1、 1.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最 值，并能解决简单的问题. 2. 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数 的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 1.导数的几何意义 函数 f(x) 在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率， 曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 kf(x0)， 相应的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0). 2.四个易误导数公式 (1)(sin x)cos x； (2)(cos x)s
2、in x； (3)(ax)axln a(a0，且 a1)； (4)(logax) 1 xln a(a0，且 a1，x0). 3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. f(x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)x3在(，)上单调递增，但 f(x)0. f(x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有 f(x)0 时，则 f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. 若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f(x)0 或 f(x)0，右侧 f(x)0， 则 f(x0)为函数 f(x)的极
3、小值. (2)设函数 yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则 f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处 取得. 5.利用导数研究函数的零点 考向预测考向预测 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 专题一专题一 第第 3 3 讲讲 导数与函数综合问题导数与函数综合问题 函数、导数与不等式函数、导数与不等式 函数的零点、方程的实根、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的 单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解. 6.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系
4、确定 其零点的个数即可.存在两个极值点 x1，x2且 x10 两个 f(x1)0 或者 f(x2)0 三个 f(x1)0 且 f(x2)0 a0 (f(x1)为极小值， f(x2)为极大值) 一个 f(x1)0 或 f(x2)0 两个 f(x1)0 或者 f(x2)0 三个 f(x1)0 且 f(x2)0 7.利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式. 若证明 f(x)g(x)对一切 xI 恒成立?I 是 f(x)g(x)的解集的子集?f(x)g(x)min0(xI). ?xI，使 f(x)g(x)成立?I 与 f(x)g(x)的解集的交集不是空集?f(x)g(x)max0(xI).
5、对?x1，x2I 使得 f(x1)g(x2)?f(x)maxg(x)min. 对?x1I，?x2I 使得 f(x1)g(x2)?f(x)ming(x)min. 热点一 利用导数研究函数的单调性 【例 1】 (2019 衡水中学)已知函数? ?lnf xxaxb?，, a b?R. （1）讨论? ?f x的单调性； （2）当0a ?, 1 x， 2 x为两个不相等的正数，证明： ? ? 12 12 12 2 f xf xxx xx ? ? ? . 解（1）函数? ?f x的定义域为?0,?，? ? 11ax fxa xx ? ? ?. 若0a ?，? ? 1 0 ax fx x ? ?，则? ?
6、f x在区间?0,?内为增函数； 若0a ?，令? ? 1 0 ax fx x ? ?，得 1 0x a ? ?. 则当 1 0,x a ? ? ? ? 时，? ?0fx?，? ?f x在区间 1 0, a ? ? ? ? 内为增函数； 热点题型热点题型 当 1 ,x a ? ? ? ? ? 时，? ?0fx?，? ?f x在区间 1 , a ? ? ? ? 内为减函数. （2）当0a ?时，? ?lnf xxb?.不妨设 12 0xx?，则原不等式等价于 1 12 1 2 2 1 1 ln 2 1 x xx x x x ? ? ? ， 令 1 2 x t x ?，则原不等式也等价于即? 4
7、ln20,1 1 tt t ? ? . 下面证明当?1x ?时， 4 ln20 1 x x ? ? 恒成立. 设? ? 4 ln2 1 h xx x ? ? ，则? ? ? ? ? 2 22 114 0 11 x h x x xx x ? ? ? ? ? ， 故? ?h x在区间?1,?内为增函数，? ? ?10h xh?，即 4 ln20 1 x x ? ? ， 所以 ? ? 12 12 12 2 f xf xxx xx ? ? ? . 探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式 f(x)0 或 f(x)0. (2)对 k 分类讨论不全，题目中已知 k0，对 k 分类
8、讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面. 【训练 1】 已知 aR，函数 f(x)(x2ax)ex(xR，e 为自然对数的底数). (1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调递增区间； (2)若函数 f(x)在(1，1)上单调递增，求 a 的取值范围； (3)函数 f(x)是否为 R 上的单调减函数？若是，求出 a 的取值范围，若不是，请说明理由. 解 (1)当 a2 时，f(x)(x22x) ex， 所以 f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex. 令 f(x)0，即(x22)ex0， 因为 ex0，所以x220，解得 2x 2. 所以函数 f(x)的单调递增区间是( 2， 2)
9、. (2)因为函数 f(x)在(1，1)上单调递增， 所以 f(x)0 对 x(1，1)都成立. 因为 f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex， 所以x2(a2)xaex0 对 x(1，1)都成立. 因为 ex0，所以x2(a2)xa0， 则 ax 22x x1 （x1） 21 x1 (x1) 1 x1对 x(1，1)都成立. 令 g(x)(x1) 1 x1，则 g(x)1 1 （x1）20. 所以 g(x)(x1) 1 x1在(1，1)上单调递增.所以 g(x)g(1)(11) 1 11 3 2. 所以 a 的取值范围是? ? ? ? 3 2， . (3)若函数 f(x)
10、在 R 上单调递减，则 f(x)0 对 xR 都成立，即x2(a2)xaex0 对 xR 都成立. 因为 ex0，所以 x2(a2)xa0 对 xR 都成立. 所以(a2)24a0，即 a240，这是不可能的. 故函数 f(x)不可能在 R 上单调递减. 热点二 利用导数研究函数的极值和最值 【例 2】 (2018 安阳调研)已知函数? ? 32 1 23 3 f xxxxa?的极大值为 2 （1）求实数a的值； （2）求? ?f x在?,1b b?上的最大值 解（1）依题意? ? 2 4331fxxxxx?， 所以? ?f x在?,1?和?3,?上单调递增，在?1,3上单调递减， 所以? ?
