1、1 专题练习专题练习 1 实数的相关概念与运算实数的相关概念与运算 基础夯实 1.(2020 浙江丽水)实数 3的相反数是( ) A.-3 B.3 C.- D. 2.(2020 四川乐山)数轴上点 A表示的数是-3,将点 A在数轴上平移 7个单位长度得到点 B.则点 B表示的数是( ) A.4 B.-4或 10 C.-10 D.4或-10 3.(2020 重庆 A卷)在今年举行的第 127届“广交会”上,有近 26 000家厂家进行“云端销 售”.其中数据 26 000用科学记数法表示为( ) A.26103 B.2.6103 C.2.6104 D.0.26105 4.(2020 浙江台州)计
2、算 1-3的结果是( ) A.2 B.-2 C.-4 D.4 5.(2020 浙江湖州)数 4的算术平方根是( ) A.2 B.-2 C.2 D. 6.(2020 福建)2020年 6月 9日,我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟 刷新了我国潜水器下潜深度的纪录,最大下潜深度达 10 907米.假设以马里亚纳海沟所在 海域的海平面为基准,记为 0米,高于马里亚纳海沟所在海域的海平面 100米的某地的高 度记为+100米,根据题意,“海斗一号”下潜至最大深度 10 907米处,该处的高度可记为 米. 7.(2020 浙江台州)计算:(-2 020)0+ -tan 45+|-3|.
3、8.(2020 新疆建设兵团)计算:(-1)2+|- |+(-3)0- . 2 基础夯实 9.(2020 贵州铜仁)实数 a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,下列结论正确的是( ) A.ab B.-a-b D.-ab 10.(2020 新疆建设兵团)如图,数轴上的点 A,B分别对应实数 a,b,则下列结论中正确的是 ( ) A.ab B.|a|b| C.-a0 11.(2020 四川攀枝花)实数 a,b在数轴上的位置如图所示,化简 - - 的结果是( ) A.-2 B.0 C.-2a D.2b 12.(2020 甘肃天水)计算:4sin 60-| -2|+2 0200- ( ) - . 13
4、.(2020 四川遂宁)计算: -2sin 30-|1- |+( ) - -(-2 020)0. 3 参考答案 专题练习 1 实数的相关概念与运算 1.A 解析 数 3的相反数是-3. 2.D 解析 点 A表示的数是-3,左移 7个单位长度,得-3-7=-10,点 A表示的数是-3,右移 7 个单位长度,得-3+7=4. 3.C 解析 26 000=2.6104. 4.B 解析 1-3=1+(-3)=-2.故选 B. 5.A 解析 2的平方为 4,4的算术平方根为 2.故选 A. 6.-10 907 解析 高于马里亚纳海沟所在海域的海平面 100米的某地的高度记为+100 米,“海斗一号”下潜
5、至最大深度 10 907米处,可记为-10 907. 7.解 原式=1+2-1+3=5. 8.解 原式=1+ +1-2= . 9.D 解析 根据数轴可得 a0,且|a|b|,则 ab,a-b. 10.B 解析 根据数轴,a0,且|a|b|, 则 ab,a+bb.故选 B. 11.A 解析 由数轴可知-2a-1,1b2, a+10,a-bb)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴) 剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则 中间空余的部分的面积是( ) A.ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.a2-b2 7.(2020 天津)计算 x+7x-5x的
