1、 第 1 页（共 20 页） 2020-2021 学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2A ，1，0，1，2， | 12Bxx ，则(AB ) A 1，0，1 B1，2 C0，1，2 D0，1 2 （5 分）若非零向量, a b的夹角为，则“(0,) 2 ”是“| |abab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）
2、若 3 cos() 44 ，则sin2( ) A 1 8 B 1 8 C 3 8 D 3 8 4 （5 分）设 0.2 2a ， 0.3 1 ( ) 2 b ， 0.2 log0.3c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bbac Cbca Dcab 5 （5 分）若M为ABC的边AB上一点，且3ABAM，则(CB ) A32CMCA B32CACM C32CMCA D32CACM 6 （5 分）函数 2| ( ) | x f x ln x 在其定义域上的图象大致为( ) A 第 2 页（共 20 页） B C D 7 （5 分）牛顿冷却定律描述一个物体在常温下的温度变化：如果物体的初
3、始温度为 0 T，则 经过一定时间t后的温度T将满足 0 1 ( ) () 2 t h aa TTTT，其中 a T是环境温度，h称为半衰 期现有一杯85 C的热茶，放置在25 C的房间中，如果热茶降温到55 C，需要 10 分钟， 则欲降温到45 C，大约需要多少分钟？(20.3010lg ，30.4771)(lg ) A12 B14 C16 D18 8 （5 分）已知函数 1,13 ( ) ,39 3 xx f x x lnx ，若函数( )( )g xf xax有两个不同的零点，则 第 3 页（共 20 页） 实数a的取值范围是( ) A 2 3 ， 1 ) 2 B 3 11 , 932
4、 ln e C 1312 ,),) 3923 ln e D 312 (0,) 933 ln e ， 1 ) 2 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9 （5 分）若0ab，则( ) A 11 aba B 1 22 ab C 22 2(1)abab Dabab 10 （5 分）已知( )f x是定义在R上的奇函数，且满足(4)( )fxf x，则下列说法正确的 是( ) A(8)( )f xf x B( )f x在区间( 2,2)上单调递增 C(2019)(2020)(2021)0fff D( )
5、cos() 42 f xx 是满足条件的一个函数 11 （5 分）函数( )sin()f xAx，(A，是常数，0)A的部分图象如图所示， 则( ) A( )2cos(2 ) 6 f xx B( )2sin(2) 3 f xx C( )f x的对称轴为 12 xk ，kZ D( )f x的递减区间为 5 , 1212 kk ，kZ 12 （5 分）已知函数 sin ( ) x f x x ，(0 x，则下列结论正确的有( ) 第 4 页（共 20 页） A( )f x在区间(0，上单调递减 B若 12 0 xx，则 1221 sinsinxxxx C( )f x在区间(0，上的值域为0，1)
6、D若函数( )( )cosg xxg xx，且( )1g ，则( )g x在(0，上单调递减 三、填空题：三、填空题： 13 （5 分）设, a b为单位向量，且| 1ab，则|2 |ab 14 （5 分）函数 2 ( )1f xxlnx的定义域为 15 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，其导函数为( )fx，若对任意的正实数， ( )2 ( )0 xfxf x， 2 ( )( )g xx f x，则不等式 |1| (2)(2) x gg 的解集为 16（5 分） 如图，C、D是两所学校所在地，C、D到一条公路的垂直距离分别为8CAkm， 27DBkm为了缓解上下学的交通压力
7、，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条 互相垂直的公路PC和PD， 设( 0) 2 APC ， 则当PCPD最小时，AP km 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知向量 3 ( 2 a ， 1) 2 ，(cos ,sin )bxx，(0,) 2 x （1）若ab，求tanx的值； （2）若a在b上的投影向量长度为 1 2 ，求x的值 18 （12 分）某市作为新兴的“网红城市” ，有很多风靡网络的“网红景点” ，每年都有大量 的游客来参观旅游为
