1、 第 1 页（共 20 页） 2020-2021 学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |0Mx xx ， |sinNy yx，xR，则(MN ) A 1，0 B(0,1) C0，1 D 2 （5 分） “2() 4 xkkZ ”是“tan1x ”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不
2、必要条件 3 （5 分）在ABC中，AB边上的高为CD，CBCA，| 1,| 2CBCA，则(AD ) A 44 55 CBCA B 11 33 CBCA C 41 53 CBCA D 13 35 CBCA 4 （5 分） 声音大小 （单位为分贝） 取决于声波通过介质时， 所产生的压力变化（简称声压， 单位为 2 /)N m已知声压x与声音大小y的关系式为 2 5 10() 2 10 x ylg ，且根据我国工 业企业噪声卫生标准规定，新建企业工作地点噪声容许标准为 85 分贝若某新建企业运 行时测得的声音为 80 分贝，则该企业的声压为( ) A 2 20/N m B 2 5/N m C 2
3、 0.5/Nm D 2 0.2/Nm 5 （5 分）已知 1 sin()3cos 33 ，则sin(2) 6 的值为( ) A 1 3 B 1 3 C 7 9 D 7 9 6 （5 分）函数 2 |2 | ( ) | lgx f xx x 的图象大致为( ) A B C D 7 （5 分） 周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰： “阴阳之数， 第 2 页（共 20 页） 日月之法， 十九岁为一章， 四章为一部， 部七十六岁， 二十部为一遂， 遂千百五二十岁， 生 数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公寓住有 20 位老人，他们的年龄（都为正整 数）之和恰好为一遂，其中年
4、长者已是奔百之龄（年龄介于90 100)，其余 19 人的年龄依 次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A94 B95 C96 D98 8 （5 分）设 ,01 ( ) ,1 xx f x elnx x ，若f（a）() a f e，则 1 ( )(f a ) A1 B2 Ce De 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）
5、下列关于平面向量的说法中，正确的有( ) A已知a，b均为非零向量，则/ /ab存在唯一的实数，使得ba B若向量,AB CD共线，则点A，B，C，D必在同一直线上 C若点G为ABC的重心，则0GAGBGC D若a cb c且0c ，则ab 10 （5 分）已知数列 n a是递减等差数列，其前n项和为 n S，且 57 SS，则下列结论正确 的有( ) A 6 S最大 B 6 S最小 C 13 0S D 11 0S 11 （5 分）函数( )sin()(0f xAxA，|) 2 的图象如图所示，则下列结论正确的有 ( ) A( )sin(2) 6 f xx B( )f x在 47 , 36 上
6、是增函数 第 3 页（共 20 页） C将( )f x的图象向左平移 12 个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称 D若 5 ,(,) 36 m n ，且( )( )f mf n，则f 3 () 2 mn 12 （5 分）已知函数 2 sin ( ) 1 x f x x ，则下列选项正确的有( ) A函数( )f x的零点是()xkkZ B函数( )f x是奇函数，且在(0,)上单调递增 C若 0 x是函数( )f x在(0,) 2 上的极值点，则 0 1 4 x D 2 |( )|f x 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13
7、（5 分）已知数列 n a是公比为 2 的等比数列，其前n项和为 n S，且 76 21SS，则 15 aa 14 （5 分）已知向量( , 3)am，( 3b ，1)，若向量a，b的夹角为 3 ，则实数m 15 （5 分）如图，从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆，其中，PN的长为a米， MN的长为2a米，在P处测得N的仰角为30，在N处测得M的仰角为30则此山的高 度为 米 16 （5 分）已知函数( )(22) x f xkxkex若存在唯一的整数 0 x使得 0 ()0f x，则实 数k的最小值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字
