1、 1 圆锥曲线的方程（选择题、填空题） 一、单选题一、单选题 1 （江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初）抛物线 2 1 4 yx的焦点坐标是（ ） A 1 ,0 16 B1,0 C 1 -,0 16 D0,1 【答案】D 【解析】 2 1 4 yx即 2 4xy，所以其焦点在 y 轴正半轴，坐标为0,1，故选 D 2 （云南省昆明市第一中学 2021 届高三高中新课标第一次摸底测试数学（理） ）抛物线 2 2(0)ypx p的 焦点到双曲线 22 1xy的渐近线的距离为 2 2 ，则p （ ） A4 B3 C2 D1 【答案】C 【解析】因为抛物线的焦点为(,0) 2 p
2、，双曲线的渐近线为0 xy，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线 的距离为 22 22 2 11 p d ，又因为0p ，所以2p ，故选 C 3（四川省仁寿第二中学 2020-2021 学年高三 9 月月考数学 （理） ） 若双曲线 22 :1 3 xy C m 的离心率为3， 则 C 的虚轴长为（ ） A4 B2 3 C2 6 D2 【答案】C 【解析】因为双曲线 22 :1 3 xy C m 的离心率为3，故 3 3 3 m ， 解得6m，所以虚轴长为2 6故选 C 【点睛】本题考查双曲线的离心率及虚轴长，注意双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 中各几何量计算公 式的正确应用
3、，如虚轴长指2b，本题属于基础题 4 （安徽省阜阳市太和中学 2019-2020 学年高二下学期开学考试数学（理） ）椭圆 22 1xmy的焦点在 y 2 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（ ） A 1 4 B 1 3 C 1 2 D4 【答案】A 【解析】由题意 2 2 1 1 y x m ，所以 2 1 a m ， 2 1b ，所以 1 22 1 24 m ， 1 4 m 故选 A 5 （江苏省连云港市赣榆区智贤中学 2019-2020 学年高二上学期 10 月月考）椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 （ ） A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 【答案】B 【解
4、析】因为椭圆 22 1 94 xy 中3a ，2b，所以 22 5cab ， 得 5 3 c e a ，故选 B 6 （安徽省阜阳市太和中学 2019-2020 学年高二下学期开学考试数学（文） ）椭圆 22 1xmy的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（ ） A 1 4 B8 C2 D4 【答案】A 【解析】由题意 2 2 1 1 y x m ， 22 1 ,1ab m 且 1 2 1 m ， 1 4 m 故选 A 7 （江苏省泰州中学 2020-2021 学年高二上学期期初检测）已知椭圆 22 1 2516 xy 上的点P到椭圆一个焦点的 距离为 7，则P到另一焦点的距
5、离为（ ） A2 B3 C5 D7 【答案】B 【解析】根据椭圆定义可知，P到两个焦点的距离之和为22 5 10a = ?，所以P到另一个焦点的距离为 3 10 73 故选 B 8 （湖北省武汉为明学校 2019-2020 学年高二上学期 12 月月考）空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知 两点坐标为 A（3，1，0） ，B（1，3，0） ，若点 C 满足OCOAOB，其中，R， 1，则点 C 的轨迹为 A平面 B直线 C圆 D线段 【答案】B 【解析】设点 C 的坐标为( , , )x y z，由题意可得 ( , , )(3,3 ,0)x y z ， 再由1 可得，250 xy，故点 C
6、的轨迹方程为250 xy，故选 B 9 （四川省内江市 2020 届高三下学期第三次模拟考试数学 （文） ） 已知点2,0A 、3,0B， 动点,P x y 满足 2 PA PBx ，则点P的轨迹是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【答案】D 【解析】动点,P x y满足 2 PA PBx ， 2 23x, yx, yx ， 22 23xxyx ，解得 2 6yx，点P的轨迹是抛物线故选 D 10 （陕西省西安市第一中学 2020-2021 学年高三上学期模拟调研考试数学（理） ）已知F为抛物线 2 :8C yx的焦点，M为C上一点，且4MF ，则M到x轴的距离为（ ） A4 B4 2
7、 C8 D16 【答案】A 【解析】因为F为抛物线 2 :8C yx的焦点，所以2,0F，设 11 ,M x y，由抛物线的性质得： 1 422x ， 2 11 8 2164yy ，故M到x的距离为 4故选 A 11 （江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初）双曲线的方程为 22 1 32 xy ，则以双曲线右准线为 准线的抛物线的标准方程是（ ） A 2 12 5 5 yx B 2 12 5 5 yx C 2 12 5 5 xy D 2 12 5 5 xy 【答案】B 4 【解析】由双曲线 22 1 32 xy ，得 2 3a ， 2 2b ，则 22 5cab ，双曲线的右
