2020-2021学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）期中数学试卷.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）期中数学试卷期中数学试卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 |14Pxx， |02Qxx，则(PQ ) A |01xx B |12xx C |24xx D |04xx 2 （4 分）已知复数 1 ( i zi i 为虚数单位），则在复平面内z所对应的点在(

2、) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （4 分）若实数x，y满足约束条件 21 0 4 0 xy xy ，则2zxy的取值范围是( ) A(，5 B(，7 C7，) D(,) 4 （4 分）将函数( )sin(2) 6 f xx 向左至少平移多少个单位，使得到的图象关于y轴对称 ( ) A 12 B 6 C 3 D 2 5 （4 分）函数sin(cos )yx的部分图象大致为( ) A B C D 6（4 分）已知正项等比数列 n a的公比不为 1， n T为其前n项积，若 20172021 TT，则 2020 2021 ( lna lna ) A1:3 B3:1 C3

3、:5 D5:3 7 （4 分）已知a，bR，则“0ab”是“| 0a ab b”的( ) 第 2 页（共 18 页） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （4 分）已知aR，0b ，若xb是函数 2 ( )()()f xxb xaxb的极小值点，则实数 b的取值范围为( ) A1b 且0b B1b C2b 且0b D2b 9 （4 分）在ABC中，点D满足 1 3 ADDB且CDCB，则当角A最大时，cos A的值为( ) A 4 5 B 3 5 C 4 5 D 5 34 34 10（4 分）已知函数 2 2,0 ( ) (2),0 x x f x

4、 axxlnx x ，若恰有 3 个互不相同的实数 1 x， 2 x， 3 x，使得 312 222 123 ()()() 2 f xf xf x xxx ，则实数a的取值范围为( ) A 1 a e B 1 0a e C0a D0a或 1 a e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）已知34 a ， 2 log 3b ，则ab ；4b 12 （ 6 分）二项展开式 52345 012345 (2) xaa xa xa xa xa x，则 3 a ； 1

5、35 aaa 13 （6 分）已知 1 tan 2 ，则tan() 4 ；sin2 14 （6 分）已知函数 |1| 1,0 ( ) sin(),0 xx f x x x ，则 3 ( ( ) 2 f f ；若( )f x在 3 ( , ) 2 xa既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为 15 （4 分）已知0 x ，0y ，且21xy，则 21 12 y xy 的最小值为 16（4 分）若 2 (2)()0 xxx meex eexe在(0,)x上恒成立，则实数m的取值范围为 17 （4 分）已知平面向量a，b满足| |2 |3aab，则3| | |ba b的最大值为三、解答题：

6、本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（14 分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且s i n3c o s0aBbA （1）求角A的大小；第 3 页（共 18 页）（2）求2cos2coscosABC的取值范围 19 （15 分）如图，三棱台ABCDEF中，90ABC，22ACABDF，四边形ACFD 为等腰梯形，45ACF，平面ABED 平面ACFD （1）求证：ABCF；（2）求直线BD与平面ABC所成角的正弦值 20 （15 分）已知数列 1 n n

7、 a 的前n项和为n，数列 n b满足 1 1b ， 1nnn bba ， * nN （1）求数列 n a， n b的通项公式；（2）若数列 n c满足 2 2 n n n a c b ， * nN，求满足 123 63 16 n cccc的最大整数n 21 （15 分）如图，点A为椭圆 22 1: 21Cxy的左顶点，过A的直线 1 l交抛物线 2 2: 2(0)Cypx p于B，C两点，点C是AB的中点（1）若点A在抛物线 2 C的准线上，求抛物线 2 C的标准方程；（2）若直线 2 l过点C，且倾斜角和直线 1 l的倾斜角互补，交椭圆 1 C于M，N两点，证明：点C的横坐标是定

8、值，并求出该定值；当BMN的面积最大时，求p的值第 4 页（共 18 页） 22 （15 分）已知1a ，函数 1 ( )f xlnxa x （1）证明：函数( )yf x在(1,)上有唯一零点；（2）记 0 x为函数( )yf x在(1,)上的零点，证明： 2 0 0 13 2()2 2 a x ealna x 其中 2.71828e 为自然对数的底数第 5 页（共 18 页） 2020-2021 学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三（上）期中数学试卷期中数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题

