1、 111111 1直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点； 2考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线 问题，多为选择题、填空题 1两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2的斜率 k1，k2存在，则 l1l2?k1k2，l1l2?k1k21若给出的直线方程中存在 字母系数，则要考虑斜率是否存在 2两个距离公式 (1)两平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 间的距离 d |C1C2| A2B2 (2)点(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C| A2
2、B2 3圆的方程 (1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为 r (2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为? ? ? ? D 2， E 2 ，半径为 r D2E24F 2 4直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：dr?相离 (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 来讨论位置关系：0?相交； 0?相切； 0，? 0是圆?:?2+ ?2= 1内一点，直线? + ? = 1， 热点热点题型题型 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题四专题四
3、 第第 1 1 讲讲 直线与直线与圆圆 解析几何解析几何 ? + ? = ?1，? ? ? = 1，? ? ? = ?1围成的四边形的面积为?，则下列说法正确的是（ ） A? 4 B? 4 C? 4 答案 A 探究提高 1求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2A2B10 建立方程求出参数的值后，要注意代入检 验，排除两条直线重合的可能性 2求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是 否符合题意 【训练 1】 (2017 贵阳质检)已知直线 l1： mxy10， l2： (m3)x2y10， 则“m1”是“l1l2”的( ) A充分不必要条件
4、 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 “l1l2”的充要条件是“m(m3)1 20?m1 或 m2”，因此“m1”是“l1l2”的充分不必 要条件 答案 A 热点二 圆的方程 【例 2】 (2019 江西名校联盟)已知点?(?2,?1)，?(1,3)，则以线段?为直径的圆的方程为（ ） A(? ? 1 2) 2 + (? + 1)2= 25 B(? + 1 2) 2 + (? ? 1)2= 25 C(? ? 1 2) 2 + (? + 1)2= 25 4 D(? + 1 2) 2 + (? ? 1)2= 25 4 解析 圆心为?的中点(? 1 2,1)，半径为(? 1
5、2 + 2)2+ (1 + 1)2= 5 2， 则以线段?为直径的圆的方程为(? + 1 2) 2 + (? ? 1)2= 25 4 答案 D 探究提高 1直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 2待定系数法求圆的方程 【训练 2】圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦的长为 2 3，则圆 C 的 标准方程为_ 解析 设圆心? ? ? ? a，a 2 (a0)，半径为 a 由勾股定理得( 3)2? ? ? ? a 2 2 a2，解得 a2 所以圆心为(2，1)，半径为 2， 所以圆 C 的标准方程为(x2)2(y1
6、)24 答案 (x2)2(y1)24 热点三 直线与圆的位置关系 【例 3】 (1) (2019 银川一中)已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点，且|? ? + ? | = |? ? ? |， 其中 O 为坐标原点，则实数 a 的值为（ ） A2 B 2 C2 D2 (2)(2017 菏泽二模)已知圆 C 的方程是 x2y28x2y80，直线 l：ya(x3)被圆 C 截得的弦长最短时， 直线 l 方程为_ 解析 (1) 由|? ? + ? | = |? ? ? |得|? + ? |2= |? ? ? |2，? ? ? = 0，? ? ， 三角形 AOB 为等腰直角三
7、角形，圆心到直线的距离为2，即|?| 2 = 2，a 2， 故选 B (2)圆 C 的标准方程为(x4)2(y1)29， 圆 C 的圆心 C(4，1)，半径 r3 又直线 l：ya(x3)过定点 P(3，0)， 则当直线 ya(x3)与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短 因此 a kCPa 10 431，a1 故所求直线 l 的方程为 y(x3)，即 xy30 答案 (1) B，(2)xy30 探究提高 1研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想 解题 2与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半弦长l 2，构
