1、 20202020 学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷 2021 届高三年级教学质量监测试卷 数学学科 考生注意： 1本试卷共 21 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4可使用符合规定的计算器答题 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零 分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分 )考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果 1. 若集合
2、A(，3)，B(4，)，则AB 2. 抛物线y26x的准线方程为 3. 已知复数z满足 1 z1i（i 为虚数单位） ，则z 4. 设向量 a (1，2)，b(2，1)，则 a与 b的夹角的大小为 （结果用反三角函数值 表示） 5. 已知二项式(2x1 x) 6，则其展开式中的常数项为 6. 若实数x，y满足 x0， 2xy0， xy30， 则z2xy的最大值为 7. 已知圆锥的底面半径为 1， 高为 3， 则该圆锥的侧面展开图的圆心角的大小为 8. 方程cos2xsinx0在区间0，上的所有解的和为 9. 已知函数f (x)的周期为 2，且当0 x1时，f (x)log4x，那么f (9 2
3、) 10. 设数列xn的前n项和为Sn，对任意nN*，均有Snxn1，则S6 11. 设函数f (x)asin2xbcos2x（a，bR） ，给出下列结论： 当a0，b1时，f (x)为偶函数； 当a1，b0时，f (2x)在区间(0， 4)上是单调函数； 当a3，b1时，f (|x 2|)在区间(2，2)上恰有 3 个零点； 当a3，b1时，设f (x)在区间t，t 4（tR）上的最大值为(t)，最小值为(t)， 则(t)(t)2 2 则所有正确结论的序号是 20202020 学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷 12. 若定义
4、在N上的函数f (x)、g(x)满足： 存在x0N， 使得f (x0)g(x0)成立， 则称f (x)与g(x)在 N上具有性质P(f，g)设函数f (x)a x1 2 与g(x)x3，其中a0，已知f (x)与g(x)在N上不 具有性质P(f，g)，将a的最小值记为a0设有穷数列bn满足b11，bn+11+bn（nN*， n504a0） ，这里a0表示不超过a0的最大整数若去掉bn中的一项bt后，剩下的所 有项之和恰可表为m2（mN*） ，则btm的值为 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一
5、律得零分 13. 直线x3y10的一个法向量可以是 （ ） （A）(3，1) （B）(3，1) （C）(1，3) （D）(1，3) 14. “函数f (x)sin(x)（x，R，且0）的最小正周期为 2”是“”的 （ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 15. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这 10 个数中任取 5 个不同的数，则这 5 个不同的数 的中位数为 4 的概率为 （ ） （A） 1 21 （B） 3 21 （C） 5 21 （D） 7 21 16. 下列结论中错误的是 （ ） （A）存在实数x，y满足 |x|1， |
6、xy|1，并使得4(x1)(y1)9成立； （B）存在实数x，y满足 |x|1， |xy|1，并使得4(x1)(y1)7成立； （C）满足 |x|1， |xy|1，且使得4(x1)(y1)9成立的实数x，y不存在； （D）满足 |x|1， |xy|1，且使得4(x1)(y1)9成立的实数x，y不存在 20202020 学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷 A B C D A1 B1 C1 D1 T 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤 17. （本题满分（本题满分 1
7、 14 4 分）分）本题共有本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 题满分题满分 6 6 分，第分，第 2 2 题满分题满分 8 8 分分 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，T为DD1上一点，已知DT2，AB4，BC2， AA16 （1）求直线TC与平面ABCD所成角的大小（用反三角函数值表示） ； （2）求点C1到平面A1T C的距离 18. （本题满分（本题满分 1 14 4 分）分）本题共有本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 题满分题满分 6 6 分，第分，第 2 2 题满分题满分 8 8 分分 已知函数f (x)x m x1（mR） （1）当m1时，解不等式
8、f (x)1f (x1)； （2）设x3，4，且函数yf (x)3存在零点，求实数m的取值范围 19. （本题满分（本题满分 1 14 4 分）分）本题共有本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 题满分题满分 6 6 分，第分，第 2 2 题满分题满分 8 8 分分 设函数f (x)sin(x)（0， 2 2）最小正周期为2，且f (x)的图象过坐标原 点 （1）求、的值； （2）在ABC中，若2f 2(B)3f 2(C)2 f (A)f (B)f (C)f 2(A)，且三边a、b、c所对的角依 次为A、B、C试求b f (BC) c 的值 20202020 学年度第一学期期末高三年级
