1、第 2 讲 空间点、线、面的位置关系 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 面面垂直的证明 T18(1) 1.高考对此部分的命题较 为稳定，一般为“一小一 大”或“一大”，即一道 选择或填空题和一道解答 题或仅一道解答题 2选择题一般在第 10 11 题的位置， 填空题一般 在第 14 题的位置， 多考查 线面位置关系的判断，难 度较小 3解答题多出现在第 18 或 19 题的第一问的位置， 考查空间中平行或垂直关 系的证明，难度中等. 卷 异面直线所成的角 T9 线面垂直的证 明 T20(1) 卷 面面垂直的证明 T19(1) 2017 卷 面面垂直的证明 T18(1) 卷
2、 空间异面直线所成角的余弦值的计 算 T10 线面平行的证明 T19(1) 卷 圆锥、空间线线角的求解 T16 面面垂 直的证明 T19(1) 2016 卷 求异面直线所成的角 T11 面面垂直的 证明T18(1) 卷 空间中线、面位置关系的判定与性 质 T14 线面垂直的证明 T19(1) 卷 线面平行的证明 T19(1) 空间线面位置关系的判定(基础型) 判断与空间位置关系有关命题真假的 3 种方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判 断 (2)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相 矛盾的命题，进而作出判断 (
3、3)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结 合有关定理，进行肯定或否定 考法全练 1在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 解析：选 C.A1B1平面 BCC1B1，BC1?平面 BCC1B1，所以 A1B1BC1，又 BC1B1C， 且 B1CA1B1B1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E?平面 A1B1CD，所以 BC1A1E.故选 C. 2已知直线 l 和两个不同的平面 ，则下列命题是真命题的是( ) A若 l，且 l，则 B若 l，且 l，则 C若
4、 l?，且 ，则 l D若 l，且 ，则 l 解析：选 B.对于 A，若 l，且 l，则 或 与 相交，所以 A 错；因为垂直于 同一条直线的两个平面平行，所以 B 正确；对于 C，若 l?，且 ，则 l 与 相交或 l 或 l?，所以 C 错；对于 D，若 l，且 ，则 l 或 l?，所以 D 错故选 B. 3(2018 惠州第二次调研)设 l，m，n 为三条不同的直线，为一个平面，则下列命题 中正确的个数是( ) 若 l，则 l 与 相交；若 m?，n?，lm，ln，则 l；若 lm，m n，l，则 n；若 lm，m，n，则 ln. A1 B2 C3 D4 解析：选 C.对于，若 l，则
5、l 与 不可能平行，l 也不可能在 内，所以 l 与 相 交，正确；对于，若 m?，n?，lm，ln，则有可能是 l?，故错误；对于， 若 lm，mn，则 ln，又 l，所以 n，故正确；对于，因为 m，n，所 以 mn，又 lm，所以 ln，故正确选 C. 4，是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： 如果 mn，m，n，那么 ； 如果 m，n，那么 mn； 如果 ，m?，那么 m； 如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号) 解析：对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设 AA为直线 m，CD 为直线 n，A
6、BCD 所在的平面为 ，ABCD所在的平面为 ，显然这些直线和平面满足题 目条件，但 不成立 命题正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面 相交于直线 l，则 ln，由 m 知 ml，从而 mn，结论正确 由平面与平面平行的定义知命题正确 由平行的传递性及线面角的定义知命题正确 答案： 空间中平行、垂直关系的证明(综合型) 直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a?，b?，ab?a. (2)线面平行的性质定理：a，a?，b?ab. (3)面面平行的判定定理：a?，b?，abP，a，b?. (4)面面平行的性质定理：，a，b?ab. 直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面
7、垂直的判定定理：m?，n?，mnP，lm，ln?l. (2)线面垂直的性质定理：a，b?ab. (3)面面垂直的判定定理：a?，a?. (4)面面垂直的性质定理：，l，a?，al? a. 典型例题 由四棱柱 ABCD- A1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得 到的几何体如图所示四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD. (1)证明：A1O平面 B1CD1； (2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1. 【证明】 (1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1，A1O1， 由于 ABCD- A1B1C1
8、D1为四棱柱， 所以 A1O1OC， A1O1OC， 因此四边形 A1OCO1为平行四边形， 所以 A1OO1C. 又 O1C?平面 B1CD1，A1O?平面 B1CD1， 所以 A1O平面 B1CD1. (2)因为 ACBD，E，M 分别为 AD 和 OD 的中点， 所以 EMBD. 又 A1E平面 ABCD，BD?平面 ABCD， 所以 A1EBD. 因为 B1D1BD， 所以 EMB1D1，A1EB1D1. 又 A1E，EM?平面 A1EM，A1EEME， 所以 B1D1平面 A1EM. 又 B1D1?平面 B1CD1，所以平面 A1EM平面 B1CD1. 平行关系及垂直关系的转化 空间