8、成直角三角形的 三边，利用其关系来处理 【训练 3】 (2016 江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2y212x14y60 0 及其上一点 A(2，4) (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且|BC|OA|，求直线 l 的方程； (3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TA TPTQ，求实数 t 的取值范围 解 (1)圆 M 的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心 M(6，7)，半径
9、r5， 由题意，设圆 N 的方程为(x6)2(yb)2b2(b0)， 且（66）2（b7）2b5 解得 b1，圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21 (2)kOA2，可设直线 l 的方程为 y2xm，即 2xym0 又|BC|OA| 22422 5， 由题意，圆 M 的圆心 M(6，7)到直线 l 的距离为 d52? ? ? ? |BC| 2 2 2552 5， 即 |2 67m| 22（1）22 5，解得 m5 或 m15 直线 l 的方程为 2xy50 或 2xy150 (3)由TA TPTQ，则四边形 AQPT 为平行四边形， 又P，Q 为圆 M 上的两点，|PQ|2r10 |TA|
10、PQ|10，即 （t2）24210， 解得 22 21t22 21 故所求 t 的范围为22 21，22 21 1(2016 全国卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a（ ） A4 3 B3 4 C 3 D2 【解题思路】 点到直线距离公式 d|Ax0By0C| A2B2 【答案】圆 x2y22x8y130 化为标准方程为(x1)2(y4)24，故圆心为(1，4) 由题意，得 d|a41| a21 1，解得 a4 3故选 A 2 (2018 全国 III 卷)直线? + ? + 2 = 0分别与?轴， ?轴交于?， ?两点， 点?在圆(? ? 2)2+
11、?2= 2上， 则 ?面 积的取值范围是（ ） A2 ， 6 B4 ， 8 C2 ， 32 D22 ， 32 【解题思路】先求出 A，B两点坐标得到|AB|，再计算圆心到直线距离，得到点 P到直线距离范围，由面积公 式计算即可 【答案】直线x + y + 2 = 0分别与x轴，y轴交于A，B两点， A(?2,0),B(0,?2),则|AB| = 22， 点 P 在圆（x ? 2） 2 + ?2= 2上，圆心为（2，0） ，则圆心到直线距离?1= |2+0+2| 2 = 22， 故点 P 到直线x + y + 2 = 0的距离?2的范围为2,32， 则?= 1 2 |?|?2= 2?2 2,6，
12、 故答案选 A 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题 3(2016 全国卷)设直线 yx2a 与圆 C：x2y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，则圆 C 的 面积为_ 【解题思路】 利用弦心距结合勾股定理求弦长列方程求半径 【答案】 圆 C 的标准方程为 x2(ya)2a22，圆心为 C(0，a)， 点 C 到直线 yx2a 的距离为 d|0a2a| 2 |a| 2 又由|AB|2 3，得? ? ? ? 2 3 2 2 ? ? ? ? |a| 2 2 a22，解得 a22，所以圆 C 的面积为 (a22)4故填 4 4(2018
13、 全国 I 卷)直线? = ? + 1与圆?2+ ?2+ 2? ? 3 = 0交于? ， ?两点，则|?| =_ 【解题思路】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距 离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长 经典常规题 限时训练限时训练 （45 分钟） 【答案】根据题意，圆的方程可化为?2+ (? + 1)2= 4， 所以圆的圆心为(0,?1)，且半径是 2， 根据点到直线的距离公式可以求得? = |0+1+1| 12+(?1)2 = 2， 结合圆中的特殊三角形，可知|?| = 24 ? 2 =
14、 22，故答案为22 点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦 心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果 1(2018 聊城一中)已知斜率为?的直线?平分圆?2+ ?2? 2? + 3? = 0且与曲线?2= ? 恰有一个公共点，则满 足条件的? 值有（ ）个 A1 B2 C3 D0 【解题思路】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的 个数，确定 k的值 【答案】圆?2+ ?2? 2? + 3? = 0的圆心为(1,? 3 2)，所以设直线为? + 3 2 = ?(? ? 1)
15、联立? + 3 2 = ?(? ? 1) ?2= ? ，得?2? ? ? ? ? 3 2 = 0 因为恰有一个公共点，所以? = 0或者 ? 0 1 ? 4?(? ? 3 2) = 0 ，解得? = ?35 4 综上可得，?的值有 3 个，故选 C 2过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ） A2xy50 B2xy70 Cx2y50 Dx2y70 【解题思路】过圆上一点作圆的切线有且只有一条 【答案】依题意知，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点 圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为1 2，所以切线的斜率 k2 故圆的切线方程为 y12(x3)，即 2xy70故选 B 3(2015 全国卷)已知三点 A(1，0)，B(0， 3)，C(2，
