1、高三数学 第 1 页 共 15 页 青浦区青浦区 20202020 学年第一学期学年第一学期高三高三年级期终学业质量调研测试年级期终学业质量调研测试 数数 学学 试试 卷卷 （时间 120 分钟，满分 150 分） Q2020.12 学生注意： 1 1 本试卷包括试题纸和答题纸两部分本试卷包括试题纸和答题纸两部分 2 2 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题 3 3 可使用符合规定的计算器答题可使用符合规定的计算器答题 一一. . 填空题（本大题满分填空题（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1 12
2、2 题，题，1 1- -6 6 每题每题 4 4 分，分，7 7- -1212 每题每题 5 5 分考生应在答题分考生应在答题 纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. . 1已知集合1,2,3,4A， 0,2,4,6,8B ，则AB 2函数2xy 的反函数是 3行列式 123 456 789 中，元素3的代数余子式的值为 4已知复数z满足 4 0z z ，则|z . 5圆锥底面半径为cm1，母线长为cm2，则其侧面展开图扇形的圆心角 6 已知等差数列 n a的首项 1 1a ， 公差2d ， 其前n项和
3、为 n S， 则 2 () lim n n n a S 7我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理 高三数学 第 2 页 共 15 页 论依据是： 设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为 b a 和 d c , , ,a b c d * N， 则 bd ac 是x的 更为精确的近似值己知 15722 507 ，试以上述的不足近似值157 50 和过剩近似值 22 7 为依 据，那么使用两次 “调日法”后可得的近似分数为_ 8 在二项式 5 2 1 ()0 xa ax 的展开式中 5 x的系数与常数项相等， 则a的值是_ _ 9点A是椭圆 22 1: 1
4、2516 xy C与双曲线 22 2: 1 45 xy C的一个交点，点 12 ,F F是椭圆 1 C的两 个焦点，则 12 | |AFAF的值为 10盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个大小、形状、材质均相同的小球，从 中随机任意取出两个， 则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示） 11记 m a为数列 3n在区间 * 0,mnN 中的项的个数， 则数列 m a的前100项的和 100 S _ 1212已知向量e的模长为 1，平面向量,m n满足：|2 | 2,| 1mene，则m n 的取值范围 是_ 二二. . 选择题（本大题满分选择题（本大题满
5、分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 13已知, a bR，则“ab”是“ 2 ab ab ”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 高三数学 第 3 页 共 15 页 14类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论： 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 垂
6、直于同一条直线的两个平面互相平行； 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 垂直于同一个平面的两个平面互相平行 其中正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 15已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过 6 后，终边交单位圆于 1 (, ) 3 Py，则sin的 值为（ ） （A） 2 23 6 （B） 2 23 6 （C） 2 61 6 （D） 2 61 6 16设函数 , ( ) 1 , xxP f x xM x ，其中 ,P M是实数集R的两个非空子集，又规定 ,A Py yf xxP， ,A My yf xxM，则下列说法： （1）一定有 A PA M ； （2）若PM R，则 A P
7、A M R； （3）一定有PM ； （4）若PM R，则 A PA M R 其中正确的个数是（ ） （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 高三数学 第 4 页 共 15 页 三解答题三解答题（本大题满分（本大题满分 7 76 6 分）分）本大题共有本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤区域内写出必要的步骤. . 17.(17.(本题满分本题满分 1414 分）分）本题共本题共 2 2 小题，小题，第第（1 1）小题小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分. . 如图，长方体
8、1111 ABCDABC D中， 1ABAD， 1 2AA ，点 P 为 1 DD的中点 （1）求证：直线 1/ BD平面PAC； （2）求异面直线 1 BD与AP所成角的大小 1818 （本题满分 （本题满分 1 14 4 分）第（分）第（1 1）小题满分）小题满分 6 6 分，第（分，第（2 2）小题满分）小题满分 8 8 分分. . 设函数 2 ( )|f xxxa，a为常数 （1）若)(xf为偶函数，求a的值； （2）设0a， x xf xg )( )(，, 0(ax为减函数，求实数a的取值范围 19.(19.(本题满分本题满分 1 14 4 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第小题
