1、 第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年云南省文山州高三（上）质检数学试卷（理科）学年云南省文山州高三（上）质检数学试卷（理科） （10 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题所给的四个选项中，只分在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 2 |(1)1AxNx， 2 |1 0Bx x ，则( ) A |12ABxx剟 B1AB ，2 CAB D() R AB 2 （5 分）已知(1)()1i xyi，其中x，y是实数，i为虚数单位，则
2、| (xyi ) A 2 2 B 3 2 C 5 2 D5 3 （5 分）直线20 xya与圆 22 240 xyx有两个不同交点的一个充分不必要条件 是( ) A56a B46a C36a D4a 4 （5 分）2020 年 6 月 17 日 15 时 19 分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征 二号丁运载火箭，并成功将高分九号 03 星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携 三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武已知火箭的最大速度v（单位：/ )km s和燃 料质量M（单位：)kg，火箭质量m（单位：)kg的函数关系是：2000 (1) M vln m ，若已 知火箭的质量
3、为 3100 公斤，燃料质量为 310 吨，则此时v的值为多少( )（参考数值为 20.69ln ；1014.62)ln A13.8 B9240 C9.24 D1380 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的s的值为( ) 第 2 页（共 18 页） A 2019 2020 B 2020 2021 C 2021 2022 D 2022 2023 6 （5 分）在 6 2 2 ()x x 的展开式中，常数项为( ) A15 B15 C60 D60 7 （5 分）若a，b为正实数，且 11 2 3ab ，则3ab的最小值为( ) A2 B 3 2 C3 D4 8（5 分） 对
4、于奇函数( )f x， 若对任意的 1 x， 2 ( 1,1)x ，1 2 xx， 且 1212 () ( )( ) 0 xxfxfx， 则当 2 (1)(22)0f afa时，实数a的取值范围为( ) A(2, 2) B 1 ( ,2) 2 C(1, 2) D 1 (,1) 2 9 （5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin()cosABC， 222 4abc，则ABC的面积为( ) A1 B2 C4 D6 10 （5 分）已知 111 ( )( ) 222 ab ，则( ) A abb aab B abb aba C bab baa D bba aba 11 （5
5、 分）已知函数( )cos2sinf xxx，则下列说法错误的是( ) A( )f x的一条对称轴为 2 x B()1 6 f C( )f x的对称中心为(,0) 2 D( )f x的最大值为 9 8 12 （5 分）已知双曲线 2 2 2 1(0) x ya a 上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线 段AP的中点为E，直线QE交x轴于(1,0)M，则双曲线的离心率为( ) A5 B 5 3 C10 D 10 3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 已知x，y满足约束条件 22 0 22 0 2 0
6、 xy xy xy ， 则目标函数2zxy的最小值为 14 （5 分）已知(1, )at，( 2,2)b ，且ab，则|ab 15 （5 分）在正三棱锥PABC中，3AB ，5PB ，则三棱锥PABC外接球的表 第 3 页（共 18 页） 面积为 16 （5 分）已知函数 ,2 ( )( (4),2 x x ea x f xe ln xx 为自然对数的底数） ，若( )f x有三个零点， 则实数a的取值范围为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（12 分） 已知数列 n a成等差数列， 各项均为正数的数
7、列 n b成等比数列，12b ，38b ， 且 232 3aab， 343 3aab （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）设 221 1 log n nn c ab ，求数列 n c的前n项和 n S 18（12 分） 某中学高三年级组织了西南四省第一次联考， 为了了解学生立体几何得分情况， 现在在高三年级中随机抽取 100 名同学进行调查，其中男生和女生的人数之比为11:9，满 分为 12 分，得分大于等于 8 分为优秀，否则为知识点存在欠缺，已知男生优秀的人数为 35 人，女生得分在 8 分以下的有 15 人 （1）完成22列联表，并回答能否有85%的把握认为“得分是否优秀与