8、提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级经市场调查， 改造后旅游增加值y万元与投入(10)x x万元之间满足： 2 1 ( 25 x yaxbxlna，b为常 数） 当10 x 万元时，17.7y 万元；当15x 万元时，25y 万元 （参考数据：20.7ln ，31.1ln ，51.6)ln 第 5 页（共 20 页） （1） 写出该景点改造升级后旅游增加利润( )L x万元与投入x万元的函数解析式； （利润旅 游增加值投入） （2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1) 19 （12 分）在cossinaBbAc，cos3 sinbbAaB， 222
9、4 3 ABC bcaS这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求bc的值；若问题中 的三角形不存在，说明理由 问题：在ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的外接圆半径 为 2，且2bca，_ 20 （12 分）古希腊数学家海伦著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三 边长求三角形的面积 若三角形的三边分别为a、b、c， 则其面积()()()sp papbpc， 这里 2 abc p ，已知在ABC中，8BC ，3ABAC （1）设ACx，试将三角形的面积s表示成x的函数； （2）求s的最大值，并求三角形面积最大时sin A的值 21 （
10、12 分）已知函数 2 ( )(1)(1)(0)f xxa lnxxa （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若关于x的不等式 1 ( ) x xfxlnx x 在(1,)上恒成立，求实数a的取值范围 22 （12 分）已知函数( )1() x f xeaxaR （1）若对任意的实数x，函数( )yfx的图象与直线yx有且只有两个交点，求a的取值 范围； （2）设 2 1 ( )( )1 2 g xf xx，若函数( )g x有两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx，证明： 12 ()()2g xg x 第 6 页（共 20 页） 2020-2021 学年山东省烟台市高三（上）期中
11、数学试卷学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2A ，1，0，1，2， | 12Bxx ，则(AB ) A 1，0，1 B1，2 C0，1，2 D0，1 【解答】解：集合 2A ，1，0，1，2， | 12Bxx ， 则0AB ，1，2 故选：C 2 （5 分）若非零向量, a b的夹角为，则“(0,) 2 ”是“| |abab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件
12、 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： “| |abab” 0a b ， a，0b ，) 2 “(0,) 2 ”是“| |abab”的充分不必要条件 故选：A 3 （5 分）若 3 cos() 44 ，则sin2( ) A 1 8 B 1 8 C 3 8 D 3 8 【解答】解： 3 cos() 44 ，则 2 91 sin2cos(2)12cos ()12 24168 ， 故选：B 4 （5 分）设 0.2 2a ， 0.3 1 ( ) 2 b ， 0.2 log0.3c ，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bbac Cbca Dcab 【解答】解： 0.30.30.20
13、 1 ( )2221 2 ， 0.20.2 log0.3log0.21， cab 故选：D 5 （5 分）若M为ABC的边AB上一点，且3ABAM，则(CB ) 第 7 页（共 20 页） A32CMCA B32CACM C32CMCA D32CACM 【解答】解：3ABAM， 3()CBCACMCA， 32CBCMCA 故选：A 6 （5 分）函数 2| ( ) | x f x ln x 在其定义域上的图象大致为( ) A B C 第 8 页（共 20 页） D 【解答】解：函数的定义域为 |0 x x 且1x ， 2|2| ()( ) | xx fxf x lnxln x ， 函数( )f
14、 x为偶函数，其图象关于y轴对称， 2 12 ( )0 1 e f ee ln e ， 只有选项B符合， 故选：B 7 （5 分）牛顿冷却定律描述一个物体在常温下的温度变化：如果物体的初始温度为 0 T，则 经过一定时间t后的温度T将满足 0 1 ( ) () 2 t h aa TTTT，其中 a T是环境温度，h称为半衰 期现有一杯85 C的热茶，放置在25 C的房间中，如果热茶降温到55 C，需要 10 分钟， 则欲降温到45 C，大约需要多少分钟？(20.3010lg ，30.4771)(lg ) A12 B14 C16 D18 【解答】解：由题意可知 10 1 5525( ) (852