8、准线方程为 2 33 5 55 a x c ，可知抛物线的准线方程为 3 5 5 x ，则焦点坐标为 3 5 ,0 5 F ，设抛物线方程为 2 2(0)ypx p ，则 3 5 25 p ， 12 5 2 5 p ，则抛物线的标准方程是 2 12 5 5 yx ，故选 B 12 （吉林省通化市梅河口五中 2020 届高三高考数学（文科）六模）已知第四象限内抛物线 2 16yx上的 一点M到y轴的距离是该点到抛物线焦点距离的 1 5 ，则点M的坐标为（ ） A1, 8 B1, 4 C1, 8 2 D 2, 4 2 【答案】B 【解析】设( , )M x y，则根据题意及抛物线的定义可得: 1
9、(4) 5 xx，解得1x ， 代入抛物线方程得：4y ，又点M在第四象限，所以 4y ，故(1, 4)M故选 B 13 （吉林省长春市长春八中 2020 届高三毕业班第一次诊断性检测数学（理） ）已知抛物线 2 4yx的焦点 为F，,M N是抛物线上两个不同的点若5MFNF，则线段MN的中点到y轴的距离为( ) A3 B 3 2 C5 D 5 2 【答案】B 【解析】由抛物线方程 2 4yx，得其准线方程为1x，设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 由抛物线的性质得， 12 11=5MFNFxx ，MN中点的横坐标为 3 2 ， 线段MN的中点到y轴的距离为 3 2 故选
10、B 14 （四川省成都七中 2020-2021 学年高三入学考试数学文科试题） 抛物线 2 :4W yx的焦点为F， 点A在 抛物线上，且点A到直线3x 的距离是线段AF长度的 2 倍，则线段AF的长度为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】依题意，得 F（1，0） ，抛物线的准线为 x1，线段 AF 的长等于点 A 到准线 x1 的距离， 5 因为点A到直线3x的距离是线段AF长度的 2 倍，所以，点A到直线3x的距离是点 A 到准线 x 1 的距离的 2 倍，设 A 点横坐标为 0 x，是 0 x32（ 0 x1） ，解得： 0 x1，所以，AF1（ 1）2，故选 B. 15
11、 （云南省昆明市第一中学 2021 届高三高中新课标第一次摸底测试数学（文） ）抛物线 2 4yx的焦点到 双曲线 22 1xy的渐近线的距离为（ ） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D2 【答案】B 【解析】因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为0 xy， 所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 22 10 2 2 11 d ，故选 B 16 （河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考）双曲线 22 1 102 xy 的焦距为（ ） A3 2 B4 2 C3 3 D4 3 【答案】D 【解析】由双曲线 22 1 102 xy 方程得 22 10,2,
12、ab 222 10212,2 3,24 3cabcc即焦距为4 3，故选 D 17 （江西 九江市第一中 学 2019-2020 学年度高二 下学期期末 考试数学 （文） ）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab ， 过E的右焦点F作其渐近线的垂线， 垂足为P， 若O P F的面积为 3 4 ac， 则E的离心率为（ ） A3 B 2 3 3 C2 D 2 【答案】C 【分析】 先求出焦点F到渐进线的距离为b， 由勾股定理求出RT OFP的边长OPa， 再由面积得到 , a c 的关系，从而求出离心率 6 【解析】双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的渐
13、近线方程为 b yx a ， 过E的右焦点F作其渐近线的垂线，垂足为P，则 22 bc PFb ab ， 所以在RT OFP中，, 2 OPFFPb OFc ，所以OPa， 则 13 24 OPF ac Sab，即23bc， 所以 22 43bc，即 222 43cac，所以 22 4ac ，故2 c e a ，故选 C 18 （安徽省皖南八校 2020-2021 学年高三上学期摸底联考理科）已知双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的两 条渐近线互相垂直，且焦距为2 6，则抛物线 2 2ybx的准线方程为（ ） A3x B 3 2 x C3y D 3 2 y 【答案】B 【分析】