8、性别有关”？ 优秀 知识点欠缺 合计 男生 女生 100 合计 （2）从被调查的女生中，利用分层抽样抽取 13 名学生，再从这 13 名学生中随机抽取 2 名 学生介绍答题经验，求被抽取的两名学生均为优秀学生的概率 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 附： 2 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.842 5.024 6.635 7.879 10.828 19 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PD 上的动
9、点 （1）确定E的位置，使/ /PB平面AEC； 第 4 页（共 18 页） （2）设1PAAB，3PC ，且在第（1）问的结论下，求二面角DAEC的余弦值 20 （12 分）已知抛物线 2 1: 2(0)Cypx p的焦点为F，过点F且斜率为 1 的直线l与曲线 1 C交于A，B两点，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 6xx （1）求曲线 1 C的方程； （2）设离心率为 3 2 且长轴为 4 的椭圆 2 C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab 又曲线 2 C与过 点( 1,0)Q 且斜率存在的直线l相交于M，N两点，已知 4 5 MON S，O
10、为坐标原点，求直 线l的方程 21 （12 分）已知函数 2 4 ( )f xxlnxax e ，aR （1）当( )yf x在点(1，f（1）)处的切线与直线:10l xy 平行时，求实数a的值； （2）若( )2 x x f x e 恒成立，求实数a的取值范围 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答， 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区堿指定位置答题如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区堿指定位置答题如果多 做，则按所做的
11、第一题计分做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 2 ( 1 1 2 xt t yt 为参数） ，以 原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos() 4 （1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程； （2）已知(2,1)P，直线l与曲线C相交于A，B两点，求 11 | |PAPB 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|32 |f xxx 第 5 页（共 18 页） （1）求不等式 1 ( )(1) 2 f xx 的
12、解集； （2）若函数的最大值为n，且2(0,0)abn ab，求 21 ab 的最小值 第 6 页（共 18 页） 2020-2021 学年云南省文山州高三（上）质检数学试卷（理科）学年云南省文山州高三（上）质检数学试卷（理科） （10 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题所给的四个选项中，只分在每小题所给的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 2 |(1)1AxNx， 2 |1 0Bx x ，则( ) A |12ABx
13、x剟 B1AB ，2 CAB D() R AB 【解答】解：0A，1，2， |1Bx x或1x， 1AB，2 故选：B 2 （5 分）已知(1)()1i xyi，其中x，y是实数，i为虚数单位，则| (xyi ) A 2 2 B 3 2 C 5 2 D5 【解答】解：由(1)()1i xyi，得 1111 1(1)(1)22 i xyii iii ， 22 112 | |( )( ) 222 xyixyi， 故选：A 3 （5 分）直线20 xya与圆 22 240 xyx有两个不同交点的一个充分不必要条件 是( ) A56a B46a C36a D4a 【解答】解：由圆 22 240 xyx
14、可知 22 (1)5xy，即圆心( 1,0)，半径5r ， 若直线20 xya与圆 22 240 xyx有两个不同交点， 则圆心( 1,0)到直线20 xya的距离为 | 1| 5 5 a d ，解得46a ， 而36a 是46a 的充分不必要条件， 故选：C 4 （5 分）2020 年 6 月 17 日 15 时 19 分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征 二号丁运载火箭，并成功将高分九号 03 星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携 第 7 页（共 18 页） 三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武已知火箭的最大速度v（单位：/ )km s和燃 料质量M（单位：)kg，火