9、，第（1 1）小题小题 6 6 分，第分，第（2 2）小题小题 8 8 分分. . 如图，矩形ABCD是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形DEBC区域内 高三数学 第 5 页 共 15 页 部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观在AE上点P处安装一可旋转 的监控摄像头，MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的 右下方经测量得知：6AD米，6AE 米，2AP 米， 4 MPN 记EPM（弧 度） ，监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米 （1）分别求线段PM、PN关于的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求S的最小值 2020.(.(本
10、题满分本题满分 1 16 6 分）分）本题本题共共 3 3 小题，第小题，第（1 1）小题小题 4 4 分，第分，第（2 2）小题小题 6 6 分，第分，第（3 3）小题小题 6 6 分分. . 已知动点M到直线20 x的距离比到点(1,0)F的距离大1 （1）求动点M所在的曲线C的方程； （2）已知点(1,2)P，A B、是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率 互为相反数，证明直线AB的斜率为定值，并求出这个定值； （3）已知点(1,2)P，A B、是曲线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率 之和为2，证明：直线AB过定点 高三数学 第 6 页 共 15 页
11、2121.(.(本题满分本题满分 1818 分）分）本题本题共共 3 3 小题，第小题，第（1 1）小题小题 4 4 分，第分，第（2 2）小题小题 6 6 分，第分，第（3 3）小题小题 8 8 分分. . 若无穷数列 n a和无穷数列 n b满足：存在正常数 A，使得对任意的n * * NN，均有 nn abA，则称数列 n a与 n b具有关系 P A （1）设无穷数列 n a和 n b均是等差数列，且2 n an，2 n bnn * * NN ，问：数列 n a 与 n b是否具有关系 1P？说明理由； （2） 设无穷数列 n a是首项为 1， 公比为 1 3 的等比数列， 1 1 n
12、n ba ，n * * NN， 证明： 数列 n a 与 n b具有关系 P A，并求 A的最小值； （3）设无穷数列 n a是首项为 1，公差为Rd d的等差数列，无穷数列 n b是首项为 2， 公比为q q * * NN 的等比数列，试求数列 n a与 n b具有关系 P A的充要条件 高三数学 第 7 页 共 15 页 青浦区 2020 学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试 数学参考答案参考答案 2020.12 一一. .填空题（本大题满分填空题（本大题满分 5454 分）本大题共有分）本大题共有 1 12 2 题，题，1 1- -6 6 每题每题 4 4 分，分，7 7- -121
13、2 每题每题 5 5 分考生应在答题分考生应在答题 纸相应编号的空格内直接填写结果纸相应编号的空格内直接填写结果. . 12,4； 2 2 logyx； 3 3 ； 42； 5； 64； 7 201 64 ； 82； 9. 21； 10. 13 18 ； 高三数学 第 8 页 共 15 页 11284； 12. 1,8. 二二. .选择题（本大题满分选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得
14、5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 13. B ；14. C ； 15D ；16. B . 三解答题三解答题（本大题满分（本大题满分 7474 分）分）本大题共有本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤区域内写出必要的步骤. . 17.(17.(本题满分本题满分 1414 分）分）本题共本题共 2 2 小题，小题，第第（1 1）小题小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分. . （1）证明：设AC和BD交于点 O，则 O为BD的中点， 连结PO，又因为 P是 1 DD的中
15、点，故 1 /PO BD 又因为PO平面PAC， 1 BD 平面PAC 所以直线 1/ BD平面PAC （2）由（1）知， 1 /PO BD，所以异面直线 1 BD与AP所成的角就 等于PO与AP所成的角，故APO即为所求； 因为 2PAPC ， 21 22 AOAC且POAO 所以 2 1 2 sin 22 AO APO AP .30APO 即异面直线 1 BD与AP所成角的大小为 6 （30） 1818 （本题满分（本题满分 14 分）第（分）第（1）小题满分）小题满分 6 分，第（分，第（2）小题满分）小题满分 8 分分. . 高三数学 第 9 页 共 15 页 解： （1）因为)(xf
16、为偶函数，且xR，所以()( )fxf x 即 2 2 |xxaxxa 即 22 | |xaxaxaxa 所以40ax 对一切xR成立，所以0a （2）因为0a，且, 0(ax 所以 2 2 ( ) ( )1 xxaf xxaxa g xx xxxx ， 任取 12 0 xxa， 1212 12 ()() aa g xg xxx xx 2112 1212 1212 ()() ()() a xxx xa xxxx x xx x 因为 12 0 xxa，所以 12 0 xx且 2 12 0 x xa 又( )g x在区间(0, a上为减函数，所以 12 0 x xa 即 12 ax x，所以 2
17、aa又0a，所以10 a 19.(19.(本题满分本题满分 1 14 4 分）本题共分）本题共 2 2 小题，第小题，第（1 1）小题小题 6 6 分，第分，第（2 2）小题小题 8 8 分分. . 解： （1）在PME 中，EPM，PE=AE-AP=4 米， 4 PEM ， 3 4 PME ， 由正弦定理得 sinsin PMPE PEMPME ， 高三数学 第 10 页 共 15 页 所以 sin2 24 3 sinsincos sin() 4 PEPEM PM PME ， 同理在PNE 中，由正弦定理得 sinsin PNPE PENPNE ， 所以 sin2 22 2 sincos s