14、根据双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的两条渐近线互相垂直， 得到ab， 然后利用焦距为2 6， 求得 b，进而得到抛物线的方程求解 【解析】因为双曲线 22 22 10,0 yx ab ab 的两条渐近线互相垂直， 所以ab，又焦距为2 6，所以 2 22 2 6 6 2 ab ，解得3ab， 所以 2 2 3yx，所以抛物线的准线方程是 3 2 x ，故选 B 19（云南师范大学附属中学 2021 届高三高考适应性月考卷 （一） 数学 （理） ） 双曲线 :C 22 22 1(0,0) xy ab ab 7 的右焦点为3,0F，且点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 1
15、，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 2 B 3 2 4 C 2 3 3 D2 3 【答案】B 【分析】先由题意，得到3c ，渐近线方程为0bxay，根据点到直线距离公式，求出1b，得出a， 即可求出离心率 【解析】因为双曲线的右焦点为3,0F，即3c ，双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线方程为 0bxay；又 点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 1， 所以 22 3 1 b ba ， 即 3 1 b c ， 所以 1b， 则 22 2 2acb ， 因此 3 2 4 c e a 故选 B 20 （江西省南昌市 2021 届高三摸底测试数学（理） ）若双曲线 2 2 1 y
16、x m 的离心率 1,3e，则m的取 值范围为（ ） A0,4 B0,8 C1,9 D8, 【答案】B 【分析】利用双曲线的离心率可以建立不等式113m，然后直接求解即可 【解析】由已知得，0m，双曲线 2 2 1 y x m 的离心率 1,3e，又由 1em ，则113m， 化简得08m，故m的取值范围为0,8，故选 B. 21 （ 河 南 省 2020-2021 学 年 上 学 期 高 中 毕 业 班 阶 段 性 测 试 （ 一 ） 理 科 ） 已 知 双 曲 线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 2，且经过点 3, 2，点P在C上
17、， 12 60FPF，则点P到x轴的距离为（ ） A 3 2 B 6 2 C 3 D6 【答案】B 8 【解析】由双曲线的离心率为 2，可知双曲线为等轴双曲线，a b，将点 3,2代入双曲线方程得 1ab，根据对称性，不妨设P点在第一象限，P到x轴的距离为h， 12 2 2FF ， 12 2PFPF， 由余弦定理得 222 121212 02cos6FFPFPFPFPF 2 1212 PFPFPFPF，所以 12 4PFPF ， 由三角形面积公式得 12 1 sin60 2 PFPF 12 1 2 FFh，得 6 2 h 故选 B 22 （安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学 2020-2021 学
18、年高三上学期第一次月考）椭圆的焦距为 8，且椭圆 的长轴长为 10，则该椭圆的标准方程是（ ） A 22 1 259 xy B 22 1 259 xy 或 22 1 259 yx C 22 1 10036 xy D 22 1 10036 xy 或 22 1 10036 yx 【答案】B 【解析】根据题意，椭圆的焦距为 8，长轴长为 10，则28c ，210a ， 即4c ，5a，则 22 3bac ， 若椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为 22 1 259 xy ， 若椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为 22 1 259 yx ， 故要求椭圆的标准方程为 22 1 259 xy 或 22 1
19、259 yx ，故选 B 23 （安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考）若0mn，则方程 0mxyn 与 22 nxmymn所表示的曲线可能是图中的（ ） A B 9 C D 【答案】C 【分析】0mxyn即为直线y mxn ， 22 nxmymn即为曲线 22 1 xy mn ，0mn，再逐项判 断即可 【解析】0mxyn即为直线y mxn ， 22 nxmymn即为曲线 22 1 xy mn ，0mn对于 A 选项，由直线方程可知，0m，0n，则曲线 22 1 xy mn ，0mn表示圆或椭圆，A 选项错误；对于 B 选项，由直线方程可知，0m，0n
20、，则曲线 22 1 xy mn ，0mn不存在，B 选项错误；对于 C 选 项，由直线方程可知，0m，0n，则曲线 22 1 xy mn ，0mn表示焦点在x轴上的双曲线，C 选项 正确；对于 D 选项，由直线方程可知，0m，0n，则曲线 22 1 xy mn ，0mn表示焦点在y轴上的 双曲线，D 选项错误故选 C 24 （重庆市第八中学 2020 届高三下学期第五次月考数学（文） ）椭圆 2 2 1 4 x y的焦点为 1 F， 2 F点P为 椭圆上的动点若 12 FPF为钝角，点P的横坐标的取值范围为（ ） A 66 , 33 B 2 6 2 6 , 33 C 2 2 , 3 3 D 1