8、说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知向量a与b的夹角为60，| 2a ，(1,0)b （1）求|2 |ab； （2）若()(2)atbab，求实数t的值 18 （12 分）在 13 6aa， 5 9a ， 1 1a ， 2 441 nn San， 1 2a ， 237 2a aa这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的m，t存在，求m，t的值；若问题 第 4 页（共 20 页） 中的m，t不存在，说明理由 问题：已知等差数列 n a为递增数列，其前n项和为 n S，且_在数列 n a的前 20 项 中，是否存在两项 m a，(
9、t a m，*tN且)mt，使得 2 111 , mt aaa 成等比数列 19 （12 分）已知函数( )2sin ( 3cossin )1f xxxx （1）讨论( )f x在, 6 4 的单调性； （2）先将函数( )yf x的图象向右平移 3 4 个单位长度，再把所得函数图象上所有点的纵 坐标不变，横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数( )yg x的图象，求 17 () 8 g 的值 20 （12 分）已知函数 1 ( )log(1) 1 a mx f xa x 是奇函数 （1）若( )0f x ，求x的取值范围； （2）当( , )xt a时，( )f x的值域是(1,)，求at的
10、值 21 （12 分）如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中，直径AB长为2 2km，C， D两点在半圆弧上， 且ADBC， 设C O B， 现要在景区内铺设一条观光通道， 由AB， BC，CD和DA组成 （1）若 6 ，求观光通道l的长度； （2）现要在农庄内种植经济作物，其中，在AOD内种植鲜花，在OCD内种植果树，在 扇形COB内种植草坪已知种植鲜花和种植果树的利润均为 2 百万元 2 /km，种植草坪的利 润为 1 百万元 2 /km，则当为何值时总利润最大？ 22 （12 分）已知函数 2 ( )4(42) (1) xx f xeaeax a （1）讨论( )f x的单调性；
11、（2）当0a 时，方程( )20 2 b f xblnxx有唯一的实数解，求实数b的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2020-2021 学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |0Mx xx ， |sinNy yx，xR，则(MN ) A 1，0 B(0,1) C0，1 D 【解答
12、】解：根据二次不等式和性质可知： 2 |0 0Mx xx，1，根据三角函数的图 象与性质得 | 11Nyy 剟， 所以它们的交集为 |01MNyy剟 故选：C 2 （5 分） “2() 4 xkkZ ”是“tan1x ”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当2() 4 xkkZ 时，tan1x 成立 当tan1x 时，2 4 xk 或 5 2() 4 xkkZ 故2() 4 xkkZ 是tan1x 成立的充分不必要条件 故选：A 3 （5 分）在ABC中，AB边上的高为CD，CBCA，| 1,| 2CBCA，则(AD ) A 44
13、55 CBCA B 11 33 CBCA C 41 53 CBCA D 13 35 CBCA 【解答】解：如图， | 1,| 2CBCA，CBCA，CD是AB边上的 第 6 页（共 20 页） 高， 5AB ， 2 5 CD ， 41 , 55 ADBD， 444 555 ADABCBCA 故选：A 4 （5 分） 声音大小 （单位为分贝） 取决于声波通过介质时， 所产生的压力变化（简称声压， 单位为 2 /)N m已知声压x与声音大小y的关系式为 2 5 10() 2 10 x ylg ，且根据我国工 业企业噪声卫生标准规定，新建企业工作地点噪声容许标准为 85 分贝若某新建企业运 行时测得
14、的声音为 80 分贝，则该企业的声压为( ) A 2 20/N m B 2 5/N m C 2 0.5/Nm D 2 0.2/Nm 【解答】解： 2 5 10() 2 10 x ylg ， 取80y ，可得 2 5 8010() 2 10 x lg ， 得 5 4 2 10 x lg ， 4 5 10 2 10 x ，即 542 2 10100.2(/)xN m 故选：D 5 （5 分）已知 1 sin()3cos 33 ，则sin(2) 6 的值为( ) A 1 3 B 1 3 C 7 9 D 7 9 【解答】解：因为 13131 sin()3cossincos3cossincossin()
15、cos() 32222363 ， 所以 22 17 sin(2)cos(2)2cos ()12( )1 63639 故选：D 6 （5 分）函数 2 |2 | ( ) | lgx f xx x 的图象大致为( ) A B 第 7 页（共 20 页） C D 【 解 答 】 解 ： 函 数 的 定 义 域 为(，0)(0，)， 且 22 | 2 |2 | () |( ) () lgxlgx fxxxf x xx ， 函数( )f x为偶函数，排除选项AD； 又当x时，|x ， 2 | 0 lg x x ，则( )f x ，故排除选项B 故选：C 7 （5 分） 周髀算经是中国古代重要的数学著作，
