1、 1以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档； 2以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档； 3向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现 1平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量 a(a0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 ，使 ba (2)平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a， 有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2，其中 e1，e2是一组基底 2平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a(x1，y1)，b(
2、x2，y2)，则 (1)ab?ab?x1y2x2y10 (2)ab?a b0?x1x2y1y20 3平面向量的三个性质 (1)若 a(x，y)，则|a| a a x2y2 (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB | （x2x1）2（y2y1）2 (3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21x22y22 4平面向量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点共线的充要条件是OP 1OA 2OB (其中 12 1) (2)三角形中线向量公式： 若 P 为OAB 的
3、边 AB 的中点， 则向量OP 与向量OA ， OB 的关系是OP 1 2(OA OB ) (3)三角形重心坐标的求法：G 为ABC 的重心?GA GB GC 0?G? ? ? ? xAxBxC 3 ，yAyByC 3 考向预测考向预测 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 热点热点题型题型 专题二专题二 第第 3 3 讲讲 平面平面向量向量 三角三角函数、函数、解三角形、平面向量解三角形、平面向量与与数列数列 热点一 平面向量的有关运算 【例 1】(1) (2018 大连八中)已知向量?1,1? ?a，?3,m?b，?aab，则? = （ ） A?2 B2 C?3 D3 (2)设 D，E 分别是
4、ABC 的边 AB，BC 上的点，AD1 2AB，BE 2 3BC若DE 1AB 2AC ( 1，2为实数)，则 12的值为_ 解析 (1) 向量?1,1? ?a，?3,m?b，?2,1m?ab， ?aab，1 21（1+m） ，m3 故选 C (2)DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3(AC AB)1 6AB 2 3AC ，DE 1AB 2AC ， 11 6，2 2 3，因此 12 1 2 答案 (1)C (2)1 2 探究提高 对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用其次运算过 程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系 【训练 1
5、】(2019 广州一模)已知?的边?上有一点? ?满足? ? = 4? ，则? 可表示为( ) A? ? = 1 4? ? + 3 4? ? B? ? = 3 4? ? + 1 4? ? C? ? = 4 5? ? + 1 5? ? D? ? = 1 5? ? + 4 5? ? 解析解析 由题意可知? ? = ? + ? = ? + 4 5? ? = ? + 4 5(? ? ? ? ) = ? = 1 5? ? + 4 5? ? ，故选 D 答案 D 热点二 平面向量的数量积 命题角度 1 平面向量数量积的运算 【例 21】 (1) (2019 株洲质检)在?中， 点?为斜边?的中点， |?|
6、 = 8， |?| = 6， 则? ? ? ? = （ ） A48 B40 C32 D16 (2)(2016 山东卷)已知非零向量 m， n 满足 4|m|3|n|， cos m， n 1 3 若 n(tmn)， 则实数 t 的值为 （ ） A4 B4 C9 4 D9 4 解析 (1)因为点?为斜边?的中点，所以? ? = 1 2(? ? + ? )， 所以 ? ? ? ? = 1 2(? ? + ? ) ? ? = 1 2? ? 2+ 1 2? ? ? ? ， 又?中? ?，所以? ? ? ? = 1 2? ? 2=1 2|? ? |2= 32， 故选 C (2)n(tmn)，n (tmn)
7、0，即 t m nn20，t|m|n|cosm，n|n|20，由已知得 t 3 4|n| 21 3|n| 2 0，解得 t4 答案 (1)C (2)B 探究提高 1求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 2进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量其次注意向量 夹角的大小，以及夹角 0，90，180三种特殊情形 3求两向量的夹角：cos a b |a| |b|，要注意 0， 4两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：ab?a b0?|ab|ab| 5求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a2
8、a a|a|2或|a| a a (2)|a b| （a b）2 a2 2a bb2 (3)若 a(x，y)，则|a| x2y2 【训练 2】(1)(2015 福建卷)已知AB AC，|AB|1 t，|AC |t，若点 P 是ABC 所在平面内的一点，且APAB |AB | 4AC |AC |，则PB PC的最大值等于（ ） A13 B15 C19 D21 (2) (2019 新泰一中)已知向量? 与? ? 的夹角为 120 ，且|? | = |? | = 2，那么? ? (2? ? ? )的值为（ ） A8 B6 C0 D4 解析 (1)建立如图所示坐标系，则 B? ? ? ? 1 t，0 ，
9、C(0，t)，AB ? ? ? ? 1 t，0 ，AC (0，t)， 则AP AB |AB | 4AC |AC |t? ? ? ? 1 t，0 4 t(0，t)(1，4)点 P(1，4)， 则PB PC ? ? ? ? 1 t1，4 (1，t4)17? ? ? ? 1 t4t 172 1 t4t13， 当且仅当 4t1 t，即 t 1 2时取等号，故PB PC的最大值为 13 (2)向量? 与? ? 的夹角为120，且|? | = |? | = 2，可得? ? ? = |? | ? |? | ? cos120 = 2 2 (?1 2) = ?2，即有 ? ? ? (2? ? ? ) = 2?