9、：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 |14Pxx， |02Qxx，则(PQ ) A |01xx B |12xx C |24xx D |04xx 【解答】解：集合 |14Pxx， |02Qxx， |04PQxx 故选：D 2 （4 分）已知复数 1 ( i zi i 为虚数单位），则在复平面内z所对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：复数 1(1) 1 iii zi ii i 在复平面内对应的

10、点(1, 1)位于第四象限故选：D 3 （4 分）若实数x，y满足约束条件 21 0 4 0 xy xy ，则2zxy的取值范围是( ) A(，5 B(，7 C7，) D(,) 【解答】解：由约束条件 21 0 4 0 xy xy 作出可行域如图，联立 210 40 xy xy ，解得(1,3)A，第 6 页（共 18 页）化目标函数2zxy为 1 22 z yx ，由图可知，当直线 1 22 z yx 过A时，z有最小值为 7 2zxy 的取值范围是7，) 故选：C 4 （4 分）将函数( )sin(2) 6 f xx 向左至少平移多少个单位，使得到的图象关于y轴对称 ( ) A

11、12 B 6 C 3 D 2 【解答】解：将函数( )sin(2) 6 f xx 向左至少平移 6 个单位，得到sin(2)cos2 2 yxx 的图象，此时，得到的函数为偶函数，图象关于y轴对称，故选：B 5 （4 分）函数sin(cos )yx的部分图象大致为( ) A B C D 【解答】解：根据题意，( )sin(cos )f xx，其定义域为R，有()sincos()sin(cos )( )fxxxf x，( )f x为偶函数，排除D，又由1 cos1x 剟，则sin1( ) sin1f x剟，即( )f x的值域为 sin1，sin1，排除B、C，故选：A 6（4 分）

12、已知正项等比数列 n a的公比不为 1， n T为其前n项积，若 20172021 TT，则 2020 2021 ( lna lna ) A1:3 B3:1 C3:5 D5:3 【解答】解：正项等比数列 n a的公比不为 1，0 n a，0q ，第 7 页（共 18 页） n T为其前n项积， 20172021 TT， 2018201920202021 1aaaa， 20182021 1aa， 22020 20202020 2 a aqaq q ， 1 2 2020 aq， 20182021 1aa， 2021 2021 3 1 a a q ， 23 2021 aq， 3 2 2021

14、，则“0ab”是“| 0a ab b”的充分必要条件，故选：C 8 （4 分）已知aR，0b ，若xb是函数 2 ( )()()f xxb xaxb的极小值点，则实数 b的取值范围为( ) A1b 且0b B1b C2b 且0b D2b 【解答】解：由 2 ( )()()f xxb xaxb可得 2 ( )32()f xxab xbab ， xb是函数 2 ( )()()f xxb xaxb的极小值点， f （b） 2 0babb， 0b ，第 8 页（共 18 页） 10ba 即(1)ab ， xb是函数 2 ( )()()f xxb xaxb的极小值点， 2 ( )32()0f xxa

15、b xbab 有两不等根，且xb是大根，设另外一根为 0 x，则 0 2() 3 ab xb ，即 0 11 (2)(2) 33 xabbb ，解可得，1b 故选：B 9 （4 分）在ABC中，点D满足 1 3 ADDB且CDCB，则当角A最大时，cos A的值为( ) A 4 5 B 3 5 C 4 5 D 5 34 34 【解答】解：ABC中，设三边长分别为a、b、c，点D满足 1 34 c ADDBAD， 3 4 c BD ， Rt BCD中， 4 cos 3 aa B BDc ABC中，由余弦定理可得 222 cos 2 acb B ac ， 222 4 23 acba ac