15、箭质量m（单位：)kg的函数关系是：2000 (1) M vln m ，若已 知火箭的质量为 3100 公斤，燃料质量为 310 吨，则此时v的值为多少( )（参考数值为 20.69ln ；1014.62)ln A13.8 B9240 C9.24 D1380 【解答】解：由题意火箭的最大速度v（单位：/ )km s和燃料质量M（单位：)kg， 火箭质量m（单位：)kg的函数关系是：2000 (1) M vln m ， 火箭的质量为 3100 公斤，燃料质量为 310 吨， 可得 310000 2000(1)2000( 101)20004.629240/ 3100 vlnlnkm s， 故选：B
16、 5 （5 分）执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的s的值为( ) A 2019 2020 B 2020 2021 C 2021 2022 D 2022 2023 【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值， 可得 11112021 1 1 2232021 202220222022 s 故选：C 6 （5 分）在 6 2 2 ()x x 的展开式中，常数项为( ) A15 B15 C60 D60 【解答】解： 6 2 2 ()x x 的展开式的通项为 6312 16( 1) 2 rrrr r TCx ， 令3120r ，即4r ， 常数项为 60，
17、 第 8 页（共 18 页） 故选：D 7 （5 分）若a，b为正实数，且 11 2 3ab ，则3ab的最小值为( ) A2 B 3 2 C3 D4 【解答】解： 111131 3(3)()(11)(22)2 23232 ab abab abba ， 当且仅当 3 3 ab ba 时，即 1 3 a ，1b 时，取得最小值 2， 故选：A 8（5 分） 对于奇函数( )f x， 若对任意的 1 x， 2 ( 1,1)x ，1 2 xx， 且 1212 () ( )( ) 0 xxfxfx， 则当 2 (1)(22)0f afa时，实数a的取值范围为( ) A(2, 2) B 1 ( ,2)
18、2 C(1, 2) D 1 (,1) 2 【解答】解：由已知得( )f x在( 1,1)上为单调递增函数， 22 (1)(22)0(1)( 22)f afaf afa， 2 122aa 且 2 11 1a 且1221a ， 解得： 1 1 2 a， 故选：D 9 （5 分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin()cosABC， 222 4abc，则ABC的面积为( ) A1 B2 C4 D6 【解答】解：sincosCC，可得：tan1C ， 由已知得：(0, )C， 4 C ， 又 222 cos2 2 2 abc Cab ab ， 1 sin1 2 ABC SabC
19、故选：A 10 （5 分）已知 111 ( )( ) 222 ab ，则( ) A abb aab B abb aba C bab baa D bba aba 第 9 页（共 18 页） 【解答】解：由已知已知 111 ( )( ) 222 ab ，可得1ab， 不妨令3a ，2b ， 故81 a a ，9 b a ，4 b b ， abb aab， 故选：A 11 （5 分）已知函数( )cos2sinf xxx，则下列说法错误的是( ) A( )f x的一条对称轴为 2 x B()1 6 f C( )f x的对称中心为(,0) 2 D( )f x的最大值为 9 8 【解答】解：由已知得函数
20、( )cos2sin :f xxx 对于选项A，()cos(22 )sin()( )fxxxf x，( )f x的一条对称轴为 2 x ， 故正确； 对于选项B，()1 6 f ，故正确； 对于选项C，( )()cos2sincos(22 )sin()2(cos2sin )0f xfxxxxxxx， 故错误； 对于选项D， 令s i n (1 , 1 )txt， 222 19 ( )2sinsin1212() 48 f xxxttt ， 当 1 4 t 时， 9 8 max y，正确， 故选：C 12 （5 分）已知双曲线 2 2 2 1(0) x ya a 上关于原点对称的两个点P，Q，右顶
21、点为A，线 段AP的中点为E，直线QE交x轴于(1,0)M，则双曲线的离心率为( ) A5 B 5 3 C10 D 10 3 【解答】解：由已知得M为APQ的重心，3| 3aOM ，又1b ， 22 10cac， 即 10 3 c e a ， 故选：D 第 10 页（共 18 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13（5 分） 已知x，y满足约束条件 22 0 22 0 2 0 xy xy xy ， 则目标函数2zxy的最小值为 2 【解答】 解： 画出满足条件的平面区域， 如图示：， 平移直线02xy可得， 2zxy
22、在点(2,0)处取得最小值 2 故答案为：2 14 （5 分）已知(1, )at，( 2,2)b ，且ab，则|ab 10 【解答】解：ab，0220a bt ，即1t ， 22 |220810abaa bb 故答案为：10 15 （5 分）在正三棱锥PABC中，3AB ，5PB ，则三棱锥PABC外接球的表 面积为 25 4 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：底面三角形是正三角形，外接圆的半径为： 第 11 页（共 18 页） 23 31 32 AD ，正三棱锥的高为：512，设外接球的半径为R， 可得： 22 (2)1RR，解得 5 4 R ， 得外接球的半径为 5 4 ， 所以