16、其记载的“日月历法”曰： “阴阳之数， 日月之法， 十九岁为一章， 四章为一部， 部七十六岁， 二十部为一遂， 遂千百五二十岁， 生 数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”某老年公寓住有 20 位老人，他们的年龄（都为正整 数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90 100)，其余 19 人的年龄依 次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A94 B95 C96 D98 【解答】解：根据题意可知这 20 个老人年龄之和为 1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最 大者为m，90m，100 则有(1)(2)(18)191711520nnnnmnm， 则有191349nm，则134919mn
17、所以90 1349 19100n剟， 解得 145 6566 1919 n剟 因为年龄为整数，所以66n ， 则1349196695m 故选：B 8 （5 分）设 ,01 ( ) ,1 xx f x elnx x ，若f（a）() a f e，则 1 ( )(f a ) A1 B2 Ce De 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：根据题意， ,01 ( ) ,1 xx f x elnx x ， 则区间(0,1)上，( )f xx，是增函数， 在区间1，)上，( )f xelnx，也是增函数， 若f（a）() a f e，必有01 a ae 或01 a ea ， 当1a 时，1 a e ，不
18、能成立， 则必有01 a ae ，则有 a aelne， 变形可得：aea，解可得 1 a e ， 则 1 ( )ff a （e）elnee， 故选：C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列关于平面向量的说法中，正确的有( ) A已知a，b均为非零向量，则/ /ab存在唯一的实数，使得ba B若向量,AB CD共线
19、，则点A，B，C，D必在同一直线上 C若点G为ABC的重心，则0GAGBGC D若a cb c且0c ，则ab 【解答】解：由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的； 向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线， 只有当向量,AB CD所在的基线共线时， 点A， B，C，D才在同一直线上，即B不正确； 设线段AB的中点为M，若点G为ABC的重心，则2GAGBGM，而2GCGM ，所 以0GAGBGC，即C正确； 由平面向量的数量积可知，若a cb c且0c ，反例0a cb c，此时向量a，b共线， 但是不一定相等，即D不正确； 故选：AC 10 （5 分）已知数列 n a是递减等差数列，其前n
20、项和为 n S，且 57 SS，则下列结论正确 第 9 页（共 20 页） 的有( ) A 6 S最大 B 6 S最小 C 13 0S D 11 0S 【解答】解： 57 SS， 11 5476 57 22 adad ，化为： 1 2110ad 67 0aa， 由于数列 n a是递减等差数列， 1 2 0 11 da 6 0a， 7 0a ，可得 6 S最大，故A正确，B错误； 112 12 12() 0 2 aa S 又0d ， 必然 11 0S， 13 0S，可得C，D正确 故选：ACD 11 （5 分）函数( )sin()(0f xAxA，|) 2 的图象如图所示，则下列结论正确的有 (
21、 ) A( )sin(2) 6 f xx B( )f x在 47 , 36 上是增函数 C将( )f x的图象向左平移 12 个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称 D若 5 ,(,) 36 m n ，且( )( )f mf n，则f 3 () 2 mn 【解答】解：根据函数( )sin()(0f xAxA，0，|) 2 的部分图象， 可得1A， 1 27 4123 ，2 再根据五点法作图可得2 3 ， 3 ， ( )sin(2) 3 f xx ，故A错误； 第 10 页（共 20 页） 令222 232 kxk 剟，kZ，解得 5 1212 kx k 剟，kZ， 取1k 时，可得函数( )f
22、 x的一个单调递增区间为 17 12 ， 11 12 ， 因为 4717 , 3612 ， 11 12 ，所以( )f x在 47 , 36 上是增函数故B正确； 将函数( )f x的图象向左平移 12 个单位得到函数( )sin(2)cos2 63 g xxx ，为偶函数， 关于y轴对称，故C正确； 令2 32 xk ，kZ，可得 212 k x ，kZ，取1k ，可得函数( )f x的一条对称 轴为 7 12 x ， 若 5 ,(,) 36 m n ，且( )( )f mf n，则 77 2 126 mn ， 57823 ()()sin(2)sinsin 663332 f mnf ，故D正