9、数学学科教学质量监测试卷学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷 20. （本题满分（本题满分 1 16 6 分）分）本题共有本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 题满分题满分 4 4 分，第分，第 2 2 题满分题满分 6 6 分，第分，第 3 3 题满题满 分分 6 6 分分 已知F1、F2分别为椭圆：x 2 4y 21的左、右焦点，M为上的一点 （1）若点M的坐标为(1，m)（m0） ，求F1MF2的面积； （2） 若点M的坐标为(0，1)， 且直线ykx3 5 （kR） 与交于两不同点A、B， 求证：MA MB 为定值，并求出该定值； （3） 如右图， 设点M的坐标
10、为(s，t)， 过坐标原点O作圆M： (xs)2(yt)2r2（其中r为定值，0r1，且|s|r）的 两条切线，分别交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别 记为k1、k2如果k1k2为定值试问：是否存在锐角，使 得2|OP|OQ|5sec？若存在，试求出的一个值；若不存在，请说明理由 21. （本题满分（本题满分 18 分）分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 4 分，第分，第 2 题满分题满分 6 分，第分，第 3 题满题满 分分 8 分分 若有穷数列xn： x1，x2，xn满足xi+1xit， xi0 （这里i，nN*， n3， 1in1， 常数t0） ，则称有
11、穷数列xn具有性质P(t) （1）已知有穷数列xn具有性质P(t)（常数t1 2） ，且|x2x1|x3x2|xnxn1| n1 2 ， 试求t的值； （2） 设ai+12|ai+t+2|ai+t2|（i，nN*， n3， 1in1， 常数t2） ， 判断有穷数列an 是否具有性质P(t2)，并说明理由； （3）若有穷数列yn：y1，y2，yn具有性质P(1)，其各项的和为2000，将y1，y2，yn 中的最大值记为 A当AN*时，求An的最小值 20202020 学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷 T D1 C1 B1 A1
12、D C B A A B C D A1 B1 C1 D1 T A 参考答案参考答案 一、填空题一、填空题( (本大题共有本大题共有12题，满分题，满分54分分) ) 1 (4，3) 2 x3 2 3 1i 4 arccos4 5 5 160 64 7 8 91 2 10 63 64 11 123103 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有4题，满分题，满分20分）分） 13C 14B 15C 16A 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有5题，满分题，满分76分）分） 17 （本题满分（本题满分 14 分）分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 6 分，第
13、分，第 2 题满分题满分 8 分分 解解：方法一：方法一： （1）联结TC，在长方体ABCDA1B1C1D1中， 因为DD1平面ABCD，即 TD平面ABCD， 所以直线TC与平面ABCD所成的角即为TCD， 在RtTCD中，由DT=2，CD=AB=4，可得tanTCD=DT CD= 1 2， 显然 TCD(0， 2)，故TCD=arctan 1 2， 所以 直线TC与平面ABCD所成角的大小为arctan1 2 （2） 由已知可得A1T=TC=2 5，A1C= 2 14， 所以SA1TC=1 22 14 6=2 21又易得STCC1=1 264=12 设点C1到平面A1T C的距离为h在长方
14、体ABCDA1B1C1D1中， 因为A1D1平面CDC1D1，即A1D1平面TCC1， 再由VC1A1TC=VA1TCC1得1 3SA1TCh= 1 3STCC1A1D1， 所以，h= STCC1A1D1 SA1TC 122 2 21 4 21 7 即 点C1到平面A1T C的距离为4 21 7 方法二：方法二： （1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系 由已知可得A(2，0，0)、 B(2，4，0)、 C(0，4，0)、 D(0，0，0)、 T(0，0，2)， 故TC (0，4，2)， 又平面ABCD的一个法向量 n(0，0，1)， 设直线TC与平面A
15、BCD所成角的大小为， 20202020 学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷 则sin |TC n| |TC | n | 2 42(2)21 5 5 ，注意到0， 2，故arcsin 5 5 ， 所以 直线TC与平面ABCD所成角的大小为arcsin 5 5 （2）注意到C1(0，4，6)，A1(2，0，6)，及T(0，0，2)，C(0，4，0)， 故 A1T (2，0，4) ，CT(0，4，2)，C 1T (0，4，4)， 设平面A1T C的一个法向量为m (x，y，z)， 由已知，得 m A 1T 0 m CT0 ，即 2x
16、4z=0 4y2z=0，所以 x=4y z=2y ， 可取m (4，1，2)， 所以点C1到平面A1T C的距离为 |C1T m| |m | |0(4)(4)1(4)2| (4)21222 4 21 7 即 点C1到平面A1T C的距离为4 21 7 18 （本题满分（本题满分 14 分）分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 6 分，第分，第 2 题满分题满分 8 分分 解：（1） 当m =1时， f (x)= x 1 x1， 由f (x)1f (x1)得(x 1 x1)1(x1) 1 x， 即 1 x1 1 x， 解得x0或x1， 所以，原不等式的解集为(，0)(