16、c ， 222 2 () 5 acb 22222 4 cos 25 bcabc A bcbc 由于A为锐角，当角A最大时， 22 4 cos 5 bc A bc 最小再利用基本不等式可得 22 444 555 bcbc bcbc ，当且仅当2bc时，等号成立，故cos A的最小值为 4 5 ，故选：C 10（4 分）已知函数 2 2,0 ( ) (2),0 x x f x axxlnx x ，若恰有 3 个互不相同的实数 1 x， 2 x， 3 x，使得 312 222 123 ()()() 2 f xf xf x xxx ，则实数a的取值范围为( ) A 1 a e B 1 0a

17、 e C0a D0a或 1 a e 【解答】解：设 2 ( ) ( )(0) f x g xx x ，恰有 3 个互不相同的实数 1 x， 2 x， 3 x，使得 312 222 123 ()()() 2 f xf xf x xxx ， ( )2g x恰好 3 个解，第 9 页（共 18 页）（1）当0 x 时， 2 2 ( ) x g x x ，则 3 2 (22) ( ) x xln g x x ，令( )0g x可得 2 2 x ln ，当 2 2 x ln 时，( )0g x，当 2 0 2 x ln 时，( )0g x， ( )g x在 2 (,) 2ln 上单调递减，在

18、2 ( 2ln ，0)上单调递增，又 2 2 2 222 2 22 222( 2) ()2 22 244 ()() 22 log e ln e lne g ln lnln ， ( )2g x在(,0)上有 2 解， ( )2g x在(0,)上只有 1 解，（2）当0 x 时，由( )2g x 可得 lnx a x ，令( )(0) lnx h xx x ，则 2 1 ( ) lnx h x x ，当0 xe时，( )0h x，当xe时，( )0h x， ( )h x在(0, ) e上单调递减，在( ,)e 上单调递增，故( )h x的最小值为h（e） 1 e ，又当01x时，( )

19、0 lnx h x x ，当1x 时，( )0h x ，作出( )h x的大致函数图象如图所示： ( )2g x 在(0,)上只有 1 解，直线ya与( )yh x的图象只有 1 个交点， 0a 或 1 a e 第 10 页（共 18 页）故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）已知34 a ， 2 log 3b ，则ab 2 ；4b 【解答】解：34 a ， 2 log 3b ， 3 log 4a， 32 43 log 4 log 32 32 lglg ab

20、 lglg ， 24 39 4449 loglogb 故答案为：2，9 12 （6 分）二项展开式 52345 012345 (2) xaa xa xa xa xa x，则 3 a 40 ； 135 aaa 【解答】解： 5 (2) x的展开式中含 3 x的项为 3233 5 240Cxx，所以含 3 x的项的系数为 40，令1x ，则 5 012345 (2 1)243aaaaaa 再令1x ，则 5 012345 (2 1)1aaaaaa 可得 135 121aaa，故答案为：40，121 13 （6 分）已知 1 tan 2 ，则tan() 4 1 3 ；sin2 【解答】解：已知

21、 1 tan 2 ，则 tan11 tan() 41tan3 故 222 2sin cos2tan14 sin2 1 sincostan15 1 4 ，故答案为： 1 3 ； 4 5 14 （6 分）已知函数 |1| 1,0 ( ) sin(),0 xx f x x x ，则 3 ( ( ) 2 f f 1 ；若( )f x在 3 ( , ) 2 xa既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为【解答】解：根据分段函数的性质，可得 33 ( ( )(sin)( 1) | 1 1| 11 22 f fff ；第 11 页（共 18 页）由已知函数解析式，可得 1 ( )sin1 22 f

22、，( 3) | 3 1| 1 1f ，( 1)1f ，且当0 x 时，由正弦函数性质和周期定义，可得函数( )f x的周期为 2，函数( )f x的图象如图所示：由图可知( )f x要在区间 3 ( , ) 2 a取得最大值和最小值，则a的范围是 3，1 故答案为：1； 3，1 15 （4 分）已知0 x ，0y ，且21xy，则 21 12 y xy 的最小值为 1 2 2 【解答】解：因为0 x ，0y ，且21xy，所以122xy ，则 2121212111 121221222 yyxyyx xyxyxy ， 2111211 22 14221 42 yxyx xyxy ，当