15、5) 2 h ， 解得：10h ， 10 1 4525( ) (8525) 2 t ， 解得： 1 2 1 103 t log， 2 103 10log 316 2 lg t lg ， 即大约需要 16 分钟 故选：C 第 9 页（共 20 页） 8 （5 分）已知函数 1,13 ( ) ,39 3 xx f x x lnx ，若函数( )( )g xf xax有两个不同的零点，则 实数a的取值范围是( ) A 2 3 ， 1 ) 2 B 3 11 , 932 ln e C 1312 ,),) 3923 ln e D 312 (0,) 933 ln e ， 1 ) 2 【解答】 解： 函数(
16、)( )g xf xax有两个不同的零点等价于方程 ( )f x a x 有两个不同的根， 因为 1 ,13 ( ) 3 ,39 x x x f x x x ln x x ， 令 1 ( ) x u x x ，则 2 12 ( )() 21 xx u x xxx ， 令( )0u x，得12x；令( )0u x，得23x， 所以( )u x在(1,2)上递增，在(2,3)上递减， 所以u（1）0，u（2） 1 2 ，u（3） 2 3 ， 所以( )(0u x ， 2 ) 3 ， 令 33 ( ) 3 3 xx lnln v x x x ，39x ， 令 3 x t ，则 1 ( ) 3 lnt
17、 yv x t ，13t ， 因为 2 1 1 3 lnt y t ，令0y，解得te， 令0y，解得1te ；0y，解得3et ， 所以y在(1, ) e上单调递增，在( ,3)e上单调递减， 又y（1）0，y（e） 1 3e ，y（3） 3 9 ln ， 所以( )(0v x ， 1 3e ， 第 10 页（共 20 页） 所以直线ya与 1 ,13 ( ) 3 ,39 x x x f x x x ln x x ，有两个交点， 可得a的取值范围为 312 (0,) 933 ln e ， 1 ) 2 故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题小题.在每小题给出的选项中，有多项符
18、合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9 （5 分）若0ab，则( ) A 11 aba B 1 22 ab C 22 2(1)abab Dabab 【解答】解：对于A：由于0ab，所以 11() 0 ()() aabb abaa aba ab ，故A正确； 对于B：由于1abb，所以 1 22 ab ，故B正确； 对于 2222 :222(1)(1)0C ababab，故C错误； 对于D：由已知得：0ab，所以 2 abb， 而abab， 所以两边平方得：2ababab， 整理得bab， 所以 2 bab， 故D正确 故选：ABD 10 （5 分）已知( )f x是定义在R上
19、的奇函数，且满足(4)( )fxf x，则下列说法正确的 是( ) A(8)( )f xf x B( )f x在区间( 2,2)上单调递增 C(2019)(2020)(2021)0fff D( )cos() 42 f xx 是满足条件的一个函数 【解答】解：因为( )f x是定义在R上的奇函数，且满足(4)( )fxf x， 所以()( )fxf x ，(4)()fxfx， 所以(4)( )fxf x ， 所以(8)( )f xf x，A正确； 由已知无法判断函数在区间( 2,2)上单调性，B错误； 第 11 页（共 20 页） (2019)(2020)(2021)ffff（3）f（4）f（5
20、）f（1）(0)( 1)0ff，C正 确； ( )cos()sin 424 f xxx 为奇函数，周期 2 8 4 T ，D正确 故选：ACD 11 （5 分）函数( )sin()f xAx，(A，是常数，0)A的部分图象如图所示， 则( ) A( )2cos(2 ) 6 f xx B( )2sin(2) 3 f xx C( )f x的对称轴为 12 xk ，kZ D( )f x的递减区间为 5 , 1212 kk ，kZ 【解答】解：由函数的图象可得2A ， 11 27 44123 T ，求得2 再根据五点法作图可得2 3 ，求得 3 ， 故函数( )2sin(2)2cos(2 ) 36 f
21、 xxx ，故A、B正确， 令2 32 xk ，kZ，解得 1 212 xk ，kZ， 可得( )f x的对称轴为 1 212 xk ，kZ，故C错误， 令 3 222 232 kxk 剟，kZ，解得 7 1212 kx k 剟，kZ， 可得( )f x的递减区间为 12 k ， 7 12 k ，kZ，故D错误 故选：AB 第 12 页（共 20 页） 12 （5 分）已知函数 sin ( ) x f x x ，(0 x，则下列结论正确的有( ) A( )f x在区间(0，上单调递减 B若 12 0 xx，则 1221 sinsinxxxx C( )f x在区间(0，上的值域为0，1) D若函