17、1，) （2）函数y= f (x)3存在零点x3，4 方程x m x13=0有解x3，4， 亦即 m(x3)(x1)有解x3，4， 注意到m(x1)24在x3，4上递减，故 m(41)24，(31)2421，12，从而，实数m的取 值范围为21，12 19 （本题满分（本题满分 14 分）分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 6 分，第分，第 2 题满分题满分 8 分分 解： （1）依题意，可得 2 2，所以 1，故f (x)=sin(x)，因为f (x)的图象过坐标原点， 所以f (0)0，即 sin=0， 注意到 2 2， 因此，=0 （2） 由（1）得f (x
18、)=sinx，故由已知，可得2sin2B3sin2C2sinAsinBsinCsin2A， 利用正、余弦定理，并整理得 sinAcosAb 22c2 2bc ， 因为 b22c2 2bc 2，所以 sinAcosA 2， 又sinAcosA 2，所以sinAcosA2，且b= 2c，A3 4 ， 20202020 学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷 故b f (BC) c 2c sin(BC) c 2sinA1 20 （本题满分（本题满分 16 分）分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 4 分，第分，
19、第 2 题满分题满分 6 分，第分，第 3 题题满满 分分 6 分分 解： （1）由已知条件得 12 4m 2=1，因为m0，所以m 3 2 ，又F1、F2的坐标分别为 (3，0)、( 3，0)， 因此，F1MF2的面积为1 22 3 3 2 3 2 （2）设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由 x2 4y 2=1 y=kx3 5 得(4k2+1)x224 5 kx64 25=0，显然64k 2256 25 0， 且 xAxB 24k 5(4k2+1) xAxB 64 25(4k2+1) ， 又yA=kxA3 5，yB=kxB 3 5，所以， MA MB (xA，yA1)(xB，yB1)(k
20、21)xAxB8 5k(xAxB) 64 25 (k21) 64 25(4k2+1) 8 5k 24k 5(4k2+1) 64 250， 即 MA MB0为定值 （3）满足2|OP|OQ|5sec的锐角不存在 理由如下： 因为直线OP：yk1x与M相切，所以 |k1st| k 2 11 r，即 (s2r2)k 2 12stk1t 2r20， 同理，由直线OQ：yk2x与M相切，可得 (s2r2)k 2 22stk2t 2r20， 于是，k1、k2是关于 的方程(s2r2)22stt2r20的两实根， 注意到|s|r，且s 2 4t 2=1，故 k 1k2 t2r2 s2r2 (1s 2 4)r
21、 2 s2r2 ， 因k1k2为定值，故不妨设k1k2（定值） ， 于是有 1s 2 4r 2 s2r2 ，即 (1 4)s 21(1)r2=0 20202020 学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷 依题意可知， s变化， 而r、均为定值， 所以 1 4=0 1(1)r2=0 ， 解得k1k21 4， r 2 5 5 ， 再设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 x 2 4y 2=1 yk1x 得 x 2 1 4 14k2 1 y2 1 4k2 1 14k2 1 ；同理可得 x 2 2 4 14k2 2 y2 2 4k2 2
22、14k2 2 所以 |OP|2|OQ|2(x2 1y 2 1)(x 2 2y 2 2) 4(1k2 1) 14k2 1 4(1k2 2) 14k2 2 4 9 24(k2 1k 2 2) 4 9 242 |k1k2| 25 4 ， 即 |OP|2|OQ|225 4 ，亦即 |OP|OQ|5 2， （） 若锐角 ，使2|OP|OQ|5sec，则|OP|OQ|5 2sec 5 2，与（）相矛盾 因此，这样的锐角不存在 21 （本题满分（本题满分 18 分）分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 题满分题满分 4 分，第分，第 2 题满分题满分 6 分，第分，第 3 题满题满 分分 8
23、分分 解： （1）因为有穷数列xn具有性质P(t)，所以，|xi+1xi|t， （i=1，2，n1） ， 再由已知条件可得， (n1)t (1)n ttt L 1 4 2 4 3 个个 |x2x1|x3x2|xnxn1|n1 2 ， 即 (n1)tn1 2 ，而n3，所以，t1 2注意到t 1 2，所以，t 1 2 （2） 当a10时， 有穷数列an不具有性质P(t2)； 当a10时， 有穷数列an具有性质P(t2) 理由如下： 若a10，则有穷数列an显然不具有性质P(t2) 若a10，则由t2，可得 a2=2|a1+t+2|a1+t2|=2(a1+t+2)(a1+t2)=a1+t+6， 所
24、以，a2a1(t2)（a10） ，且a20， 同理可得，a3=a2+t+6（a20） ，所以，a3a2(t2) ，且a30， ， 一般地，若ai=ai1+t+6（ai10） ，则aiai1(t2)，且ai0， 于是，ai+12|ai+t+2|ai+t2|2(ai+t+2)(ai+t2)=ai+t+6， 所以， ai+1ai(t2)， 且ai0 （仍有ai+10， 这里i，nN*， n3， 1in1） ， 因此，当a10时，有穷数列an具有性质P(t2) 综上，当a10时，有穷数列an不具有性质P(t2)；当a10时，有穷数列an具 有性质P(t2) （3）由已知可得yn1yn1， 20202020 学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷 yn2yn2， ， y1yn(n1)， 故 y1y2ynnyn1+2+(n1) ， 即 2000nynn (n1) 2 ， 整 理 得 yn2000 n n 2 1 2， 显然yn=A，于是有 Anynn2000 n 3n 2 1 2 140 30 2 ， 注意到A，nN*，且140 30 2 110， 所以 An110，可取y1=2，yi=36+i（i=2，3，37）， 因此，An的最小值为 110
