1、 第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年云贵川桂四省高三（上）联考数学试卷（理科）学年云贵川桂四省高三（上）联考数学试卷（理科） （10 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |025Axx， 2 |4Bx x，则(AB ) A(2,3) B2，3) C( 2,2) D( 2，2 2 （5 分）已知向量(1,1)m，(2,2)n，若(2)()mnmn，则( ) A1 B 11
2、3 C 8 3 D2 3 （5 分） “13a”是“3lgalg”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 4 （5 分）如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是 圆锥高的 2 倍，且圆锥的母线长是 4，侧面积是4，则制作这样一个粮仓的用料面积为( ) A( 154) B( 2 154) C( 3 154) D(4 154) 5 （5 分）已知数列 n a， n b， n c均为等差数列，且 111 1abc， 222 3abc，则 202020202020 (abc ) A4037 B4039 C4041 D4043
3、6 （5 分）已知正数m，n满足482 mn ，则32mn的最小值为( ) A24 B18 C16 D12 7 （5 分）函数 3 ( )(3)sinf xxxx的部分图象大致为( ) 第 2 页（共 18 页） A B C D 8 （5 分）已知一块木板上有三个孔洞，则能够塞住这三个孔洞的塞子可能是( ) A B C D 9 （5 分）如图，在四面体ABCD中，已知 3 5 AEAB，2AFFC，3GDAG，则四面体 ABCD被截面EFG分得的上下两部分的体积之比为( ) A 1 8 B 1 10 C 1 9 D 4 15 10 （5 分）图 1 是第七届国际数学教育大会(7)ICME 的会
4、徽图案，它是由一串直角三角 形演化而成的（如图2)，其中 1122378 1OAA AA AA A，则 68 sin(A OA ) A 7 22 21 28 B 7 22 21 28 C14 3 1 28 D14 3 1 28 11 （5 分）设( )f x是定义在(，0)(0，)上的函数，( )fx为其导函数， 第 3 页（共 18 页） (12 )(21)fxfx，( 2)0f ，当0 x 时，( )( )xfxf x，则使得( )0f x 成立的x的 取值范围是( ) A( 2，0)(0，2) B(，2)(2，) C(，2)(0，2) D(0，2)(2，) 12（5 分） 在ABC中，
5、内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 22 12 2sin abab C ab ， 则ABC外接圆面积的最小值为( ) A 8 B 4 C 2 D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）函数( )f x在(,) 上单调递增，且当0 x，4时， 2 ( )2f xx，则关于x 的不等式( )0f x 的解集为 14 （5 分）设 n S是数列 n a的前n项和，若点( n S，) n a在直线21yx上，则 5 a 15 （5 分）设x，y满足约束条件 0, |
6、2, xy xy 则4zxy的最小值为 16 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，前n项积为 n T，且 32019 1 11 1 1 aa ee ，有下述四 个结论： 当数列 n a为等差数列时， 2021 0S； 当数列 n a为等差数列时， 2021 0S； 当数列 n a为等比数列时， 2021 0T； 当数列 n a为等比数列时， 2021 0T 其中所有正确结论的编号是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）长方体 1111 ABCDABC D的底面ABCD是边长为 1 的
7、正方形，其外接球的表面 积为5 （1）求该长方体的表面积； （2）求异面直线BD与 1 B C所成角的余弦值 第 4 页（共 18 页） 18 （12 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列， 2 6a为 3 a， 4 a的等差中项 （1）求 n a的公比； （2）若 1 1a ，设 31323 logloglog nn baaa，求数列 1 1 n b 的前n项和 19 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知tantan()1 4 AA （1）求cos A； （2）若10AB AC ，求ABC的面积，并求 2 a的最小值 20 （12 分）在如图所示的空间几何体中，平