22、数( )( )cosg xxg xx，且( )1g ，则( )g x在(0，上单调递减 【解答】解：由 sin ( ) x f x x ，(0 x， 则 2 cossin ( ) xxx fx x ，(0 x， 当(0,) 2 x 时，cos0 x ，由三角函数线可知tanxx， 故 sin cos x x x ，即cossinxxx，故cossin0 xxx， 故( )0fx，( )f x在(0,) 2 递减， 当 2 x ，时，cos0 x，sin0 x，故cossin0 xxx，( )0fx， 故( )f x在 2 ，上单调递减， 故( )f x在(0，上单调递减，故A正确； 当 12
23、0 xx时， 12 ()()f xf x， 故 12 12 sinxsinx xx ，即 1221 sinsinxxxx，故B错误； 由三角函数线可知sin xx，故 sin 1 xx xx ， sin ( )0f ， 故(0 x，时，( )0f x ，1)，故C正确； 对( )( )cosg xxg xx求导得： ( )( )( )sing xg xxgxx ， 第 13 页（共 20 页） 故 sin ( )( ) x gxf x x ，故( )gx在(0，上的值域是0，1)， 故( ) 0gx，( )g x在区间(0，上单调递增， ( )0g，( )( )0g xg ， 故函数( )g
24、x在(0，上单调递减，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：三、填空题： 13 （5 分）设, a b为单位向量，且| 1ab，则|2 |ab 3 【解答】解：, a b为单位向量，且| 1ab， 可得 22 21aa bb，可得 1 2 a b 22 |2 |441 243abaa bb 故答案为：3 14 （5 分）函数 2 ( )1f xxlnx的定义域为 (0，1 【解答】解：要使( )f x有意义，则 2 10 0 x x ，解得01x ， ( )f x的定义域为：(0，1 故答案为：(0，1 15 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，其导函数为( )fx，若对任意的
25、正实数， ( )2 ( )0 xfxf x， 2 ( )( )g xx f x， 则不等式 |1| (2)(2) x gg 的解集为 13 | 22 xx 【解答】解： 2 ( )( )g xx f x， 2 ( )2( )( )0g xxf xx f x 函数( )g x在(0,)上单调递减， 由函数( )f x是定义在R上的偶函数， 得( )g x是定义在R上的偶函数， 若不等式 |1| (2)(2)( 2) x ggg ， 则 1 |1| 2 222 x ，故 1 |1| 2 x ， 第 14 页（共 20 页） 解得： 13 22 x， 故答案为： 13 | 22 xx 16（5 分）
26、 如图，C、D是两所学校所在地，C、D到一条公路的垂直距离分别为8CAkm， 27DBkm为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条 互相垂直的公路PC和PD， 设( 0) 2 APC ， 则当PCPD最小时，AP 12 km 【解答】解：在Rt PAC中，由题意可知APC，则 8 sin PC ， 同理在Rt PBD中，PDB，则 27 cos PD ， 令 827 ( ) sincos fPCPD ，0 2 ； 则 33 2222 8cos27sin27sin8cos ( ) sincossincos f ， ( )0f得 2 tan 3 ，所以 2 tan 3
27、，( )f取得最小值， 此时 8 12 2 tan 3 AC AP ， 所以当PCPD最小时，12APkm 故答案为：12 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知向量 3 ( 2 a ， 1) 2 ，(cos ,sin )bxx，(0,) 2 x （1）若ab，求tanx的值； （2）若a在b上的投影向量长度为 1 2 ，求x的值 【解答】解： （1）因为ab，所以0a b ， 故 31 cossin0 22 xx，所以tan3x ； 第 15 页（共
28、 20 页） （2）因为a在b上的投影向量长度为 1 2 ，所以a与b的夹角为 3 或 2 3 当夹角为 3 时， 31 cossin 1 22 cos, 1 12| xx a b a b a b ， 所以 1 sin() 32 x ，又(0,) 2 x ， 所以( 36 x ，) 3 ， 所以 36 x ，即 6 x ； 当夹角为 2 3 时， 31 cossin 1 22 cos, 1 12| xx a b a b a b ， 所以 1 sin() 32 x ，又( 36 x ，) 3 ， 所以 3 x 不存在 综上：x的值为 6 18 （12 分）某市作为新兴的“网红城市” ，有很多风靡
