1、 一、选择题 1(2018 合肥模拟)我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四 个节气，每个节气晷(u)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子 的长度) 二十四个节气及晷长变化如图所示， 相邻两个节气晷长的变化量相同， 周而复始 若 冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的 那个节气(小暑)晷长是( ) A五寸 B二尺五寸 C三尺五寸 D四尺五寸 解析： 选 B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列an， 公差为 d， a115， a13135， 则 1512d135，解得 d10.所以 a2151025，所以小暑的晷
2、长是 25 寸故选 B. 2(2018 益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现 四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶 算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶 算法求多项式值的一个实例若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v 的 值为( ) A15 B16 C47 D48 解析：选 D.执行程序框图，n3，x3，v1，i20，v132 5，i10，v53116，i00，v163048，i10.05， 不满足条件，则 n20，b2.939，a1 220sin 360 20 3.090，此时|ab|0.1510.05， 不满足条
3、件，则 n40，b3.090，a1 240sin 360 40 3.128，此时|ab|0.0380.05， 满足条件，故输出的 n40.故选 B. 9我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积” 公式：设ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则ABC 的面积 S 1 4? ? ? ? c2a2? ? ? ? c2a2b2 2 2 .若 a2sin C4sin A，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求得 ABC 的面积为( ) A. 3 B2 C3 D. 6 解析：选 A.根据正弦定理，由 a2sin C4sin A，得 ac4.再结合(
4、ac)212b2，得 a2 c2b24，则 S 1 4? ? ? ? c2a2? ? ? ? c2a2b2 2 2 164 4 3，故选 A. 10中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述， 九章 算术注曰：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高乘之， 六而一”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘； 将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相 乘，再取其六分之一已知一个“刍童”的下底面是周长为 18 的矩形，上底面矩形的长为 3，宽为 2， “刍童”的高为 3，则该“刍童”的体积的
5、最大值为( ) A.39 2 B.75 2 C39 D.601 8 解析：选 B.设下底面的长为 x? ? ? ? 9 2x9 ，则下底面的宽为 182x 2 9x.由题可知上底面 矩形的长为 3，宽为 2， “刍童”的高为 3，所以其体积 V1 63(32x)2(2x3)(9 x)x217x 2 39 2 ，故当 x9 2时，体积取得最大值，最大值为? ? ? ? 9 2 2 9 2 17 2 39 2 75 2 . 故选 B. 11 (2018 昆明模拟)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献， 他在实践 的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”“幂
6、”是截 面面积， “势”是几何体的高意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则 这两个几何体的体积相等现在一旋转体 D(如图 1 所示)，它是由抛物线 yx2(x0)，直线 y4 及 y 轴围成的封闭图形绕 y 轴旋转一周形成的几何体，旋转体 D 的参照体的三视图如 图 2 所示，利用祖暅原理，则旋转体 D 的体积是( ) A.16 3 B6 C8 D16 解析：选 C.由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积 V1 2448，故旋转体 D 的体积为 8，故选 C. 12(2018 郑州第一次质量预测)刍甍，中国古代算数中的一种几何形体， 九章算术 中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有
7、袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面 有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图为一个刍 甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为( ) A24 B32 5 C64 D32 6 解析：选 B.由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中 S四边形ABEDS四边形ACFD， SABCSDEF.过点 A 向平面 BCFE 作垂线，垂足为 A，作 AMCF 于点 M，作 ANBC 于 点 N，连接 AN，易知 AA4，ANCM84 2 2，CN1 2BC2.在 RtAAN 中，AN AA2AN2 42222 5， 在 RtANC 中， AC
8、 CN2AN222（2 5）22 6， 在 RtAMC 中，AM AC2CM2（2 6）2222 5. 所以 S四边形ACFD1 2(48)2 512 5，SABC 1 2BCAN 1 242 54 5.所以 该茅草屋顶的面积为 212 524 532 5，故选 B. 二、填空题 13我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日， 长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第 1 天长高 3 尺，莞草第 1 天长高 1 尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的 2 倍问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第_天时，蒲
9、 草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 30.477 1，lg 20.301 0) 解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为 a13，公比为1 2的等比数列an，设其前 n 项 和为 An；莞草的长度组成首项为 b11，公比为 2 的等比数列bn，设其前 n 项和为 Bn.则 An 3? ? ? ? 1 1 2n 11 2 ，Bn2 n1 21 ，令 3? ? ? ? 1 1 2n 11 2 2 n1 21 ，化简得 2n 6 2n7(nN *)，解得 2n6，所 以 nlg 6 lg 21 lg 3 lg 23，即第 3 天时蒲草和莞草长度相等 答案：3 14我国
10、古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十 尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描 述，如图所示，则输出结果 n_ 解析：第一次循环，得 S2，否；第二次循环，得 n2，a1 2，A2，S 9 2，否；第 三次循环，得 n3，a1 4，A4，S 35 4 ，否；第四次循环，得 n4，a1 8，A8，S 135 8 10，是，输出的 n4. 答案：4 15(2018 广州调研)我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法中，用图的三角形 形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角”现将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换 成 0，得到图所示的由
11、数字 0 和 1 组成的三角形数表，由上往下数，记第 n 行各数字的和 为 Sn，如 S11，S22，S32，S44，?，则 S126_ 解析：题图中的三角形数表，从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，有 1 个 1，第 2 次全行的数都为 1 的是第 2 行，有 2 个 1，第 3 次全行的数都为 1 的是第 4 行， 有 4 个 1，依此类推，第 n 次全行的数都为 1 的是第 2n 1 行，有 2n 1个 1.第 1 行，1 个 1， 第 2 行，2 个 1，第 3 行，2 个 1，第 4 行，4 个 1；第 1 行 1 的个数是第 2 行 1 的个数的1 2， 第 2
12、 行与第 3 行 1 的个数相同，第 3 行 1 的个数是第 4 行 1 的个数的1 2；第 5 行，2 个 1，第 6 行，4 个 1，第 7 行，4 个 1，第 8 行，8 个 1；第 5 行 1 的个数是第 6 行 1 的个数的1 2，第 6 行与第 7 行 1 的个数相同，第 7 行 1 的个数是第 8 行 1 的个数的1 2.根据以上规律，当 n8 时，第 28 1行有 128 个 1，即 S 128128，第 127 行有 64 个 1，即 S12764，第 126 行有 64 个 1，即 S12664. 答案：64 16我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的
13、基础上，于五 世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”“势”是几何体 的高， “幂”是截面积意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立 方体体积相等现有下题：在 xOy 平面上，将两个半圆弧(x1)2y21(x1)和(x3)2y2 1(x3)、两条直线 y1 和 y1 围成的封闭图形记为 D，如图所示阴影部分记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ， 过(0，y)(|y|1)作 的水平截面， 所得截面面积为 4 1y2 8，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为_ 解析：根据提示，一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱平放，一个高为 2，底面积为 8 的长方体，这两个几何体与 放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相 等，故它们的体积相等，即 的体积为 122282216. 答案：2216
