1、 本部分主要考查绝对值不等式的解法 求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取 值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的 应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想 1绝对值不等式的性质 定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立 2|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法 (1)|axb|c?caxbc (2)|axb|c?axbc
2、 或 axbc 3|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解 (2)利用零点分段法求解 (3)构造函数，利用函数的图象求解 4基本不等式 定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab当且仅当 ab 时，等号成立 定理 2：如果 a，b 为正数，则ab 2 ab，当且仅当 ab 时，等号成立 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则abc 3 3abc，当且仅当 abc 时，等号成立 定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1，a2，an为 n 个正数，则a1a2an n na1a2an， 当且仅当 a1a2an时，等号成立 热点一
3、绝对值不等式的解法与最值问题 【例 1】(2019 肇庆一模)已知函数? ?22f xxaxa?R 热点题型热点题型 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题六专题六 第第 2 2 讲讲 选修选修 4 4- -5 5 不等式选讲不等式选讲 选修部分选修部分 （1）当2a ?时，求不等式? ?2f x ?的解集； （2）若? ?2f x ?，求实数a的取值范围 解（1）不等式? ?2f x ?，即2222xx?. 可得 2 2222 x xx ? ? ? ? ，或 12 2222 x xx ? ? ? ? 或 1 2222 x xx ? ? ? ? ， 解得 2 2 3 xx?或
4、，所以不等式的解集为 2 2 3 x xx ? ? ? ? 或. （2）? ?2211f xxaxxaxx?11111xaxxaxa?， 当且仅当1x ?时，两处等号同时成立，所以12a?，解得1a ? ?或3a ?， 实数?的取值范围是? ?, 13,? ? 探究提高 1解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间， 去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解 2不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决 【训练 1】 (2017 郑州三模)已知不等式|xm|m2， 又不等式|xm|cd，则 a b c
5、 d； (2) a b c d是|ab| c d，只需证明( a b)2( c d)2， 也就是证明 ab2 abcd2 cd， 只需证明 ab cd，即证 abcd 由于 abcd，因此 a b c d (2)若|ab|cd 由(1)得 a b c d 若 a b c d，则( a b)2( c d)2， ab2 abcd2 cd abcd，所以 abcd 于是(ab)2(ab)24ab c d是|ab|0； (2)若?x0R，使得 f(x0)2m2L(A，C)，求 x 的取值范围； (2)当 xR 时，不等式 L(A，B)tL(A，C)恒成立，求 t 的最小值 2(2018 福建联考)已知
6、不等式2315xx?的解集为?, a b （）求ab?的值； （）若0x ?，0y ?，40bxya?，求证：9xyxy? 精准预测题 参考答案参考答案 1 【解题思路】(1)将1a ?代入函数解析式，求得? ?11f xxx? ?，利用零点分段将解析式化为 ? ? 2,1 2 , 11 2,1 x f xxx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式? ?1f x ?的解集为 1 2 x x ? ? ? ? ； (2)根据题中所给的?0,1x?，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为?0,1x?时11ax?， 分情况讨论即可求得结果. 【答案】 （
7、1）当1a ?时，? ? 21 11211 21 x f xxxxx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ?1f x ?的解集为 1 2 x x ? ? ? ? （2）当?0,1x?时11xaxx? ?成立等价于当?0,1x?时11ax?成立 若0a ?，则当?0,1x?时11ax?； 若0a ?，11ax?的解集为 2 0x a ?，所以 2 1 a ?，故02a? 综上所述，的取值范围为?0,2 2 【解题思路】 （1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2）先化简 不等式为 24xax? ，再根据绝对值三角不等式得 2xax? 最小值，最后
8、解不等式 24a? 得a的 取值范围 【答案】（1）当1a ?时，? ? 24,1 2, 12 26,2 xx f xx xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，可得? ? 0f x ? 的解集为? 23xx? ? （2）? ? 1f x ?等价于24xax? ， 而 22xaxa? ，且当2x ?时等号成立，故? ? 1f x ?等价于24a? ， 由 24a? 可得6a ? ?或2a ?，所以a的取值范围是? ? , 62,? ?U 点睛： 含绝对值不等式的解法有两个基本方法， 一是运用零点分区间讨论， 二是利用绝对值的几何意义求解 法 一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将
9、绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解 题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向 ? ?f xx? a 经典常规题 1 【解题思路】(1)零点分段讨论法得出 f(x)的解析式，再分类讨论求解 f(x)1，所以10 (2) 存在性问题转化为求最值问题 【答案】解 (1)当 x0，解得 x0，解得 x1 2时，f(x)2x1x2x3， 令 x30，解得 x3 又x1 2，x3 综上，不等式 f(x)0 的解集为? ? ? ? ，1 3 (3，) (2)由(1)得 f(x) 3,2 1 31, 2 2 1 3, 2 xx xx xx ? ? ? ? ? ? ?
10、? ? ? ? ? ? ， 高频易错题 f(x)minf ? ? ? ? 1 2 5 2 ?x0R，使得 f(x0)2m25 2， 整理得 4m28m5L(A，C)，进一步解出 x 的范围(2)由定义得出 L(A，B)t L(A，C)，再利用绝对值三角不等式求解即可 【答案】解 (1)由定义得|x1|1|x5|1， 则|x1|x5|，两边平方得 8x24，解得 x3 故 x 的取值范围为(3，) (2)当 xR 时，不等式|x1|x5|t 恒成立，也就是 t|x1|x5|恒成立， 因为|x1|x5|(x1)(x5)|4， 所以 t4，所以 tmin4 故 t 的最小值为 4 2 【解题思路】
11、（1）根据 1 3 x ? ?， 1 2 3 x?，2x ?进行分类讨论，求出不等式2315xx?的解集，由 此能求出ab? （2）由0x ?，0y ?，41xy?，知? 11114 41 4 xyxy xy xyyxyxyx ? ? ? ? ? ，由此利用作商法和基本 不等式的性质能证明9xyxy? 【答案】 （）原不等式等价于 1 3 415 x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或 1 2 3 325 x x ? ? ? ? ? ? ? 或 2 415 x x ? ? ? ? ? ， 解得 1 1 3 x? ?或 1 1 3 x?，即11x? ? 1a ? ?，1b ?， 0ab?. （）由（）知410xy? ?，即41xy?，且0x ?，0y ?， ? 111144 414259 xyxyx y xy xyyxyxyxyx ? ? ? ? ? ， 当且仅当 1 6 x ?， 1 3 y ?时取“?”,9xyxy? 精准预测题