23、确 故选：BCD 12 （5 分）已知函数 2 sin ( ) 1 x f x x ，则下列选项正确的有( ) A函数( )f x的零点是()xkkZ B函数( )f x是奇函数，且在(0,)上单调递增 C若 0 x是函数( )f x在(0,) 2 上的极值点，则 0 1 4 x D 2 |( )|f x 【解答】解：对于A：函数 2 sin ( ) 1 x f x x ，当()xkkZ时，()0f k，故函数的零点为 ()xkkZ，故A正确； 对于B：函数 2 sin() ()( ) 1() x fxf x x ，所以函数为奇函数， 2 22 (1)cos2 sin ( ) (1) xxxx
24、 fx x ，令 2 ( )(1)cos2 sing xxxxx， 所以 222 ( )(1)sin2 cos2sin(3)sin(3)sing xxxxxxxxxx， 当(0,) 2 x 时，则( )0g x恒成立， 所以( )g x单调递减故函数( )f x在(0,)上单调递增错误，故B错误； 对于C： 由B的结论， 函数( )g x在(0,) 2 上单调递减， 所以 0 x为( )g x在(0,) 2 上的唯一零点 第 11 页（共 20 页） 由于 2 2 ()(1)0 42162 g ，g（1）2cos12sin10， 所以则 0 1 4 x 故C正确； 对于D：当(0, )x时，对
25、任意的0k ，且kZ，有 2 sin |( )| | 1 x f x x ， 22 sin()sin |()| | | |( )| 1()1() xkx f xkf x xkxk ， 故仅讨论|( )|f x在(0, )上的取值即可， 选项C的分析中， 2 ( )(3)sing xxx，当(0, )x时，( )0g x，故函数( )g x单调递减， 从而( )f x在 0 (,) 4 xx 上单调递增，在 0 (,) 2 xx 上单调递减， 所以 2 12 |( )| |( )| 2 1( ) 2 f xf ，故D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，
26、每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分） 已知数列 n a是公比为 2 的等比数列， 其前n项和为 n S， 且 76 21SS， 则 15 aa 17 【解答】解：数列 n a是公比为 2 的等比数列，其前n项和为 n S，且 76 21SS， 所以 76 11 (21)(21) 21 2121 aa ，解得 1 1a ， 故 15 1 1617aa 故答案为：17 14 （5 分）已知向量( , 3)am，( 3b ，1)，若向量a，b的夹角为 3 ，则实数m 0 【解答】解： 2 |9,| 2amb，33a bm，且, 3 a b ， 2 331 2 29 m m ，解得3
27、3m 或 0， 3 3m 时，0a b ，不满足 2 331 2 29 m m ，应舍去， 0m 故答案为：0 15 （5 分）如图，从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆，其中，PN的长为a米， MN的长为2a米，在P处测得N的仰角为30，在N处测得M的仰角为30则此山的高 第 12 页（共 20 页） 度为 3 2 a 米 【解答】解：如图，过M作MA垂直过P的水平面于A， 过N作NB垂直过P的水平面于B，则/ /MANB， 连接AB，PA，PM，PB，过N作NHMA于H， 依题意得：四凌锥PABNM的底面ABNM为直角梯形，30NPB，45MPA， 30MNH， 可得 1 sin30
28、2 NBNPa ， 1 2 MHMNa， 山高 13 22 MAMHHAMHNBaaa（米) 故答案为： 3 2 a 16 （5 分）已知函数( )(22) x f xkxkex若存在唯一的整数 0 x使得 0 ()0f x，则实 数k的最小值为 21 3 e e 【解答】解：由( )(22)0 x f xkxkex，得22 x x kxk e ， 令( ) x x g x e ，则 2 1 ( ) () xx xx exex g x ee ， 当(,1)x 时，( )0g x，当(1,)x时，( )0g x， ( )g x在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 作出函数( )g x的图
29、象如图， 令22(2)2ykxkk x， 可知该直线过点( 2, 2)A ，当1x 时，g（1） 1 e ，则 1 (1, )B e ， 第 13 页（共 20 页） AB所在直线当斜率为 1 2 21 123 AB e e k e ， 此时直线AB的方程为 121( 1) 3 e yx ee ，当0 x 时， 22 0 3 e y e ， 满足存在唯一的整数 0 使得22 x x kxk e 成立， 故实数k的最小值为 21 3 e e 故答案为： 21 3 e e 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字
