()0 2 h ，(2 )0h， 存在 0 3 (,2 ) 2 x ，使得 0 ()0h x， 当 0 3 (,) 2 xx 时，( )0F x，F( ) x单调递增，当 0 (xx，2 )时，( )0F x，F( ) x单调 递减， 又(2 )0F， ( )F x在 3 ,2 2 上有 2 个零点， 第 17 页（共 18 页） 综上( )F x在(0，2 上有 3 个零点， 3 ( )1 2 f x 在区
33、间(0，2 上有 3 个零点 21 （15 分）已知数列 n a是无穷数列，其前n项和为. n S若对任意的正整数2m，存在正 整数k，(1)lk l剟使得 mkl Saa，则称数列 n a是“S数列” （）若2 (1 n an n，2，)，判断数列 n a是否是“S数列” ，并说明理由； （）设无穷数列 n a的前n项和(1,2,) n n Sq n，且2q ，证明数列 n a不是“S数 列“； （）证明：对任意的无穷等差数列 n a，存在两个“S数列“ n b和 n c，使得 (1 nnn abc n，2，)成立 【解答】解： （）解：数列 n a是“S数列” ，理由如下： 当2 n an
34、时， 2 n Snn 对任意正整数2m，设 2 1 2 mm l ，则l是整数， 且 2 1 2(2) ml Smmaa 数列 n a是“S数列” （）证明： n n Sq， 11 aSq，当2n时， 11 (1) nnn n aqqqq ， 1 ,1 (1),2 nn q n a qqn 下面证明数列 n a不是“S数列” ： 2q ，数列 n a严格递增且 n a均为正数， 1213233 aaaaaaS， 当2q 时，2(1)qq， 23 333 2(1)aaq qqS， 当4l时，对任意正整数k，有 klm aaS， 数列 n a不是“S数列“； 第 18 页（共 18 页） （）证明
35、：对任意的无穷等差数列 n a，存在两个“S数列“ n b和 n c，使得 (1 nnn abc n，2，)成立 若数列 n t的通项公式 n tcn，(c为常数） ，则 n t是“S数列” ， 证明如下： 当 n tcn时， 2 () 2 n c nn S ， 对任意的正整数2m，设 2 1 2 mm l ，则l是整数，且 2 (2) 2 mlt c mm Scaa ， 所以 n t是“S数列” ， 同理：若数列 n h的通项公式为(1) n hc h，(c为常数） ， 则：则 n h是“S数列” ， 设数列 n a是以 1 a为首项，公差为d的数列 所以 11 (1)() n aandndad， 设 nn bna， 由于 111 (1)(1)() n aandnanad， 所以 nnn abc， 由于数列“ n b和 n c是“S数列” ，且 nnn abc， 所以命题得证
