1、专题三专题三 动点动点( (面面) )问题问题 第三板块第三板块 2021 内 容 索 引 01 02 03 解题策略指导解题策略指导 题型分类突破题型分类突破 素养训练提高素养训练提高 解题策略指导解题策略指导 T 题型概述题型概述 “动点型问题”是指图形中存在一个或多个动点,它们是在某条线段、射线 或弧线上运动的,从而引起另一图形的变化,从运动变化的角度来研究、探 索发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理,是一 类开放性题目.对考生的观察能力和创新能力要求较高,题目的难度一般比 较大,是安徽省中考试题的热点题型.预计这类题仍然是2021年中考的热点, 解决这类问题的关键
2、是动中求静,在变化中找到不变的性质是解决数学 “动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质. F 方法指导方法指导 1.有特殊位置点的动点问题:本类型问题中的动点往往和某些定点构成特殊的位 置关系,利用“三角形两边之和大于第三边”“两点之间线段最短”或“垂线段最短” 等知识进行解题. 2.几何图形中的动点问题:由动点引起某一线段长度变化(自变量),通过题目中提 供的其他条件表示出另一线段或某一图形面积,从而构建两者之间的函数关系, 再根据函数性质解题. 3.函数图象中的动点问题:动点在某一函数图象上,当点运动到某一特殊位置时, 某一线段长度或某一图形的面积达到最值,或与某
3、些点构成一个特殊的图形;解 题利用函数图象上点坐标的对应关系,用动点的坐标表示出要求图形的数量特 征(如线段的长度或图形面积),再利用函数性质或方程进行求解. 题型分类突破题型分类突破 类型一 有特殊位置点的动点问题 例1如图,在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=BC=2,点D是边AC的 中点,点E是斜边AB上的动点,将ADE沿DE所在的直线折叠得到A1DE. 连接A1B,当点E在边AB上移动时,求A1B的最小值. 分析 由图可知动点A1和定点B,D构成一个三角形,当点A1位于BD上时构成 一条线段,根据这种特殊位置关系可得A1BBD-A1D,在RtBCD中求出 BD的长,由折叠可得
4、A1D=AD=1,便可求出A1B的最小值. 解 如图,连接 BD,DE, 在 RtBCD 中, BD= 2+ 2= 5, 由折叠知A1DEADE, 所以 A1D=AD=1. 由 A1B+A1DBD,得 A1BBD-A1D= 5-1. 故 A1B 的最小值是 5-1. 类型二 图形中的动点问题 例2如图(1),已知正方形ABCD,E是线段BC上一点,N是线段 BC延长线上一点,以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG. 图(1) 图(2) (1)连接GD,求证:DG=BE; (2)连接FC,求FCN的度数; (3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形 ABCD,AB=m,BC=n(m
5、,n为常数),E是线段BC上一动点(不含端 点B,C),以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG,使顶点G恰 好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,FCN的大小是 否总保持不变?若FCN的大小不变,请用含m,n的代数式表 示tanFCN的值;若FCN的大小发生改变,请画图说明. (1)证明 四边形ABCD和四边形AEFG是正方形, AB=AD,AE=AG,BAD=EAG=90, BAE+EAD=DAG+EAD, BAE=DAG,BAEDAG.DG=BE. (2)解 作FHBN于点H, AEF=ABE=90, BAE+AEB=90,FEH+AEB=90,FEH=BAE, 又AE=EF,EH
6、F=EBA=90, EFHAEB,FH=BE,EH=AB=BC,CH=BE=FH, FCN=CFH= (180-FHC). FHC=90,FCN=45. 1 2 (3)解 当点E由B向C运动时,FCN的大小总保持不变,理由如下: 作FHBN于点H, 由已知可得EAG=BAD=AEF=90, 结合(1)(2)得FEH=BAE=DAG, 又G在射线CD上,GDA=EHF=EBA=90, EFHAGD,EFHAEB, EH=AD=BC=n,CH=BE, = = .tanFCN= = = , 当点 E 由 B 向 C运动时,FCN的大小总保持不变,tanFCN= . 类型三 函数图象中的动点问题 例3
7、(2016 安徽,22)如图,二次函数y=ax2+bx的 图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一 动点,横坐标为x(2x6),写出四边形OACB的 面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S 的最大值. 解 (1)将 A(2,4)与 B(6,0)代入 y=ax2+bx,得 4 + 2 = 4, 36 + 6 = 0,解得 = - 1 2 , = 3. (2)如图,过点 A作 x轴的垂线,垂足为 D(2,0),连接 CD,CB,过点 C作 CEAD,CF x轴,垂足分别为 E,F, SOAD=1 2OD AD= 1 2 2
8、4=4; SACD=1 2AD CE= 1 2 4 (x-2)=2x-4; SBCD=1 2BD CF= 1 2 4 - 1 2 2+ 3 =-x2+6x,则 S=SOAD+SACD+SBCD =4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,S 关于 x的函数表达式为 S=-x2+8x(2x6). S=-x2+8x=-(x-4)2+16, 当 x=4 时,四边形 OACB的面积 S有最大值,最大值为 16. 素养训练提高素养训练提高 1.(2020 江苏镇江)点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图 象上.则m-n的最大值为( ) A.15 4 B.4 C.-15 4 D.-1
9、7 4 答案 C 2.(2020 江苏宿迁)如图,在平面直角坐标系中,Q是 直线y=- x+2上的一个动点,将Q绕点P(1,0)顺时针 旋转90,得到点Q,连接OQ,则OQ的最小值为 ( ) A.4 5 5 B. 5 C.5 2 3 D.6 5 5 1 2 答案 B 3.(2020 湖北恩施州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为 对角线AC上一动点,则BFE周长的最小值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B 4.(2020 四川德阳)已知:等腰直角三角形ABC的腰长为4,点M在斜边AB上, 点P为该平面内一动点,且满足PC=2,则PM的最小值为( ) A.
10、2 B.2 2-2 C.2 2+2 D.2 2 答案 B 5.(2020 山东潍坊)如图,在RtAOB中,AOB=90,OA=3,OB=4,以点O为 圆心、2为半径的圆与OB交于点C,过点C作CDOB交AB于点D,点P是边 OA上的动点.当PC+PD最小时,OP的长为( ) A.1 2 B.3 4 C.1 D.3 2 答案 B 6.(2020 广西桂林)如图,在RtABC中,AB=AC=4,点E,F分别是AB,AC的中 点,点P是扇形AEF的 上任意一点,连接BP,CP,则 BP+CP的最小值是 _. 1 2 答案 17 7.(2020 湖南永州)AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示,且 A
11、OB=60,在AOB内有一点P(4,3),M,N分别是OA,OB边上的动点,连接 PM,PN,MN,则PMN周长的最小值是_. 答案 5 3 8.(2020 内蒙古鄂尔多斯)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,点D,E分别在边 BC,AC上,且BD=CE,连接AD,BE交于点F,连接CF,则CF的最小值是 _. 答案 2 3 9.(2020 内蒙古鄂尔多斯)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的 动点(不与点A重合),且AMAB,CBE由DAM平移得到,若过点E作 EHAC,H为垂足,则有以下结论: 点M位置变化,使得DHC=60时,2BE=DM; 无论点M运动到何处,都有DM= HM; 在点M的运动过程中,四边形CEMD可能成为菱形; 无论点M运动到何处,CHM一定大于135. 以上结论正确的有_(把所有正确结论的序号都填上). 2 答案