8、面ACD 平面ABC，平面ECB 平面ABC， ACD，ECB，ACB都是等边三角形 （1）证明：/ /DE平面ABC （2）求二面角EABC的余弦值 21 （12 分）已知数列 n a的首项为 0， 11 2320 nnnn a aaa （1）证明数列 1 1 n a 是等差数列，并求出数列 n a的通项公式； （ 2 ） 已 知 数 列 n b的 前n项 和 为 n S， 且 数 列 n b满 足 2 1 n n n b a ， 若 不 等 式 1 ( 1)3 2 nn n S 对一切*nN恒成立，求的取值范围 22 （12 分）已知函数( )(1)(0) ax f xelnx a （1）
9、 当1a 时， 求曲线( )yf x在(1，f（1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2） 若关于x的方程 2 ( )f xaxax在1，)上恰有三个不同的实数解， 求a的取值范围 第 5 页（共 18 页） 第 6 页（共 18 页） 2020-2021 学年云贵川桂四省高三（上）联考数学试卷（理科）学年云贵川桂四省高三（上）联考数学试卷（理科） （10 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要
10、求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 |025Axx， 2 |4Bx x，则(AB ) A(2,3) B2，3) C( 2,2) D( 2，2 【解答】解： | 23Axx ， | 22Bxx 剟， ( 2AB ，2 故选：D 2 （5 分）已知向量(1,1)m，(2,2)n，若(2)()mnmn，则( ) A1 B 11 3 C 8 3 D2 【解答】解：向量(1,1)m，(2,2)n， 2(34,4)mn，( 1, 1)mn ， (2)()mnmn， (2) ()( 1)(34)4 ( 1)0mnmn ， 解得 8 3 故选：C 3 （5 分） “13a”是“3lgalg”的
11、( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：因为3lgalg等价于03a，13a能推出03a，但是03a不能推 出13a， 所以13a”是“3lgalg”的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是 圆锥高的 2 倍，且圆锥的母线长是 4，侧面积是4，则制作这样一个粮仓的用料面积为( 第 7 页（共 18 页） ) A( 154) B( 2 154) C( 3 154) D(4 154) 【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，高为h； 所以4rl，解得1r ， 22 4
12、115h ； 又圆柱的侧面积为224 15rh， 所以制作这样一个粮仓的用料面积为 (4 154) 故选：D 5 （5 分）已知数列 n a， n b， n c均为等差数列，且 111 1abc， 222 3abc，则 202020202020 (abc ) A4037 B4039 C4041 D4043 【解答】解：由数列 n a， n b， n c均为等差数列， 所以数列 nnn abc也是等差数列， 且首项为 111 1abc，公差为 222111 ()()3 12abcabc ， 所以 202020202020 1(20201)24039abc 故选：B 6 （5 分）已知正数m，n满
13、足482 mn ，则32mn的最小值为( ) A24 B18 C16 D12 【解答】解：由正数m，n满足482 mn ，可得 23 22 mn ， 23 1 mn ， 则 2349 32(32 )()12122 3624 nm mnmn mnmn ， 当且仅当4m ，6n 时取等号 第 8 页（共 18 页） 故选：A 7 （5 分）函数 3 ( )(3)sinf xxxx的部分图象大致为( ) A B C D 【解答】解： 33 ()( 3)sin()(3)sin( )fxxxxxxxf x ， ( )f x为偶函数，排除选项B； 当03x时， 3 30 xx，sin0 x ，( )0f