21、 1 , 3 3 【答案】B 【分析】根据椭圆方程，得到 1 3,0F ， 2 3,0F，设 00 ,P x y，根据 12 FPF为钝角，推出 1 2 0PFPF，再由集合椭圆的方程，即可求出结果 【解析】因为 1 F， 2 F为椭圆 2 2 1 4 x y的两焦点，则 1 3,0F ， 2 3,0F， 设 00 ,P x y，则 1 00 3,PFxy ， 200 3,PFxy， 因为 12 FPF为钝角，所以 222 1 200000 3330PFPFxxyxy ， 10 又 2 2 0 0 1 4 x y， 22 2 00 12 0 3 3 120 44 xx PFPFx ， 0 2
22、62 6 33 x 故选 B 25 （安徽省宣城市 2019-2020 学年高二下学期期末数学（文） ）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 y 轴上， 且短轴的长为 2，离心率等于 2 5 5 ，则该椭圆的标准方程为（ ） A 22 1 204 xy B 22 1 204 yx C 2 2 1 5 y x D 2 2 1 5 x y 【答案】C 【解析】设椭圆C标准方程为 22 22 10 yx ab ab 短轴长为2，22b， 解得：1b离心率 2 5 5 c e a ，又 2222 1abcc ， 2 5a， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 5 y x故选C 26 （2020 届重庆市第一
23、中学高三下学期 6 月模拟数学（文） ）已知P为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上 一点，O为坐标原点， 1 F， 2 F为椭圆C的左右焦点，若 2 |OPOF，且 21 tan2PF F， 12 PFF的面 积为 4，则该椭圆的标准方程为（ ） A 22 1 94 xy B 22 1 95 xy C 22 1 83 xy D 22 1 84 xy 【答案】A 【分析】由已知条件可得 12 PFF为直角三角形，若设 12 ,PFm PFn，则结合椭圆的定义和直角三角 形的性质，已知条件得，8mn， 2 222 12 4mnFFc，2m na，2mn，从而可求出, a b的值，
24、 进而可求出椭圆的方程 【解析】设 12 ,PFm PFn，因为 2 |OPOF，所以 21 |OPOFOF，所以 12 PFF为直角三角 11 形，即 12 90FPF，因为 21 tan2PF F，所以 2mn，因为 12 PFF的面积为 4，所以 1 4 2 mn ， 即8mn，因为 12 90FPF，所以 2 222 12 4mnFFc，由椭圆的定义可得2mna，所以 222 24mnmna，所以解得 2 4b ， 4,2mn，所以 3a ，所以所求椭圆方程为 22 1 94 xy ， 故选 A. 27（江苏省镇江中学 2020-2021学年高二上学期期初） 设椭圆 22 22 10
25、xy ab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，上顶点为B，若 212 2BFFF则该椭圆的方程为（ ） A 22 1 43 xy B 2 2 1 3 x y C 2 2 1 2 x y D 2 2 1 4 x y 【答案】A 【解析】因为 212 2BFFF，所以2,1ac，由 222 abc 可得 2 3b ， 所以椭圆方程是： 22 1 43 xy 故选 A 【点睛】本题考查了椭圆定义及椭圆的简单性质，属于简单题，解题中需要注意椭圆性质 222 abc的准 确应用 28 （江苏省镇江中学 2020-2021 学年高二上学期期初）已知椭圆G： 22 22 1 xy ab (0ab)的
26、右焦点为 3,0F，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为1, 1，则G的方程为（ ） A 22 1 4536 xy B 22 1 3627 xy C 22 1 2718 xy D 22 1 189 xy 【答案】D 【解析】设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab ， 两式相减并化简得 2 1212 2 1212 yyyyb axxxx ， 12 又过点F的直线交椭圆于A，B两点，AB的中点坐标为1, 1， 所以 12 12 2 2 xx yy ， 12 12 01 3 1 AB yy k xx ， 即 2
27、2 22 22 01111 2 13 122 bb ab aa ， 由于 222 abc且3c ，由此可解得 2 18a ， 2 9b ， 故椭圆E的方程为 22 1 189 xy 故选 D 29 （河南省 2020 届高三（6 月份）高考数学（文科）质检）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右 焦点分别为 1 F， 2 F，B 为椭圆的上顶点，若 12 BFF的外接圆的半径为 2 3 b ，则椭圆 C 的离心率为（ ） A 2 2 B 3 2 C 1 2 D 2 3 【答案】C 【分析】设 O 为坐标原点， 12 BFF的外接圆的圆心必在线段OB上，则有 22 2 2