29、网络的“网红景点” ，每年都有大量 的游客来参观旅游为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级经市场调查， 改造后旅游增加值y万元与投入(10)x x万元之间满足： 2 1 ( 25 x yaxbxlna，b为常 数） 当10 x 万元时，17.7y 万元；当15x 万元时，25y 万元 （参考数据：20.7ln ，31.1ln ，51.6)ln （1） 写出该景点改造升级后旅游增加利润( )L x万元与投入x万元的函数解析式； （利润旅 游增加值投入） （2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1) 【解答】解： （1）由已知得： 1 10010217.7
30、 2 1 22515325 2 abln abln ， 化简得： 1 25 a ， 51 25 b ， 2 151 (10) 50255 x yxxlnx ， 则该景点改造升级后旅游增加利润为： 22 151126 ( )(10) 5025550255 xx L xxxlnxxxlnx 第 16 页（共 20 页） （2）由（1）得： 2 126 ( )(10) 50255 x L xxxlnx ， 则 2 12612625(1)(25) ( ) 25252525 xxxx L xx xxx ， 令( )0L x得，25x ， 当(10,25)x时，( )0L x，( )L x单调递增；当(2
31、5,)x时，( )0L x，( )L x单调递减， 25x时，( )L x取得最大值，且( )(25)11.9 max L xL， 当投入 25 万元时，旅游增加利润最大，最大利润为 11.9 万元 19 （12 分）在cossinaBbAc，cos3 sinbbAaB， 222 4 3 ABC bcaS这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求bc的值；若问题中 的三角形不存在，说明理由 问题：在ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的外接圆半径 为 2，且2bca，_ 【解答】解：若选：因为cossinaBbAc， 所以sincossinsin
32、sinsin()sincoscossinABBACABABAB， 所以sinsincossinBAAB， 因为sin0B ，所以sincosAA，所以 4 A 因为ABC的外接圆半径为 2，所以22 sin a A ，所以4sin2 2aA， 所以24bca， 又因为 2222 2cos()22cosabcbcAbcbcbcA， 所以81622bcbc， 所以 8 4(22)84 2 22 bc 若选：因为cos3 sinbbAaB， 所以sinsincos3sinsinBBAAB， 因为sin0B ，所以3sincos1AA，所以 1 sin() 62 A ， 因为0A，所以 5 (,) 6
33、66 A ， 第 17 页（共 20 页） 所以 66 A ，所以 3 A 因 为ABC的 外 接 圆 半 径 为 2 ， 所 以22 sin a A ， 所 以4 s i n23aA所 以 226bca， 又因为 2222 2cos()22cosabcbcAbcbcbcA， 所以12242bcbc， 所以4bc 若选：因为 222 4 3 ABC bcaS， 由余弦定理得2cos2 3sinbcAbcA， 所以 3 tan 3 A ，所以 6 A 因为ABC的外接圆半径为 2，所以22 sin a A ，所以4sin2aA， 所以22 2bca， 又因为 2222 2cos()22cosab
34、cbcAbcbcbcA， 所以4823bcbc， 所以 4 4(23)84 3 23 bc 20 （12 分）古希腊数学家海伦著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三 边长求三角形的面积 若三角形的三边分别为a、b、c， 则其面积()()()sp papbpc， 这里 2 abc p ，已知在ABC中，8BC ，3ABAC （1）设ACx，试将三角形的面积s表示成x的函数； （2）求s的最大值，并求三角形面积最大时sin A的值 【解答】解： （1）设ACx，则33ABACx， 所以 8448 8282 2 (2)(2)(4)(4) 2222 xxxx sx xxx ，(24)x （2
35、）法一：由（1）得， 22 22 (4)(16) 2 (2)(2)(4)(4)2 (4)(16) 212 2 xx sx xxxxx ， 当 且 仅 当 22 416xx，即10 x 时等号成立， 第 18 页（共 20 页） 所以s得最大值为 12 此时10AC ，3 10AB ，8BC ， 由余弦定理得： 2 22 10(3 10)83 cos 5210 3 10 A ， 所以 2 4 sin1cos 5 AA 法二： 由（1）得： 224222 2 (2)(2)(4)(4)2 (4)(16)220642(10)36sx xxxxxxxx ， 当 2 10 x ，即10 x 时，s取得最大