14、x， 当3x时， 3 30 xx，sin0 x ，( )0f x， 故选：D 8 （5 分）已知一块木板上有三个孔洞，则能够塞住这三个孔洞的塞子可能是( ) A B C D 【解答】解：选项C的左视图、主视图、俯视图恰好对应木板上的三个孔洞， 故选：C 9 （5 分）如图，在四面体ABCD中，已知 3 5 AEAB，2AFFC，3GDAG，则四面体 ABCD被截面EFG分得的上下两部分的体积之比为( ) 第 9 页（共 18 页） A 1 8 B 1 10 C 1 9 D 4 15 【解答】解：如图，设ABC的面积为S， 点D到平面ABC的距离为h， 则 1 3 ABCD VSh，且 322
15、535 AEF SSS ， 点G到平面ABC的距离为 1 4 h， 1211 35430 AEFG VShSh， 四面体ABCD被截面EFG分得的上下两部分的体积之比为： 111 :()1:9 30330 ShShSh 故选：C 10 （5 分）图 1 是第七届国际数学教育大会(7)ICME 的会徽图案，它是由一串直角三角 形演化而成的（如图2)，其中 1122378 1OAA AA AA A，则 68 sin(A OA ) A 7 22 21 28 B 7 22 21 28 C14 3 1 28 D14 3 1 28 【解答】解：因为 112 1OAA A，且 12 OA A是直角三角形，
16、所以 2 2OA ， 同理可得 6 6OA ， 7 7OA ， 所以 686778 17617 22 21 sinsin() 287878 AOAAOAA OA 故选：A 第 10 页（共 18 页） 11 （5 分）设( )f x是定义在(，0)(0，)上的函数，( )fx为其导函数， (12 )(21)fxfx，( 2)0f ，当0 x 时，( )( )xfxf x，则使得( )0f x 成立的x的 取值范围是( ) A( 2，0)(0，2) B(，2)(2，) C(，2)(0，2) D(0，2)(2，) 【解答】解：由题意设( )( )g xxf x， 则( )( )( )g xxfxf
17、 x， 当0 x 时，有( )( )0 xfxf x， 则当0 x 时，( )0g x， 函数( )( )g xxf x在(0,)上为增函数， (12 )(21)fxfx，故函数( )f x是偶函数， ()() ()() ( )( )( )gxx fxxf xxf xg x ， 函数( )g x为定义域上的奇函数， 由( 2)0f 得，( 2)gg （2）0， ( )0f x 即0 x 时，( )0g xg（2） ，解得：2x ， 0 x 时，( )0g x ，解得：2x 使得( )0f x 成立的x的取值范围是：(，2)(2，)， 故选：B 12（5 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的
18、边分别为a，b，c， 22 12 2sin abab C ab ， 则ABC外接圆面积的最小值为( ) A 8 B 4 C 2 D 【解答】解：因为 222 12()11 2sin2 ababab Cab ababab ， 当且仅当1ab时取等号， 所以sin1C， 又sin1C，故sin1C ， 又 22 2 1 () 224 abab ， 所以 222 1 2 cab， 第 11 页（共 18 页） 所以ABC外接圆面积 2 ( ) 28 c 即最小值 8 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上
19、分把答案填在答题卡中的横线上 13 （5 分）函数( )f x在(,) 上单调递增，且当0 x，4时， 2 ( )2f xx，则关于x 的不等式( )0f x 的解集为 (, 2) 【解答】解：根据题意，当0 x，4时， 2 ( )2f xx，则 2 ( 2)( 2)20f， 则( )0f x 即( )( 2)f xf， 又由函数( )f x在(,) 上单调递增，必有2x ，即不等式的解集为(, 2)， 故答案为：(, 2) 14（5 分） 设 n S是数列 n a的前n项和， 若点( n S，) n a在直线21yx上， 则 5 a 1 【解答】解：设 n S是数列 n a的前n项和，若点(
20、 n S，) n a在直线21yx上， 所以21 nn aS， 当1n 时， 1 1a 当2n时， 11 21 nn aS ， 得： 1nn aa ，即 1 1 n n a a （常数） ， 所以数列 n a是以1为首项，1为公比的等比数列 所以 4 5 ( 1) ( 1)1a 故答案为：1 15 （5 分）设x，y满足约束条件 0, |2, xy xy 则4zxy的最小值为 8 【解答】解：由4zxy得4yxz 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）: 平移直线4yxz， 第 12 页（共 18 页） 由图象可知当直线4yxz过点( 2,0)A 时，直线4yxz的截距最大，此时z最小，