18、in() 2 PEPEN PN PNE ， 当 M 与 E 重合时，0；当 N 与 D 重合时，tan3APD,即arctan3APD， 3 tan3tan3 44 arcarc，所以 3 0tan3 4 arc； （2）PMN 的面积 S 1 sin 2 PMPNMPN 2 4 cossincos 4 1cos21 sin2 22 88 sin2cos2 2sin(2) 4 ， 因为 3 0tan3 4 arc，所以当2 42 即 3 0,tan3 84 atc 时， S取得最小值为 8 8( 21) 2 所以可视区域PMN 面积的最小值为8( 21)平方米 2020.(.(本题满分本题满分
19、 1 16 6 分）分）本题本题共共 3 3 小题，第小题，第（1 1）小题小题 4 4 分，第分，第（2 2）小题小题 6 6 分，第分，第（3 3）小题小题 6 6 分分. . 解： （1）已知动点M到直线20 x的距离比到点(1,0)F的距离大1，等价于动点M到直线 1x的距离和到点(1,0)F的距离相等， 高三数学 第 11 页 共 15 页 由抛物线的定义可得曲线C的方程为 2 4yx （2） 设直线PA的斜率为k， 因为直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数， 所以直线PB的 斜率为k， 则2(1) PA lyk x：，2(1) PB lyk x ： 2 2 2(1) 4480
20、4 yk x kyyk yx 或或 2 222 24420k xkkxk 即 2420kyky ，所以可得 2 2 242 , kk A kk 同理得 2 2 2(1) 4480 4 yk x kyyk yx 或或 2 222 24420k xkkxk 即 2420kyk+y ，所以可得 2 2 242 , kk B kk 22 22 4242 1 22 AB kk kk k kk kk 即直线AB的斜率为定值1； （3）设直线PA的斜率为k，所以直线PB的斜率为2k， 则2(1) PA lyk x：，2(1) PB lyk x ： 高三数学 第 12 页 共 15 页 2 2 2(1) 44
21、80 4 yk x kyyk yx 即 2420kyky ，所以可得 2 2 242 , kk A kk 同理得 2 2 22(1) 2440 4 ykx k yyk yx 即2220k yky ，所以可得 2 2 2 , 2 2 kk B k k 22 2 22 242 (2) 2 22 2 2 AB kk k k kk k kk kk k k 2 22 2(2) 222 2 AB kk kk lyx kkk k ：， 2 (2) 1 22 k k yx kk 所以直线AB恒过1,0 2121.(.(本题满分本题满分 1818 分）分）本题本题共共 3 3 小题，第小题，第（1 1）小题小题
22、 4 4 分，第分，第（2 2）小题小题 6 6 分，第分，第（3 3）小题小题 8 8 分分. . 解： （1）因为2 n an， * 2N n bnn ， 若数列 n a与 n b具有关系 1P， 则对任意的 * Nn， 均有 1 nn ab， 即221nn， 亦即21n，但4n时，221n， 所以数列 n a与 n b不具有关系 1P 高三数学 第 13 页 共 15 页 （2）证明：因为无穷数列 n a是首项为 1，公比为 1 3 的等比数列，所以 1 1 3 n n a ， 因为 1 21 nn b ，所以 1 1 3 n n b ， 所以 1 112 111 333 nn nn n
23、 ab ，所以数列 n a与 n b具有关系 P A 设 A 的最小值为 0 A， 0nn abA，因为1 nn ab，所以 0 1A 若 0 01A，则当 3 0 2 log 1 n A 时， 0 2 3 1 n A ， 则 0 2 1 3n A，这与“对任意的 * Nn，均有 0nn abA”矛盾， 所有 0 1A ，即 A的最小值为 1 （3）因为数列 n a是首项为 1，公差为Rd d为等差数列， 无穷数列 n b是首项为 2，公比为 * Nq q 的等比数列， 所以 1 11 n aanddnd ， 1 1 2 nn n bbqq q ， 设1 da， 2 0b q ，则 n adn
24、a， n n bbq， * Nn 数列 n a与 n b具有关系 P A，即存在正常数 A， 高三数学 第 14 页 共 15 页 使得对任意的 * Nn，均有 nn abA （）当0d ，1q 时，1 21 1 nn ab ，取1A， 则 nn abA，数列 n a与 n b具有关系 P A； （）当0d ，2q 时，假设数列 n a与 n b具有关系 P A， 则存在正常数 A，使得对任意的 * Nn，均有 nn abA 因为 nnnn baab，所以，对任意的 * Nn， nn baA， 即1 n bqA ， 1 n A q b ，所以 1 logq A n b ， 这与“对任意的 *
25、Nn，均有 nn baA”矛盾，不合； （）当0d ，1q 时，假设数列 n a与 n b具有性质 P A， 则存在正常数 A，使得对任意的 * Nn，均有 nn abA 因为 nnnn abab，所以，对任意的 * Nn， nn abA， 即2 n aA，2dnaA，所以2dnaA， 2aA n d ， 这与“对任意的 * Nn，均有 nn abA”矛盾，不合； （）当0d ，2q 时，假设数列 n a与 n b具有性质 P A， 高三数学 第 15 页 共 15 页 则存在正常数 A，使得对任意的 * Nn，均有 nn abA 因为 nnnn baab，所以，对任意的 * Nn， nn baA， 所以 n bqdnaAd naA，所以 n daA qn bb ， 设0 d b ，0 aA b ，则对任意的 * Nn， n qn 因为，2 nn q ，所以，对任意的 * Nn，2nn， 可以证明：存在1N ，当nN时， 2 2nn （利用 2 2nf nn单调性） 又2nn，所以 2 nn，即 2 0nn，解得 2 4 0 2 n ， 这与对任意的 * Nn，2nn矛盾，不合 综上所述，数列 n a与 n b具有关系 P A的充要条件为0d ，1q