6、结果为 . 8.(2020 四川泸州)若 xa-1y3与 x 4y3是同类项,则 a的值是 . 9.(2020 新疆建设兵团)分解因式 am2-an2= . 10.(2020 内蒙古通辽)如图,用大小相同的小正方形拼大正方形,拼第 1个大正方形需要 4 个小正方形,拼第 2个大正方形需要 9个小正方形按这样的方法拼成的第(n+1)个大 正方形比第 n个大正方形多 个小正方形. 5 11.(2020 浙江宁波)计算:(a+1)2+a(2-a). 12.(2020 浙江绍兴)计算:(x+y)2-x(x+2y). 13.(2020 北京)已知 5x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x
7、(x-2)的值. 基础夯实 14.(2020 浙江衢州)定义 ab=a(b+1),例如 23=2(3+1)=24=8,则(x-1)x的结果 为 . 15.(2020 四川内江)分解因式:b4-b2-12= 16.(2020 浙江嘉兴、舟山) 比较 x2+1与 2x的大小. (1)尝试(用“”填空): 当 x=1时,x2+1 2x; 当 x=0时,x2+1 2x; 6 当 x=-2时,x2+1 2x. (2)归纳:若 x取任意实数,x2+1与 2x有怎样的大小关系?试说明理由. 参考答案 专题练习 2 整式运算及因式分解 1.C 解析 2a2 3a4=6a6. 2.D 解析 2a=a+a,是 2
8、个数 a的和,故 A选项正确; 2a=2a,是 2和数 a的积,故 B选项正确; 2a是单项式,故 C选项正确; 当 a为无理数时,2a是无理数,不是偶数,故 D选项错误.故选 D. 3.B 解析 (a3)2 a2= a2= - =a4. 4.C 解析 (- ) (- ) (x2)3 y3=- x 6y3. 5.C 解析 a2-b2能运用平方差公式分解,故选 C. 6.C 解析 中间部分的四边形是正方形,边长是 a+b-2b=a-b,则面积是(a-b)2. 7.3x 解析 x+7x-5x=(1+7-5)x=3x. 8.5 解析 xa-1y3与 x 4y3是同类项, a-1=4,a=5. 9.a
9、(m+n)(m-n) 解析 原式=a(m2-n2)=a(m+n) (m-n). 10.2n+3 解析 第一个图形有 22=4个小正方形, 第二个图形有 32=9个小正方形, 第三个图形有 42=16个小正方形, 第 n个图形有(n+1)2个小正方形,第 n+1个图形有(n+2)2个小正方形. (n+2)2-(n+1)2=2n+3. 11.解 (a+1)2+a(2-a) =a2+2a+1+2a-a2=4a+1. 12.解 (x+y)2-x(x+2y) 7 =x2+2xy+y2-x2-2xy=y2. 13.解 原式=9x2-4+x2-2x =10 x2-2x-4. 5x2-x-1=0,5x2-x=
10、1, 10 x2-2x=2,原式=2-4=-2. 14.x2-1 解析 由题意(x-1)x=(x-1)(x+1)=x2-1. 15.(b2+3)(b+2)(b-2) 解析 b4-b2-12=(b2+3)(b2-4)=(b2+3)(b+2)(b-2). 16.解 (1)当 x=1时,x2+1=2x; 当 x=0时,x2+12x; 当 x=-2时,x2+12x. (2)x2+12x. 证明:x2+1-2x=(x-1)20, x2+12x. 专题练习专题练习 3 分式分式 基础夯实 1.(2020 贵州安顺)当 x=1时,下列分式没有意义的是( ) A. B. - C. - D. 2.(2020 河
11、北)若 ab,则下列分式化简正确的是 ( ) A. B. - - C. D. 3.(2020 浙江湖州)化简: = . 4.(2020 江苏南京)若式子 1- - 在实数范围内有意义,则 x的取值范围是 . 5.(2020 四川乐山)已知 y= ,且 xy,求 - - 的值. 8 6.(2020 广东深圳)先化简,再求值: - ( - - ),其中 a=2. 7.(2020 浙江衢州)先化简,再求值: - - ,其中 a=3. 8.(2020 甘肃天水)先化简,再求值: - - - ,其中 a= . 9 基础夯实 9.(2020 湖南娄底)先化简( - - ) - ,然后从-3,0,1,3中选