23、2 25 4 4 SR 故答案为： 25 4 16 （5 分）已知函数 ,2 ( )( (4),2 x x ea x f xe ln xx 为自然对数的底数） ，若( )f x有三个零点， 则实数a的取值范围为 2 2 e， 1) e 【解答】解：设( ) x g xx e，2x ，则( )(1) x g xx e， 令( )0g x，得1x ，( )0g x，得21x， 所以函数( )g x在( 1,) 上单调递增，在 2，1)上单调递减， 再令 ,2 ( ) (4),2 x x ex h x ln xx ，图象如图所示： 由图象可知， 2 2 ( 2)h e ， 1 ( 1)h e ， (
24、 )f x有三个零点， 第 12 页（共 18 页） 则实数a的取值范围为： 2 21 a ee ， 故答案为： 2 2 1 , ) ee 三、解答题（共三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（12 分） 已知数列 n a成等差数列， 各项均为正数的数列 n b成等比数列，12b ，38b ， 且 232 3aab， 343 3aab （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）设 221 1 log n nn c ab ，求数列 n c的前n项和 n S 【解答】解： （1）设数列 n a的公差为d，数列 n b
25、的公比为q， 由 2 31 82bb qq ，2n n b ， 又由题设得： 11 11 3()(2 )4 3(2 )(3 )8 adad adad ，即 1 1 24 238 ad ad ， 解得： 1 1a ，2d ， 21 n an； （2）由（1）可得： 1111 () (21)(21)2 2121 n c nnnn ， 11 (1) 22121 n n S nn 18（12 分） 某中学高三年级组织了西南四省第一次联考， 为了了解学生立体几何得分情况， 现在在高三年级中随机抽取 100 名同学进行调查，其中男生和女生的人数之比为11:9，满 分为 12 分，得分大于等于 8 分为优秀
26、，否则为知识点存在欠缺，已知男生优秀的人数为 35 人，女生得分在 8 分以下的有 15 人 （1）完成22列联表，并回答能否有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关”？ 优秀 知识点欠缺 合计 男生 女生 100 合计 （2）从被调查的女生中，利用分层抽样抽取 13 名学生，再从这 13 名学生中随机抽取 2 名 学生介绍答题经验，求被抽取的两名学生均为优秀学生的概率 第 13 页（共 18 页） 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 附： 2 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2
27、.072 2.706 3.842 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）根据题意填写列联表如下： 优秀 知识点欠缺 合计 男生 35 20 55 女生 30 15 45 男生 65 35 100 由表中数据，计算 2 2 100 (35 1520 30) 0.09992.072 55 45 65 35 K ， 所以不能有85%的把握认为“得分是否优秀与性别有关” （2）抽取的 13 人中，男生、女生人数分别为 7 人、6 人， 记“两名学生中恰有一名男生与一名女生”为事件A， 则 11 76 2 13 7 ( ) 13 C C P A C ； 所以两名学生中恰有
28、一名男生与一名女生的概率为 7 13 19 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PD 上的动点 （1）确定E的位置，使/ /PB平面AEC； （2）设1PAAB，3PC ，且在第（1）问的结论下，求二面角DAEC的余弦值 【解答】解： （1）E为PD的中点证明如下： 连接BD，使AC交BD于点O，取PD的中点为E，连接EO， 第 14 页（共 18 页） O，E分别为BD，PD的中点， / /OEPB 又OE 平面AEC，PB平面AEC， / /PB平面AEC （2）分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则(0A，0，
29、0)，(0D，1，0)， 1 1 (0, ) 2 2 E，(1B，0，0)，(1C，1，0)， 1 1 (0, ) 2 2 AE ，(1,1,0)AC ， 平面DAE的法向量为(1,0,0)AB 设平面AEC的法向量为( , , )nx y z， 由 11 0 22 0 n AEyz n ACxy ，令1x ，则1y ，1z ，(1, 1,1)n ， 二面角DAEC的平面角的余弦值为： 3 cos| 3| | AB n ABn 20 （12 分）已知抛物线 2 1: 2(0)Cypx p的焦点为F，过点F且斜率为 1 的直线l与曲线 1 C交于A，B两点，设 1 (A x， 1) y， 2 (