23、且仅当 21 14 yx xy 且21xy即21y ，32 2x 时取等号，故答案为： 1 2 2 16 （4 分）若 2 (2)()0 xxx meex eexe在(0,)x上恒成立，则实数m的取值范围为 3 2 m 【解答】解： 2 (2)()0 xxx meex eexe在(0,)x上恒成立，即为 2 2 2 x x x xxx e ex eex eex m eeexe 在(0,)x上恒成立，即有 12 () 1 min x x ex m ex e e ，第 12 页（共 18 页）设 x ex t e ，0 x ，导数为 1 x x te e ，可得01x时，函数 x ex

25、 32 即 5 6 时，3|bab取得最大值2 3 故答案为：2 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（14 分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且s i n3c o s0aBbA （1）求角A的大小；（2）求2cos2coscosABC的取值范围【解答】解：（1）由于sin3 cos0aBbA，利用正弦定理可得：sinsin3sincosABBA，又由于B为三角形内角，sin0B ，可得sin3cosAA，即tan3A ，因为(0

26、, )A，第 13 页（共 18 页）所以 3 A （2）因为2cos2coscos12coscos()ABCBAB ，所以 2 2cos2coscos12coscos()3sin()1 33 ABCBBB ，因为 2 (0,) 3 B ，所以( 33 B ，)，则0sin() 1 3 B ，所以2cos2coscosABC的取值范围为(1，31 19 （15 分）如图，三棱台ABCDEF中，90ABC，22ACABDF，四边形ACFD 为等腰梯形，45ACF，平面ABED 平面ACFD （1）求证：ABCF；（2）求直线BD与平面ABC所成角的正弦值【解答】（1）证明：延

27、长AD、BE、CF交于点P，四边形ACFD为等腰梯形，45ACF， 90APC，即CPAP，平面ABED 平面ACFD，平面ABED平面ACFDAP，CP 平面ACFD， CP平面ABED， AB 平面ABED， CPAB 第 14 页（共 18 页）（2）解：由22ACABDF，可知D为PA的中点，设ABDFa，则2PAa，3BCa，由（1）知，CPAB， 90ABC，即ABBC，CPBCC，CP、BC 平面PBC， AB平面PBC， ABPB， 22 PBPAABa， 12 22 BDPAa，过点P作PMBC于点M， AB 平面PBC，PM 平面PBC， ABPM，又ABBC

28、C，AB、BC 平面ABC， PM平面ABC，PMBC，由（1）知，CP 平面ABED，CPPB， PM BCCP PB，即32PMaa a， 26 33 PMaa， D为PA的中点， D到平面ABC的距离 16 26 hPMa，直线BD与平面ABC所成角的正弦值为 6 3 6 32 2 a h BD a 第 15 页（共 18 页） 20 （15 分）已知数列 1 n n a 的前n项和为n，数列 n b满足 1 1b ， 1nnn bba ， * nN （1）求数列 n a， n b的通项公式；（2）若数列 n c满足 2 2 n n n a c b ， * nN，求满足 123

29、 63 16 n cccc的最大整数n 【解答】解：（ 1 ）由题意可得： 12 12 111 n n n aaa ， 121 121 1(2) 111 n n nn aaa ，相减可得：1 1 n n a ，可得：1(2) n ann 1n 时， 1 1 1 1a ，解得 1 2a 1 n an 1nnn bba ， * nN， 121321 (1) ()()()123 2 nnn n n bbbbbbbbn 1n 时， 1 1b 也符合 (1) 2 n n n b （2） 2 22222 4(21)11 4() (1)(1) n n n an c bnnnn ， *

30、 nN， 123 2 163 4(1) (1)16 n cccc n ，化为： 2 (1)64n， 7n ，满足 123 63 16 n cccc的最大整数7n 21 （15 分）如图，点A为椭圆 22 1: 21Cxy的左顶点，过A的直线 1 l交抛物线 2 2: 2(0)Cypx p于B，C两点，点C是AB的中点第 16 页（共 18 页）（1）若点A在抛物线 2 C的准线上，求抛物线 2 C的标准方程；（2）若直线 2 l过点C，且倾斜角和直线 1 l的倾斜角互补，交椭圆 1 C于M，N两点，证明：点C的横坐标是定值，并求出该定值；当BMN的面积最大时，求p的值【解答】