11、f x在1x ?处取得极大值，即? ? 1 1232 3 fa?，解得 2 3 a ? （2）由（1）知? ?f x在?,1?和?3,?上单调递增，在?1,3上单调递减， 当1 1b? ?，即0b ?时，? ?f x在?,1b b?上单调递增， 所以? ?f x在?,1b b?上的最大值为? 3 2 12 3 b f bb? 当11bb? ?，即01b?时，? ?f x在?,1b上单调递增，在?1,1b?上单调递减， ? ?f x在?,1b b?上的最大值为? ?12f? 当1b ?且13b? ?，即12b?时，? ?f x在?,1b b?上单调递减， 所以? ?f x在?,1b b?上的最大
12、值为? ? 3 2 2 23 33 b f bbb? 当31b?，即2b ?时，令? ?1f bf b?，得 933 6 b ? ?或 933 6 b ? ?（舍去） 当 933 2 6 b ? ?时，? ?f x在?,1b b?上的最大值为? ? 3 2 2 23 33 b f bbb? 当 933 6 b ? ?时，? ?f x在?,1b b?上的最大值为? 3 2 12 3 b f bb? 综上可知： 当0b ?或 933 6 b ? ?时，? ?f x在?,1b b?上的最大值为? 3 2 12 3 b f bb?； 当01b?时，? ?f x在?,1b b?上的最大值为(1)2f?；
13、 当 933 1 6 b ? ?时，? ?f x在?,1b b?上的最大值为? ? 3 2 2 23 33 b f bbb? 探究提高 1.求函数 f(x)的极值，则先求方程 f(x)0 的根，再检查 f(x)在方程根的左右附近函数值的符号. 2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f(x)0 根的大小或存在情况来求解. 3.求函数 f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值 进行比较得到函数的最值. 【训练 2】 (2017 郴州二模选编)已知函数 f(x)ax2(12a)xln x. (1)当 a0 时，求函数
14、f(x)的单调递增区间； (2)当 a0，因为 a0，x0，2ax1 x 0，x10，得 x1， f(x)的单调递增区间为(1，). (2)由(1)可得 f(x) 2a? ? ? ? x 1 2a （x1） x ， 因为 a1，即 1 20，因此 f(x)在? ? ? ? 1 2，1 上是增函数， f(x)的最小值为 f ? ? ? ? 1 2 1 2 3 4aln 2. 综上，函数 f(x)在区间? ? ? ? 1 2，1 上的最小值为：f(x)min ? ? ? ? ? 1 2 3 4aln 2，a0 且 c32 270，存在 x1(4，2)，x2? ? ? ? 2，2 3 ，x3? ?
15、? ? 2 3，0 ， 使得 f(x1)f(x2)f(x3)0. 由 f(x)的单调性知，当且仅当 c? ? ? ? 0，32 27 时，函数 f(x)x34x24xc 有三个不同零点. 热点四 利用导数求解不等式问题 【例 4】(2018 深圳期末)已知函数? ? 2 lnf xxxax?，a?R （）当3a ?时，求? ?f x的单调区间； （）若1x ?，? ?0f x ?，求a的取值范围 解： （1）? ?f x的定义域为?0,? ? 2 1231 23 xx fxx xx ? ?， 当 1 0 2 x?或1x ?时，? ?0fx?，当 1 1 2 x?时，? ?0fx?， ? ?f
16、x在 1 0, 2 ? ? ? 和?1,?上是增函数，在 1 ,1 2 ? ? ? 上是减函数， 1 0, 2 ? ? ? 和?1,?上是增区间， 1 ,1 2 ? ? ? 上是减区间 （2）由? ?0f x ?，得 2 lnxx a x ? ?在1x ?时恒成立， 令? ? 2 lnxx g x x ? ?，则? ? 2 2 1lnxx gx x ? ?， 令? ? 2 1lnh xxx? ?，则? ? 2 121 20 x h xx xx ? ?， ? ?h x在?1,?为增函数，? ? ?120h xh?， ? ?0g x?，? ?g x在?1,?为增函数， ? ? ?11g xg?，所
17、以1a ?，即实数a的取值范围为?,1? 探究提高 1.(1)涉及不等式证明或恒成立问题，常依据题目特征，恰当构建函数，利用导数研究函数性质，转 化为求函数的最值、极值问题，在转化过程中，一定要注意等价性. (2)对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进 行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化. 2.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即 f(x)g(a)对于 xD 恒成立，应求 f(x)的最小值；若存在 x D，使得 f(x)g(a)成立，应求 f(x)的最大值.应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍. 【训练 4】 (2017 石家庄调研)已知函数 f(x) ln x x1(x1). (1)判断函数 f(x)的单调性； (2)是