30、说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知向量a与b的夹角为60，| 2a ，(1,0)b （1）求|2 |ab； （2）若()(2)atbab，求实数t的值 【解答】解： （1）,60a b，| 2,| 1ab， 1a b ， 222 |2 |(2 )444442ababaa bb； （2）()(2)atbab， 22 () (2)2(21)8(21)0atbabata btbtt ，解得7t 18 （12 分）在 13 6aa， 5 9a ， 1 1a ， 2 441 nn San， 1 2a ， 237 2a aa这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的m，t存在，求m
31、，t的值；若问题 第 14 页（共 20 页） 中的m，t不存在，说明理由 问题：已知等差数列 n a为递增数列，其前n项和为 n S，且_在数列 n a的前 20 项 中，是否存在两项 m a，( t a m，*tN且)mt，使得 2 111 , mt aaa 成等比数列 【解答】解：已知等差数列 n a为递增数列，则公差0d ， 选得： 13 5 6 9 aa a ，整理得 1 1 226 49 ad ad ， 解得 1 1 2 a d 故21 n an 由于 2 111 , mt aaa 成等比数列， 所以 2 2mt aa a， 所以 2 (21)3(21)mt， 由于20t， 所以
32、2 (21)117m 由于mN， 所以21 10m ， 所以5m， 所以 2 2 m t 或 5 14 m t 由于mt，所以5m ，14t 选： 1 1a ， 2 441 nn San， 整理得 22 2(1)(1)nnd，解得2d 故21 n an 选时， 111 ()(2 )2(7 )ad adad， 由于 1 2a ， 解得2d ， 故21 n an， 第 15 页（共 20 页） 由于 2 111 , mt aaa 成等比数列， 所以 2 2mt aa a， 所以 2 (21)3(21)(21)mtmN ， 由于20t， 所以 2 (21)117(21)mmN 由于mN， 所以21
33、10m ， 所以5m， 所以 2 2 m t 或 5 14 m t 由于mt，所以5m ，14t 19 （12 分）已知函数( )2sin ( 3cossin )1f xxxx （1）讨论( )f x在, 6 4 的单调性； （2）先将函数( )yf x的图象向右平移 3 4 个单位长度，再把所得函数图象上所有点的纵 坐标不变，横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数( )yg x的图象，求 17 () 8 g 的值 【解答】 解：（1） 函数( )2sin ( 3cossin )13sin2cos222sin(2)2 6 f xxxxxxx 令222 262 kxk 剟，求得 36 kx k
34、剟，可得函数的增区间为 3 k ， 6 k ，kZ 结合, 6 4 x ，可得( )f x在 6 ， 6 上单调递增 同理求得( )f x在 6 ， 4 上单调递减 （ 2 ） 先 将 函 数( )yf x的 图 象 向 右 平 移 3 4 个 单 位 长 度 ， 可 得 3 2sin(2)22cos(2)2 266 yxx 的图象， 再把所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数 ( )2 cos(4)2 6 yg xx 的图象， 第 16 页（共 20 页） 故 171725 ()2cos()22cos21 8263 g 20 （12 分）已知函数 1 ( )
35、log(1) 1 a mx f xa x 是奇函数 （1）若( )0f x ，求x的取值范围； （2）当( , )xt a时，( )f x的值域是(1,)，求at的值 【解答】解： （1）根据题意，函数 1 ( )log(1) 1 a mx f xa x 是奇函数， 则()( )fxf x ，即 11 loglog 11 aa mxmx xx ， 变形可得： 22 (1)0mx， 解可得1m 或1， 当1m 时， 1 1 1 mx x ，( )f x无意义，不符合题意， 当1m 时， 1 ( )log 1 a x f x x ，是奇函数，符合题意， 故 1 ( )log 1 a x f x x
36、 ； 若( )0f x ，即 1 log0 1 a x x ，即 1 1 1 x x ， 解可得1x ，即x的取值范围为(1,)； （2） 1 ( )log 1 a x f x x ，必有 1 0 1 x x ，解可得1x 或1x ， 即函数的定义域位 |1x x 或1x ， 若( )1f x ，即 1 1 x a x ，变形可得 1 1 0 1 a x a x ，解可得 1 1 1 a x a ， 又由( , )xt a，则 1 1 1 t a a a ，解可得1t ，21a ， 故2at 21 （12 分）如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中，直径AB长为2 2km，C， D两点在