28、2 33 cbbb ，求 出 22 3bc，进而得2ac，故可得椭圆的离心率 【解析】设 O 为坐标原点， 12 BFF的外接圆的圆心必在线段OB上， 且有 22 2 22 33 cbbb ，得 22 3bc，即 222 3acc，所以 22 4ac ， 所以2ac，即椭圆 C 的离心率为 1 2 c e a 故选 C 30 （河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考）椭圆 22 1xmy的焦点在 y 轴上，长 轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（） A2 B C4 D 【答案】D 【解析】 22 1xmy 2 222 1111 1,1,12 1 4 y xabab
29、m mmm m 13 31 （河北省正定县弘文中学 2020-2021 学年高二上学期 9 月月考）焦点在 x 轴上的椭圆 22 2 1 25 xy a 焦距 为 8，两个焦点为 12 ,F F，弦 AB 过点 1 F，则 2 ABF的周长为（ ） A20 B28 C2 41 D4 41 【答案】D 【解析】因为焦点在 x 轴上的椭圆 22 2 1 25 xy a 焦距为 8，所以 22 254a ，解得41a ； 如图，根据椭圆的定义可得 12 2AFAFa， 12 2BFBFa，所以 2 221122 444 1 ABF CABAFBFAFBFAFBFa，故选 D. 32（福建省泰宁第一中
30、学 2019-2020 学年高二上学期第一阶段考试） “ 4m”是“椭圆 22 1 5 xy m 焦距为2” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当4m时， 22 5,4,22 542abc，即4m时，椭圆 22 1 5 xy m 焦距为2，当6m 时， 22 6,5,2652abc， 即“4m”是“椭圆 22 1 5 xy m 焦距为2”的充分不必要条件， 故选 A 33 （黑龙江省大庆实验中学 2020 届高三综合训练（五）数学（文） ）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F， 准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线C交于
31、M，N两点，若 4PFMF ，则MN （ ） A 3 2 B 9 2 C3 D9 14 【答案】B 【分析】由 4PFMF ，可得 3PMMF ，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线MN的斜率， 进而得到MN的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解 【解析】由题意，抛物线 2 :4C yx的焦点为(1,0)F，因为 4PFMF ，可得 3PMMF ， 如 图 所 示 ， 过 点M作MQ 直 线l于 点Q， 则M FM Q， 所 以 在 直 角PQM中 ， 1 c o s 3 M QM F P Q M P MP M ，所以tan 2 2PQM，所以直线M
32、N的方程为2 2(1)yx，联 立 2 2 2(1) 4 yx yx ，整理得 2 2520 xx ，解得2x或 1 2 x ， 由抛物线的定义可知 19 22 22 MN 故选 B 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算等知识的综 合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力 34 （广东省广州市执信、广雅、六中三校 2021 届高三上学期 8 月联考）已知抛物线 2 2ypx（0p ） 的准线与圆 22 40 xyy相交所得的弦长为2 3，则 p的值为（ ） A 1 2 B1 C2 D4 【答案】C 15 【解析】抛
33、物线 2 2ypx（0p ）的准线方程为 2 p x ， 圆 22 40 xyy的标准方程为 2 2 24xy，圆心坐标为0,2，半径为 2， 圆心到准线的距离为 2 p ，所以有 2 2 2 32 2 p ，解得 2p 故选 C 35（四川省内江市第六中学 2020 届高三强化训练 （一） 数学 （文） ） 已知双曲线C ： 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线方程是2yx，过其左焦点3,0F 作斜率为 2 的直线l交双曲线C于A，B两点，则 截得的弦长AB （ ） A2 5 B4 5 C10 D10 2 【答案】C 【分析】根据渐进线方程得出2 b a ，再根据焦点得出 3
34、c ，结合 222 cab，可求出双曲线的标准 方程，然后根据点斜式得出直线方程，联立方程组求出 12 4 3xx， 12 7x x，最后由弦长公式 2 2 121 2 14ABkxxx x 即可求出截得的弦长AB 【解析】双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线方程是2yx， 2 b a ，即 2ba ，左焦点3,0F ，3c 2222 33caba， 2 1a ， 2 2b ， 双曲线方程为 2 2 1 2 y x ，直线l的方程为 23yx， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y由 2 2 23 1 2 yx y x ， 消y可得 2 4 370 xx，