12、一个合适的数代入求值. 10.(2020 四川成都)先化简,再求值 1- - ,其中 x=3+ . 10 11.(2020 黑龙江鹤岗)先化简,再求值: 2- - - ,其中 x=3tan 30 -3. 12.(2020 辽宁抚顺、本溪、辽阳)先化简,再求值:( - - - ) - ,其中 x= -3. 13.(2020 青海)化简求值:( - - - ) - .其中 a 2-a-1=0. 11 14.(2020 黑龙江牡丹江、鸡西)先化简,再求值: - - ,其中 x=1-2tan 45 . 15.(2020 四川广元)先化简,再求值:( - - ) - ,其中 a是关于 x的方程 x 2-
13、2x-3=0 的根. 参考答案 专题练习 3 分式 1.B 解析 A. ,当 x=1时,分式有意义不合题意; B. - ,当 x=1时,x-1=0,分式无意义符合题意; C. - ,当 x=1时,分式有意义不合题意; D. ,当 x=1时,分式有意义不合题意,故选 B. 2.D 解析 ab, ,选项 A错误; - - ,选项 B错误; ,选项 C错误; 12 ,选项 D正确,故选 D. 3. 解析 . 4.x1 解析 若式子 1- - 在实数范围内有 意义,则 x-10,解得 x1. 5.解 原式= - - - - .y= ,原式= =1. 6.解 原式= - - - - = - - = -
14、- = - . 当 a=2时,原式= - =1. 7.解 原式= - (a-1)= - . 当 a=3时,原式= - . 8.解 原式= - - - = - - - - . 当 a= 时,原式= - - =1. 9.解 原式= - - - - - = - - - - - =- - - =-m-9. 分式的分母不能为 0, m0,m-30,m+30, m不能为-3,0,3, 则选 m=1代入得, 原式=-m-9=-1-9=-10. 13 10.解 原式= - =x-3. 将 x=3+ 代入得,x-3= . 11.解 原式=( - ) - = - - . 当 x=3tan 30 -3=3 -3=
15、-3时, 原式= - - - - =1- . 12.解 ( - - - ) - = - - = - - =x+3. 当 x= -3时,原式= -3+3= . 13.解 ( - - - ) - = - - - - = - - . a2-a-1=0,a2=a+1, 原式= =1. 14.解 - - = - - = - - - - - . 当 x=1-2tan 45 =-1时,原式= . 15.解 ( - - ) - = - - - - = - - =(a+1)2=a2+2a+1. 14 a是关于 x的方程 x2-2x-3=0的根, a2-2a-3=0,a=3或 a=-1, a2+a0,a-1,a=
16、3, 原式=9+6+1=16. 专题练习专题练习 4 二次根式二次根式 基础夯实 1.(2020 山东济宁)下列各式是最简二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 2.(2020 天津)计算( +1)( -1)的结果等于 . 3.(2020 贵州遵义)计算: 的结果是 . 4.(2020 湖北武汉)计算 - 的结果是 . 5.(2020 青海)对于任意不相等的两个实数 a,b(ab)定义一种新运算 ab= - ,如 3 2= - ,那么 124= . 6.(2020 浙江湖州)计算: +| -1|. 基础夯实 15 7.(2020 湖南邵阳)在如下表格中,若要使横、竖、斜对角的 3个实数相
17、乘都得到同样的 结果,则 2个空格的实数之积为 . 3 2 1 6 3 8.(2020 甘肃武威)已知 y= - -x+5,当分别取 1,2,3,2 020时,所对应 y 值的总和 是 . 9.(2019 江苏扬州)计算:( -2)2 018( +2)2 019的结果是 . 10.(2019 安徽长丰期末)若 m= - - +5,则 mn= . 11.(2020 山东临沂)计算:( - ) -sin 60 . 12.(2020春 安徽安庆怀宁期末)计算:9 -7 +5 . 16 13.(2019春 安徽芜湖期中)已知 x= ,y= - ,分别求下列代数式的值: (1)x2+y2; (2) .