30、B x， 2) y，则 12 6xx （1）求曲线 1 C的方程； （2）设离心率为 3 2 且长轴为 4 的椭圆 2 C的方程为 22 22 1(0) xy ab ab 又曲线 2 C与过 第 15 页（共 18 页） 点( 1,0)Q 且斜率存在的直线l相交于M，N两点，已知 4 5 MON S，O为坐标原点，求直 线l的方程 【解答】解： （1）由已知得(,0) 2 p F，设直线l的方程为 2 p yx， 2 2 2 302 4 2 p yxp xpx ypx ， 12 3xxp， 又因为 12 6xx， 所以2p ， 曲线 1 C的方程为 2 4yx （2）由已知得2a ，3c ，1
31、b ， 曲线 2 C的方程为 2 2 1 4 x y， 设直线l的方程为1xmy， 则 2 2 22 1 (4)230 4 1 x y mymy xmy ， 设 3 (M x， 3) y， 4 (N x， 4) y， 3434 22 23 , 44 m yyyy mm ， 22 2 343434 2222 1114123 1 |()42 222(4)44 OMN mm Syyyyy y mmm ， 因为 4 5 MON S 所以 42 471101mmm ， 直线l的方程为10 xy 21 （12 分）已知函数 2 4 ( )f xxlnxax e ，aR （1）当( )yf x在点(1，f（
32、1）)处的切线与直线:10l xy 平行时，求实数a的值； （2）若( )2 x x f x e 恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）函数 2 4 ( )f xxlnxax e ，aR 可得( )1fxlnxa ， 第 16 页（共 18 页） ( )yf x在点(1，f（1）)处的切线与直线:10l xy 平行， 斜率kf（1）11a ， 解得0a （2）由已知得 2 4 2 x x xlnxax ee 对任意的(0,)x恒成立 2 14 1 (2) x alnx eex 恒成立 令 2 14 1 ( )(2),(0,) x h xlnxx eex ， 则 2 2 222 4 2
33、 1141 ( )(2) x x x x ee h x xeexx ， 令 2 2 4 ( )2,(0,) x x xxx ee ， 则 (2) ( )1 x xx x e 2 (2)(1)11xxx， (2)1 xx xx ee 又0 x ， 1 1 x e ，即( )0 x恒成立， ( ) x在(0,)上单调递增，又（2）0， 当02x时，( )0h x，即( )h x为减函数， 当2x 时，( )0h x，即( )h x为增函数， 2 1 ( )(2)21 min h xhln e ， 2 1 21aln e 请考生在第请考生在第22、 23两题中任选一题作答， 并用两题中任选一题作答，
34、 并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区堿指定位置答题如果多意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区堿指定位置答题如果多 做，则按所做的第一题计分做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 2 ( 1 1 2 xt t yt 为参数） ，以 原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos() 4 （1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
35、 第 17 页（共 18 页） （2）已知(2,1)P，直线l与曲线C相交于A，B两点，求 11 | |PAPB 的值 【解答】 解：（1） 由 1 2 2 ( 1 1 2 xt t yt 为参数） ， 消去参数t， 可得直线l的普通方程为30 xy， 由4cos()2 2cos2 2sin 4 ， 即 2 2 2 cos2 2 sin， 又cosx，siny， 曲线C的直角坐标方程为 22 2 22 20 xyxy； （2）将直线l的参数方程化为 2 2 2 2 1 2 xm ym ，代入代入曲线C的直角坐标方程， 得 2 256 20mm， 12 20mm， 12 56 20mm ， 12
36、 12 |11|25 212 | | |476 25 mmPBPA PAPBPAPBmm 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |1|32 |f xxx （1）求不等式 1 ( )(1) 2 f xx 的解集； （2）若函数的最大值为n，且2(0,0)abn ab，求 21 ab 的最小值 【解答】解： （1）由已知得 2,1 3 ( )34,1 2 3 2, 2 xx f xxx xx 剟， 当 1 1,2(1)3 2 xxxx厖，与1x 矛盾； 当 3173 1,34(1) 2252 xxxx剟厔?； 当 3135 ,2(1) 2223 xxxx 厔， 第 18 页（共 18 页） 综上所述，不等式的解集为 7 5 ， 5 3 （2）由（1）可知 1 ( ) 2 max f xn， 2(0,0)abn ab， 212122 2()(2)2(41) 18 ab ab ababba ， 当且仅当 22ab ba ，即 1 6 ab时， “”成立 故 21 ab 的最小值为 18