21、得4 ( 2)08z ， 目标函数2zxy的最小值是8 故答案为：8 16 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，前n项积为 n T，且 32019 1 11 1 1 aa ee ，有下述四 个结论： 当数列 n a为等差数列时， 2021 0S； 当数列 n a为等差数列时， 2021 0S； 当数列 n a为等比数列时， 2021 0T； 当数列 n a为等比数列时， 2021 0T 其中所有正确结论的编号是 【解答】解：由于 32019 1 11 1 1 aa ee ，整理得 32019 1 1111 0 221 aa ee ， 由于()( )0fxf x， 所以 1 11 (
22、 ) 2 x f x e 为奇函数， 且在R上单调递减， 所以 32019 0aa， 所以当数列 n a为等差数列时， 32019 2021 2021() 0 2 aa S ， 当数列 n a为等比数列时，且 3 a， 1011 a， 2019 a为同号， 3 a， 1011 a， 2019 a都大于 0，故 2021 20211011 ()0Ta， 故正确的结论为： 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）长方体 1111 ABCDABC D的底面ABCD是边长为 1 的正方形，其外接
23、球的表面 积为5 （1）求该长方体的表面积； （2）求异面直线BD与 1 B C所成角的余弦值 第 13 页（共 18 页） 【解答】解： （1）设外接球的半径为R，则 2 45R，解得 5 2 R ， 设 1 AAx，则 2222 11(2 )5xR，解得3x ， 该长方体的表面积为： 2(13131 1)4 32S （2）连结 1 A D， 1 A B， 11 / /ADBC， 1 ADB是异面直线BD与 1 B C所成角（或所成角的补角） ， 2BD ， 1 2AB ， 1 2AD ， 在 1 A BD中， 222 1 2( 2)22 cos 4222 ADB 异面直线BD与 1 B C
24、所成角的余弦值为 2 4 18 （12 分）已知 n a是各项均为正数的等比数列， 2 6a为 3 a， 4 a的等差中项 （1）求 n a的公比； （2）若 1 1a ，设 31323 logloglog nn baaa，求数列 1 1 n b 的前n项和 【解答】解： （1）设公比为q，0q ， 2 6a为 3 a， 4 a的等差中项， 234 12aaa， 即 2 120qq， 3q( 4舍） ， （2）由（1）可得： 1 3n n a ， 第 14 页（共 18 页） 31323 (1) logloglog012(1) 2 nn n n baaan ， 1 1211 2() (1)1
25、n bn nnn ， 令数列 1 1 n b 的前n项和为A， 则 111112 2(1) 22311 n A nnn 19 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知tantan()1 4 AA （1）求cos A； （2）若10AB AC ，求ABC的面积，并求 2 a的最小值 【解答】解： （1）tantan()1 4 AA ， 故 tan1 tan1 1tan A A A ， 则 2 tan3tan0AA，解得：tan3A ，或tan0A （舍)， sin tan cos A A A ， 22 sincos1AA，故 2 1 cos 10 A ， tan30A ，故c
26、os0A ， 10 cos 10 A； （2）| | cos10AB ACABACA， 故| | 10bcABAC， 故ABC的面积 13 103 10 sin5 2102 SbcA， 由余弦定理得： 222 101010 2cos2202 10 55 abcbcAbcbcbc ， 当且仅当bc时“”成立， 故 2 a的最小值是202 10 20 （12 分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD 平面ABC，平面ECB 平面ABC， ACD，ECB，ACB都是等边三角形 （1）证明：/ /DE平面ABC （2）求二面角EABC的余弦值 第 15 页（共 18 页） 【解答】解： （1）记AC，