35、12 4 3xx， 12 7x x， 2 2 121 2 141 4482852010ABkxxx x 故选 C 36 （云南省曲靖市宣威市 2019-2020 学年高二下学期期末数学（文） ）已知双曲线 22 2 10 4 xy b b 的焦 16 点与椭圆 22 1 2516 xy 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A4 2 B5 C3 D 5 【答案】D 【分析】根据两个曲线的焦点重合即可求得b的值，从而求得双曲线的渐近线方程，然后利用焦点到渐近 线的距离公式求得结果 【解析】 2 425 16b， 2 5b ，5b ，因此该双曲线的一条渐近线的方程为 5 2 yx
36、，即 520 xy又焦点为3,0或3,0，可得双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 3 5 2 5 5 1 4 d 故 选 D 37 （湘豫名校 2020 届高三下学期数学（理）联考）已知 1 ,0Fc、 2 ,0F c是双曲线 22 22 :1 xy C ab 的 左、右焦点， 1 F关于双曲线的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线 2 4ycx上，则双曲线的离心率 为（ ） A 21 B2 C 5 D 51 2 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式得出点 1 F到0 b xy a 的距离，从而得出 1 2PFb， 2 2PFa， 12 cos a FF P c ，结合抛物线的定义得出
37、122212 cosFFPFPFFF P，化简得 22 caca ，利用离心 率公式得出 2 10ee ，求解即可得出答案 【解析】由题意可得过一三象限的渐近线方程为 b yx a ，则点 1 F到0bxay的距离为 22 bc b ab ， 所以在 12 FPF中， 1 2PFb， 2 2PFa， 12 2FFc， 12 cos a FF P c 17 由抛物线的定义可知，点P到准线xc的距离等于点P到 2 F的距离， 122212 cosFFPFPFFF P， 12 222 coscaaFF P，即 22 caca ， 2 10ee ， 51 2 e (负值舍去)故选 D. 38（湘豫名校
38、 2020 届高三联考 （6 月） 数学 （文） ） 已知 O 为直角坐标系的坐标原点， 双曲线 C： 22 22 1 xy ab （0ba）上有一点5,Pm（0m） ，点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，过点 P 作双 曲线 C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 A，B，若平行四边形PAOB的面积为 3 4 ，则双 曲线的标准方程是（ ） A 2 2 1 4 y x B 22 1 23 xy C 22 1 19 22 xy D 22 1 37 22 xy 【答案】C 【解析】据题意，双曲线的半焦距5c ，可设一条平行线方程为 5 b ymx a ，由 5 b y
39、x a b ymx a ，解得 5 2 A amb x b ，则 2 2 5 1 2 bmab OA ab ，又点 P 到直线 b yx a 的距离 22 5bam d ab ， 222 2 2 22 55 53 1 224 bmabm a b mab abab ab ， 18 又 2 22222 22 5 15 m ba ma b ab ， 3 2 ab ，又 5c ，解得 2 2 a ， 3 2 2 b ，所以双曲线的标 准方程是 22 1 19 22 xy ，故选 C 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程，属于中档题求 解与双曲线性质有关的问题时要
40、结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶 点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联 系 39 （江苏省南通如皋、盐城射阳 2020-2021 学年高三上学期期初联考）设 12 ,F F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点，过 1 F的直线l与 222 :O xya相切，l与C的渐近线在第一象限 内的交点是P，若 2 PFx轴，则双曲线的离心率等于（ ） A3 B2 C2 2 D4 【答案】A 【解析】由于直线l与双曲线 22 22 :1 xy C ab 的渐近线的交点在第一象限， 故
41、其渐近线方程为 b yx a ，由 2 PFx轴， 2( ,0) F c，设 0 ,P c y， 则 0 bbc yc aa ，即, bc P c a ，设直线的倾斜角为，0, 2 ， 根据直线l与圆O相切，设切点为M，由原点O到l的距离为半径a，且 1 |OFc， 19 在直角 1 OMF中， 22 1 MFcab，则 1 | tan OMa MFb ， 又在直角 12 PFF中，2 12 tan 22 bc PFb a FFca ，则 22 2ba， 由双曲线性质可得： 222 cab，可得： 22 3ca， 故双曲线的离心率为3 c e a ，故选 A 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质