36、值 12 此时10AC ，3 10AB ，8BC ， 由余弦定理得 2 22 10(3 10)83 cos 5210 3 10 A ， 所以 2 4 sin1cos 5 AA 21 （12 分）已知函数 2 ( )(1)(1)(0)f xxa lnxxa （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若关于x的不等式 1 ( ) x xfxlnx x 在(1,)上恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）函数的定义域为(0,)， 由 2 ( )(1)(1)f xxa lnxx， 得 11 ( )2(1)(1)2(1)() x fxxaxa xx (1)(2)(1) 2(1) a xxa x
37、 x xx ， 令( )0fx，得 2 a x 或1x 当02a时，由( )0fx，得0 2 a x或1x ，由( )0fx，得1 2 a x， 函数( )f x在区间(0,) 2 a ，(1,)上单调递增，在区间( 2 a ，1)上单调递减； 当2a 时，( ) 0fx在(0,)恒成立，则函数( )f x在(0,)上单调递增； 第 19 页（共 20 页） 当2a 时，由( )0fx，得01x或 2 a x ，由( )0fx，得1 2 a x， 函数( )f x在区间(0,1)，( 2 a ，)上单调递增，在区间(1, ) 2 a 上单调递减 综上所述，当02a时，函数( )f x在区间(0
38、,) 2 a ，(1,)上单调递增，在区间( 2 a ，1)上 单调递减； 当2a 时，函数( )f x在(0,)上单调递增； 当2a 时，函数( )f x在区间(0,1)，( 2 a ，)上单调递增，在区间(1, ) 2 a 上单调递减 （2）关于x的不等式 1 ( ) x xfxlnx x 在(1,)上恒成立， 可化为2 lnx ax x 在(1,)上恒成立 设( )2 lnx h xx x ，(1,)x，则 2 22 121 ( )2 lnxxlnx h x xx ， 令 2 ( )21g xxlnx ，则 1 ( )40g xx x ， ( )g x在(1,)上单调递增，则( )g x
39、g（1）10 ， ( )0h x ， 则函数( )h x在(1,)上单调递增，又h（1）2， 02a 实数a的取值范围是(0，2 22 （12 分）已知函数( )1() x f xeaxaR （1）若对任意的实数x，函数( )yfx的图象与直线yx有且只有两个交点，求a的取值 范围； （2）设 2 1 ( )( )1 2 g xf xx，若函数( )g x有两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx，证明： 12 ()()2g xg x 【解答】解： （1）( )1 x f xeax，则( ) x f xea， 由已知得：函数 x yea的图象与直线yx有两个交点， 即方程0 x exa有两
40、个不相等的实数解， 设( ) x h xexa，则h ( )1 x xe，令h ( )0 x 得：0 x ， (,0)x 时，h ( )0 x ，( )h x单调递减， 第 20 页（共 20 页） (0,)x时，h ( )0 x ，( )h x单调递增， ( )(0)1 min h xha，10a ，1a ， 且x时，( )h x ；x时，( )h x ， 1a 时，函数yf ( ) x的图象与直线yx有且只有两交点 （2）证明： 2 1 ( ) 2 x g xexax，g ( ) x xexa， 函数( )g x有两个极值点 1 x， 2 x， 方程g ( )0 x 有两个不同的实数解 1
41、 x， 2 x， 由（1）知：( ) x h xexa， 12 ()()0h xh x，且 12 0 xx， ( )g x在区间 1 (,)x， 2 (x，)上单调递增，在区间 1 (x， 2) x上单调递减， 且 2 2 x axe， 22222 222222 ()2(0) xxxxx hxexaexxeeex x ， 设( )2 (0) xx k xeex x ， 则 11 ( )22()20 xxxx xx k xeeee ee ， ( )k x在(0,)上单调递减， 又(0)0k，( )0k x恒成立，即 2 ()0hx， 12 0 xx ， 又( )g x在 1 (x，0)单调递减，
42、 12 ()()g xgx， 要证 12 ()()2g xg x，只须证 22 ()()2gxg x， 即证 22 2 2 20 xx eex ， 设 2 ( )2(0) xx xeexx ，则 ( )2 xx xeex ， 令( )2 (0) xx p xeex x ，则p ( )20 xx xee ， 所以( )p x在(0,)单调递增，( )(0)0p xp，即 ( )0 x ， 所以( ) x在(0,)单调递增，( )(0)0 x， 故当0 x 时， 2 20 xx eex ，即 22 2 2 20 xx eex ， 所以 22 ()()2gxg x，亦即 12 ()()2g xg x