31、解：（1）由题意可得( 1,0)A ，又A在抛物线 2 C的准线 2 p x 上，则1 2 p ，即2p ，所以抛物线的方程为 2 4yx；（2）证明：因为过A的直线 1 l和抛物线交于两点，所以 1 l的斜率存在且不为 0，设 1 l的方程为1xmy，其中m为斜率的倒数，设 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y，联立 2 1 2 xmy ypx 可得 2 220ypmyp， 22 1480p mp，且 12 2yypm， 12 2y yp，因为C为AB的中点，所以 12 2yy，所以 2 2 3 pm y ， 2 9 4 m p ，所以 2 21 1 32

32、 pm xm ，即C的横坐标为定值 1 2 ；因为直线 2 l的倾斜角和直线 1 l的倾斜角互补，所以 2 l的斜率和 1 l的斜率互为相反数设直线 2 l的方程为 21 () 32 pm xm y ，即2xmy ，联立椭圆方程 22 21xy，可得 22 (2)430mymy， 224 2 (4 )12(2)4240mmm，即 2 6m ，第 17 页（共 18 页） 2 4 2 MN m yy m ， 2 3 2 MN y y m ，因为C为AB的中点，所以 BMNAMN SS ，因为( 1,0)A 到MN的距离 22 | 21|3 11 d mm ， 22 222 222

33、4122 16 |1|1() 222 MN mmm MNmyym mmm ，所以 2 2 136 | 22 AMN m SMN d m ，令 2 6(0)tmt，可得 2 3333 2 8 882 8 AMN t S t t t ，当且仅当2 2t ，14m 时，等号成立，所以 9 14 4p ，即 9 56 p 22 （15 分）已知1a ，函数 1 ( )f xlnxa x （1）证明：函数( )yf x在(1,)上有唯一零点；（2）记 0 x为函数( )yf x在(1,)上的零点，证明： 2 0 0 13 2()2 2 a x ealna x 其中 2.71828e 为自然对数的

34、底数【解答】证明：（1） 22 111 ( ) x fx xxx ，因为1x ，所以( )f x在(1,)上单调递增，又因为f（1）10a ， 11 ()0 a aa f eaa ee ，所以( )f x在(1,) a e有唯一零点，综上所得，函数( )yf x在(1,)上有唯一零点（2）由（1）可知， 0 (1,) a xe，且 0 0 1 alnx x ， 0 1 2 0 00 00 1331 2()2() 22 xa x ex ex xx 0 1 0 2 00 31 (21) x xe xx ，第 18 页（共 18 页）令 0 1 (01) a tet x ，所以

35、 0 1 2 0 2 00 311 (21)(231) xt xeett xxt 构造函数 2 1 ( )1(01) 2 x g xexxx ( )1 x g xex， ( )1 x gxe，得知 2 1 ( )1(0)0 2 x g xexxg ，所以 0 1 222 0 2 00 31111 (21)(231)(2231)(1)0 xt xeettttttt xxttt ，即 2 0 0 13 2() 2 a x e x ，又因为 00 00 11 22()()alnalnxlnlnx xx ，则 0000 0000 1111 22()()alnaxlnxlnlnxx xxxx ， 0000 00 11 ()()lnxxlnlnxlnx xx 构造函数( )h xlnxx，1x 1 ( )10h x x ，所以( )h x在(1,)上单调递减，且( )h xh（1）1，所以 000 00 11 1lnxxx xx ，且 0 0 1 1lnxa x ，所以 00 0 1 ()()h xhlnx x 即 0000 00 11 ()()0lnxxlnlnxlnx xx ，从而 0 0 1 2alnax x ，综上所述， 2 0 0 13 2()2 2 a x ealna x

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