9、平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面 面之间的平行、垂直关系相互转化 对点训练 1.如图， 在四棱锥 P- ABCD 中， 平面 PAB平面 ABCD， ADBC， PAAB，CDAD，BCCD1 2AD，E 为 AD 的中点 (1)求证：PACD. (2)求证：平面 PBD平面 PAB. 证明：(1)因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB， 又因为 PAAB， 所以 PA平面 ABCD.则 PACD. (2)由已知，BCED，且 BCED，所以四边形 BCDE 是平行四边形， 又 CDAD，BCCD， 所以四边形 BCDE 是正方形
10、，连接 CE(图略)，所以 BDCE， 又因为 BCAE，BCAE， 所以四边形 ABCE 是平行四边形， 所以 CEAB，则 BDAB. 由(1)知 PA平面 ABCD， 所以 PABD， 又因为 PAABA，则 BD平面 PAB， 且 BD?平面 PBD，所以平面 PBD平面 PAB. 2.如图，已知斜三棱柱 ABC- A1B1C1中，点 D，D1分别为 AC，A1C1 上的点 (1)当A1D1 D1C1等于何值时，BC1平面 AB1D1? (2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求AD DC的值 解：(1)如图，取 D1为线段 A1C1的中点，此时A1D1 D1C11， 连接 A1B 交
11、 AB1于点 O，连接 OD1. 由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1为平行四边形， 所以点 O 为 A1B 的中点 在A1BC1中，点 O，D1分别为 A1B，A1C1的中点， 所以 OD1BC1. 又因为 OD1?平面 AB1D1，BC1?平面 AB1D1， 所以 BC1平面 AB1D1. 所以当A1D1 D1C11 时，BC1平面 AB1D1. (2)由已知，平面 BC1D平面 AB1D1， 且平面 A1BC1平面 BDC1BC1， 平面 A1BC1平面 AB1D1D1O. 因此 BC1D1O，同理 AD1DC1. 因为A1D1 D1C1 A1O OB， A1D1 D1C1 DC AD.
12、 又因为A1O OB1，所以 DC AD1，即 AD DC1. 平面图形的折叠问题(综合型) 典型例题 如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，ABBC.把BAC 沿 AC 折起到PAC 的位置，使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，如图 所示，点 E，F 分别为棱 PC，CD 的中点 (1)求证：平面 OEF平面 PAD； (2)求证：CD平面 POF； (3)若 AD3，CD4，AB5，求三棱锥 E- CFO 的体积 【解】 (1)证明：因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上， 所以 PO平面 ADC，所以 POAC.
13、 由题意知 O 是 AC 的中点，又点 E 是 PC 的中点， 所以 OEPA，又 OE?平面 PAD，PA?平面 PAD， 所以 OE平面 PAD.同理，OF平面 PAD. 又 OEOFO，OE，OF?平面 OEF， 所以平面 OEF平面 PAD. (2)证明：因为 OFAD，ADCD， 所以 OFCD. 又 PO平面 ADC，CD?平面 ADC， 所以 POCD. 又 OFPOO，所以 CD平面 POF. (3)因为ADC90，AD3，CD4， 所以 SACD1 2346， 而点 O，F 分别是 AC，CD 的中点， 所以 SCFO1 4SACD 3 2， 由题意可知ACP 是边长为 5
14、的等边三角形， 所以 OP5 2 3， 即点 P 到平面 ACD 的距离为5 2 3， 又 E 为 PC 的中点，所以 E 到平面 CFO 的距离为5 4 3， 故 VECFO1 3 3 2 5 4 35 8 3. 平面图形折叠问题的求解方法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线 段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口 (2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折 叠前的图形 对点训练 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD 2 ，ABBC1 2ADa，E 是 AD 的
15、中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将ABE 沿 BE 折起到图 2 中A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE. (1)证明：CD平面 A1OC； (2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2，求 a 的值 解：(1)证明：在图 1 中，因为 ABBC1 2ADa，E 是 AD 的中点， BAD 2 ，所以 BEAC. 即在图 2 中，BEA1O，BEOC， 从而 BE平面 A1OC， 又 CDBE， 所以 CD平面 A1OC. (2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE， 且平面 A1BE平面 BCDEBE， 又由(1)知，A1OBE， 所以 A1O平面 BCDE， 即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高 由图 1 知，A1O 2 2 AB 2 2 a，平行四边形 BCDE 的面积 SBE OCa2. 从而四棱锥 A1BCDE 的体积为 V1 3SA1O 1 3a 2 2 2 a 2 6 a3， 由 2 6 a336 2，得 a6.