37、半圆弧上， 且ADBC， 设C O B， 现要在景区内铺设一条观光通道， 由AB， BC，CD和DA组成 （1）若 6 ，求观光通道l的长度； （2）现要在农庄内种植经济作物，其中，在AOD内种植鲜花，在OCD内种植果树，在 第 17 页（共 20 页） 扇形COB内种植草坪已知种植鲜花和种植果树的利润均为 2 百万元 2 /km，种植草坪的利 润为 1 百万元 2 /km，则当为何值时总利润最大？ 【解答】解： （1）在COB中， 6 COB ，2OBOC， 222 2cosBCOCOBOB OCCOB 2 3 2222242 3( 31) 2 ， 则31BC ，31AD， 又AODBOC
38、， 6 AODCOB ，得 2 3 COD 在DOC中， 222 2cosCDOCODOC ODCOD 1 22222()6 2 ，则6CD 2( 231)6lABBCCDAD ； （2）由题意， 1 sinsin 2 AOD SOA OD ， 1 sin(2 )sin2 2 COD SOC OD ， 2 1 2 OBC SOB 扇形 设总利润为( )T，则( )2sin2sin2T， 2 ( )2cos4cos21 8cos2cos3(4cos3)(2cos1)T (0,) 2 ，当(0,) 3 时， 1 cos1 2 ，( )0T，( )T单调递增， 当( 3 ，) 2 时， 1 0cos
39、 2 ，( )0T，( )T单调递减， ( )()2 3 33 min TT 当 3 时，总利润取得最大值，最大值为(2 3) 3 百万元 第 18 页（共 20 页） 22 （12 分）已知函数 2 ( )4(42) (1) xx f xeaeax a （1）讨论( )f x的单调性； （2）当0a 时，方程( )20 2 b f xblnxx有唯一的实数解，求实数b的取值范围 【解答】解： （1） 2 ( )24422(1)(21) xxxx f xeaeaeea， 当21 0a ，即 1 2 a时，(21)0 x ea， 令( )0fx，解得：0 x ，( )f x在(0,)递增， 令(
40、 )0fx，解得：0 x ，( )f x在(,0)递减， 当 1 1 2 a时，0211a ， 令( )0fx，解得：0 x 或(21)xlna， ( )f x在(，(21)lna ，(0,)递增， 令( )0fx，解得：(21)0lnax，( )f x在( (21)lna ，0)的递减； 综上： 1 2 a时，( )f x在(,0)递减，)在(0,)递增， 1 1 2 a时，( )f x在(，(21)lna ，(0,)递增，在( (21)lna ，0)的递减； （2）当0a 时，方程( )0 2 b f xblnx可化为 2 0 2 x b eblnx， 令 2 ( )(0) 2 x b g
41、 xeblnxx， 则 2 2 2 ( )2 x x bxeb g xe xx ， 当0b 时， 2 ( )0 x g xe，方程无实数根， 当0b 时，( )0g x，( )g x在(0,)递增， 令 1 (0 x ，()lnb且 4 1 xe，1b ，则 1 x eb ， 111 2 1111 1 ()()()() 222 xxx bb g xeblnxebblnxb elnx 40 1ee ， 4 3 e ee ， 第 19 页（共 20 页） 4 1 4 1 1111 340 2222 xe elnxelne ， 又0b ，故 1 ()0g x， 又g（1） 2 0 2 b e， 故当
42、0b 时，方程有唯一实数根； 当0b 时，令 2 ( )2 x h xxeb，则 2 ( )2(21) x h xxe， 当0 x 时，( )0h x，( )h x在(0,)递增， (0)0hb ，( )(1)0 2 bb b hbebb e， ( )h x在(0,)上有且只有 1 个零点，设为 0 x，则 0 2 0 2 x bx e， 故当 0 (0,)xx时，( )0h x ，( )0g x，( )g x递减， 当 0 (xx，)时，()0h xx ，( )0g x，( )g x递增， 0 2 000 0 ( )() 222 x min bbb g xg xeblnxblnx x ， 令
43、 1 ( )(0) 22 b xblnxb x x ， 则 2 ( )0 2 bb x xx ， ( ) x在(0,)上递减，且（1）0， 若 0 ()0g x，则 0 1x ， 2 2be，此时方程有唯一实数根， 令( )m x在(0,)递增，且m（1）0， 当 2 02be时， 0 22 0 22 x x ee， 0 01x， 故 00 0 1111 ()()(1)0 2222 g xblnxbln x ， 故方程无实数根， 当 2 2be时， 0 22 0 22 x x ee， 0 1x且 0 ()0g x， 令 20 (xx，)且 2 xlnb， 则 222 1 ()(1)0 22 b g xb lnxlnx ， 又 11 22 11 22 22 ()0 2 ee b g eeblnee ， 故方程有 2 个不同的实数根，不满足题意， 第 20 页（共 20 页） 综上：当0b 或 2 2be时，方程有唯一实数根