10、? ? ? ? 2= 2 (?2) ? 4 = ?8故选 A 答案 (1)A (2) A 热点三 平面向量与三角的交汇综合 【例 3】 (2017 郑州质检)已知向量 m(2sin x，cos2xsin2x)，n( 3cos x，1)，其中0?，x?R 若函数 f(x)m n 的最小正周期为 (1)求 的值； (2)在ABC 中，若 f(B)2，BC 3，sin B 3sin A，求BA BC的值 解 (1)f(x)m n2 3sin xcos xcos2xsin2x 3sin 2xcos 2x2sin? ? ? ? 2x 6 f(x)的最小正周期为 ， 2 2 T w ?0?，1? (2)设
11、ABC 中角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c f(B)2，2sin? ? ? ? 2B 6 2，即 sin? ? ? ? 2B 6 1，解得 B2 3 (B(0，) BC 3，a 3，sin B 3sin A，b 3a，b3 由正弦定理，有 3 sin A 3 sin 2 3 ，解得 sin A1 20A 3，A 6C 6，ca 3 BA BCcacos B 3 3cos 2 3 3 2 探究提高 1破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函 数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现
12、的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化 2这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解 【训练 3】(2018 天津七校)在平面直角坐标系?中，已知向量? = (cos?,sin?),? ? = (1,3),? (? 3 ,?) （1）若? ? ? ，求?的值； （2）若? 与? ? 的夹角为? 6，求cos?的值 解（1）? ? ? ，? ? ? = 0， 又? ? ? ? = cos? + 3sin? = 2(1 2cos? + 3 2 sin?) = 2cos(? ? ? 3) = 0， ? ?
13、? 3 = ? + ? 2 (? ?) ? (? 3 ,?)， ? = 5 6? （2）? ? ? ? = |? |? |cos? 6 = 1 2 3 2 = 3, 2cos(? ? ? 3) = 3，cos(? ? ? 3) = 3 2 ， ? (? 3 ,?) ? ? ? 3 (0, 2? 3 ) sin(? ? ? 3) = 1 2 cos? = cos(? ? ? 3) + ? 3 = cos(? ? ? 3)cos ? 3 ? sin(? ? ? 3)sin ? 3=0 1(2018 全国 I 卷)在?中，?为?边上的中线，?为?的中点，则? ? =（ ） A3 4? ? ? 1 4
14、? ? B1 4? ? ? 3 4? ? C3 4? ? + 1 4? ? D1 4? ? + 3 4? ? 【解题思路】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得? ? = 1 2? ? + 1 2? ? ，之后应用向量的加 法运算法则-三角形法则，得到? ? = ? + ? ，之后将其合并，得到? = 3 4? ? + 1 4? ? ，下一步应用相反 向量，求得? ? = 3 4? ? ? 1 4? ? ，从而求得结果 【答案】根据向量的运算法则，可得 ? ? = 1 2? ? + 1 2? ? = 1 2? ? + 1 4? ? = 1 2? ? + 1 4(? ? + ? ) = 1 2? ? + 1 4? ? + 1 4? ? = 3 4? ? + 1 4? ? ， 所以? ? = 3 4? ? ? 1 4? ? ，故选 A 2(2018 全国 II 卷)已知向量a，b满足1?a，1? ?a b，则?2?aab（ ） A4 B3 C2 D0 【解题思路】根据向量模的性质以及向量乘法得结果 【答案】因为? ? (2? ? ? ?