42、离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方 法，方法一：求出 , a c ，代入公式 c e a ；方法二：只需要根据一个条件得到关于, ,a b c的齐次式，转化 为 , a c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得e的值(范围) 40 （安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学 2020-2021 学年高三上学期第一次月考）已知 F 是椭圆 2 2 x Cy1 2 ：的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 4,3，则PQPF的最大值为( ) A5 2 B3 2 C34 D4 2 【答案】A 【分析】由题意，设椭圆 C 的右焦点为F 1,0，由已知条件推导出PQPFPQ2 2P
43、F，利用 Q，F，P 共线，可得PQ PF取最大值 【解析】由题意，点 F 为椭圆 2 2 x Cy1 2 ：的左焦点， F1,0， 点 P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 的坐标为4,3，设椭圆 C 的右焦点为F 1,0， PQPFPQ2 2PF2 2PQPF，PQPFQF3 2， PQPF5 2，即最大值为 5 2，此时 Q，F，P 共线，故选 A 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准 20 方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力 41 （江苏省连云港市赣榆区智贤中学 2019-2020
44、 学年高二上学期 10 月月考） 已知椭圆 22 1 10036 xy 上的一 点P到左焦点 1 F的距离为6，点M是线段 1 PF的中点，O为坐标原点，则|OM A3 B4 C7 D14 【答案】C 【分析】先根据椭圆的定义求出 2 |PF的长度，再利用中位线定理求出|OM|的长度 【解析】由椭圆的定义得 1212 220,6,14.PFPFaPFPF 因为 121 ,OFOFMFPM，所以 2 1 7. 2 OMPF故答案为 C. 【点睛】(1)本题主要考查椭圆的定义和中位线的性质定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推 理能力(2)在圆锥曲线里，看到焦半径就要联想到椭圆的定义解题，
45、这是一个一般的规律 42 （安徽省宣城市 2019-2020 学年高二下学期期末数学 （文） ）已知点 1 F， 2 F分别是椭圆 1 C和双曲线 2 C的 公共焦点， 1 e， 2 e分别是 1 C和 2 C的离心率， 点 P 为 1 C和 2 C的一个公共点， 且 12 2 3 FPF ， 若 2 2e ， 则 1 e的值是（ ） A 5 5 B 5 4 C 2 5 7 D 2 5 5 【答案】D 【分析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程 222 12 43caa，由此得到关于离心率的方程求 得结果 【解析】设椭圆长半轴长为 1 a，双曲线实半轴长为 2 a，焦点坐标为 1 ,
46、0Fc ， 2 ,0F c， 不妨设P为第一象限内的点，则 121 2PFPFa， 122 2PFPFa，则 22 1212 PF PFaa， 由余弦定理得： 2222 2 12121212 2 42cos 3 cPFPFPF PFPFPFPF PF ， 222222 11212 443caaaaa， 22 12 31 4 ee ，又 2 2e ， 2 1 4 5 e， 21 1 2 5 5 e故选D 【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余 弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程 43 （云南省红河州 2020 届高三高考数
47、学（理科）一模试题）已知 1 F、 2 F是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点， 且 12 3 FPF ， 记椭圆和双曲线的离心率分别为 1 e，2e， 则 1 2 1 2e e 的最大值为 （ ） A 3 2 B 3 3 C 2 3 3 D1 【答案】B 【解析】设椭圆的方程为 22 11 22 11 1(0) xy ab ab ，双曲线方程为 22 22 22 1 xy ab 22 (0,0)ab，点P在第 一象限， 由椭圆和双曲线的定义得： 121 2PFPFa， 122 2PFPFa， 解得 112 PFaa， 212 PFaa， 在 12 FPF中，由余弦定理得： 222 12121212 2cosFFPFPFPF PFFPF， 即： 22 2 12121212 4caaaaaaaa，整理得： 222 12 34aac， 所以 2 22 1 31 4 ee ， 22 121 2 132 3 eeee ，即 1 2 2 3 4 e e ，当且仅当 12 13 ee 时，等号成立 故 1 2 13 23e e ，所以 1 2 1 2e e 的最大值为