27、BC中点分别为F，G，连接DF，FG，EG， 因为ACD，ECB，ACB都是等边三角形 所以ACDECBACB ， 33 22 DFACBCEG， 因为ACD，ECB是等边三角形，F，G是AC，BC中点， 所以DFAC，EGBC， 因为平面ACD 平面ABC，平面ECB 平面ABC，平面ACD平面ABCAC，平面 ECB平面ABCBC， 所以DF 平面ABC，EG 平面ABC， 所以/ /DFEG， 又因为DFEG， 所以四边形DEGF为平行四边形， 所以/ /DEFG， 因为FG平面ABC，DE平面ABC， 所以/ /DE平面ABC； （2）过点E作EHAB，垂足为H，连接GH， 记ABa，
28、则ABACBCADDCECBEa， 由（1）易知： 3 2 EGa， 连接AG，则 3 2 AGEGa， 因为EG 平面ABC， 所以EGAG，EGAB，EGGH， 所以 6 2 2 AEEGa， 在ABE中，ABBEa， 6 2 AEa， 第 16 页（共 18 页） 所以 15 4 EHa， 因为EHAB，EGAB， 所以AB 平面EGH， 所以ABGH， 所以EHG即为二面角EABC的平面角， 在Rt EGH中， 15 4 EHa， 3 2 EGa， 所以 3 4 GHa， 所以 3 5 4 cos 515 4 a GH EHG EH a 21 （12 分）已知数列 n a的首项为 0，
29、 11 2320 nnnn a aaa （1）证明数列 1 1 n a 是等差数列，并求出数列 n a的通项公式； （ 2 ） 已 知 数 列 n b的 前n项 和 为 n S， 且 数 列 n b满 足 2 1 n n n b a ， 若 不 等 式 1 ( 1)3 2 nn n S 对一切*nN恒成立，求的取值范围 【解答】证明： （1）数列 n a的首项为 0， 11 2320 nnnn a aaa ， 所以 11 2(1)(1)11 nnnn aaaa ，除以 1 (1)(1) nn aa ， 整理得： 1 1 1 11 2 1 11 () 2 nn nn nn aa aa aa （常
30、数） ， 所以数列 1 1 n a 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 122 1 2121 n n a nn 第 17 页（共 18 页） 解： （2）数列 n b的前n项和为 n S，且数列 n b满足 2 (21) 2 1 n n n n bn a ， 所以 12 1 22 2(21) 2n n Sn ， 231 21 22 2(21) 2n n Sn ， 得： 1 (23) 26 n n Sn ， 由于不等式 1 ( 1)3 2 nn n S 对一切*nN恒成立， 所以 2 ( 1)26 nn n ， 当n为偶数时， 2 26 n n ，解得38 当n为奇数时， 2 26
31、n n ，解得14 综上所述：1438 22 （12 分）已知函数( )(1)(0) ax f xelnx a （1） 当1a 时， 求曲线( )yf x在(1，f（1）)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2） 若关于x的方程 2 ( )f xaxax在1，)上恰有三个不同的实数解， 求a的取值范围 【解答】解： （1）当1a 时，( )(1) x f xelnx，可得f（1）0， ( )f x的导数 1 ( ) x x e fxe lnx lnx ， 所以切线的斜率为kf（1）1e， 则切线的方程为(1)(1)yex， 该切线与x轴的交点为(1,0)，与y轴的交点为(0,1) e，
32、所以所求三角形的面积为 11 1 (1) 22 e e ； （2）显然1x 为方程 2 ( )f xaxax的根， 当0 x 且1x 时，原方程等价于 111 axlnx exe axlnxlnx ， 设 1 ( )(0) x e g xx x ， 2 (1)1 ( ) x xe g x x ， 设( )1 (1)(0) x h xxe x ，( )0 x h xxe，可得( )h x在(0,)递增， 则( )(0)0h xh，即( )0g x，( )g x在(0,)递增， 原方程等价于()()g axg lnx， 第 18 页（共 18 页） 只需axlnx在(1,)上有两个不等实根 故只需axlnx在(1,)上有两个不等的实根 则(1) lnx ax x ， 设( )(1) lnx k xx x ， 2 1 ( ) lnx k x x ， 可得( )k x在(1, ) e递增，在( ,)e 递减， 则( )k x的最大值为k（e） 1 e ，又k（1）0， 所以a的范围是 1 (0, ) e