18、参考答案 专题练习 4 二次根式 1.A 解析 是最简二次根式,故 A选项正确; =2 ,不是最简二次根式,故 B选项 错误; =|a|,不是最简二次根式,故 C选项错误; ,不是最简二次根式,故 D选项 错误,故选 A. 2.6 解析 原式=( )2-12=7-1=6. 3. 解析 =2 . 4.3 解析 - =|-3|=3. 5. 解析 124= - . 6.解 原式=2 -1=3 -1. 7.6 解析 由题意可知,第一行三个数的乘积为 3 2 =6 . 设第二行中间数为 x,则 1x6=6 ,解得 x= . 设第三行第一个数为 y,则 y3 =6 , 解得 y=2 . 经检验,x= ,y
19、=2 满足题目条件, 2个空格的实数之积为 xy=2 =6 . 8.2 032 解析 y= - -x+5=|x-4|-x+5. 当 x4时,y=4-x-x+5=9-2x; 当 x4时,y=x-4-x+5=1. 17 则所求的总和为(9-21)+(9-22)+(9-23)+1+1+1=7+5+3+12 017=2 032. 9. +2 解析 ( -2)2 018( +2)2 019=( -2)2 018( +2)2 018 ( +2)=( -2)( +2)2 018 ( +2)= +2. 10.25 11.解 ( - ) -sin 60 =(- ) = =- . 12.解 原式= 9 -14 +
20、20 =15 . 13.解 x= -1,y= +1,x+y=2 ,xy=1. (1)x2+y2=(x+y)2-2xy=(2 )2-2=6; (2) =6. 专题练习专题练习 5 一次方程一次方程(组组)及其应用及其应用 基础夯实 1.(2020 重庆 A卷)解一元一次方程 (x+1)=1- x时,去分母正确的是( ) A.3(x+1)=1-2x B.2(x+1)=1-3x C.2(x+1)=6-3x D.3(x+1)=6-2x 2.(2020 黑龙江大兴安岭)母亲节来临,小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支 2元,百合每支 3元.小明将 30元钱全部用于购买这两种花(两种花都买),小明
21、的购买方案 共有( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 3.(2020 浙江嘉兴、舟山)用加减消元法解二元一次方程组 , - 时,下列方法 中无法消元的是( ) A.2- B.(-3)- C.(-2)+ D.-3 18 4.(2020 黑龙江鹤岗)在抗击疫情网络知识竞赛中,为奖励成绩突出的学生,学校计划用 200元钱购买 A,B,C三种奖品,每种奖品至少买 1个,A种每个 10元,B种每个 20元,C种 每个 30元,在购买 C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下,有多少种购买方案( ) A.12种 B.15种 C.16种 D.14种 5.(2020 甘肃武威)暑假期间,某眼镜店开展学
22、生配镜优惠活动,某款式眼镜的广告如图,请 你为广告牌填上原价.原价: 元 原价: 元 暑假八折优惠,现价:160元 6.(2020 浙江绍兴)若关于 x,y的二元一次方程组 , 的解为 , ,则多项式 A可 以是 (写出一个即可). 7.(2020 甘肃天水)已知 a+2b= ,3a+4b= ,则 a+b的值为 . 8.(2020 四川攀枝花)课外活动中一些学生分组参加活动,原来每组 6人,后来重新编组,每 组 8人,这样就比原来减少 2组,问这些学生共有多少人? 基础夯实 9.(2020 四川泸州)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛,计划购买甲、乙两种奖品共 30件.其中甲种奖品每件 30
23、元,乙种奖品每件 20元. (1)如果购买甲、乙两种奖品共花费 800元,那么这两种奖品分别购买了多少件? (2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 3倍,如何购买甲、乙两种奖品,使得总 花费最少? 10.(2020 内蒙古包头)某商店销售 A,B两种商品,A种商品的销售单价比 B种商品的销售 单价少 40元,2件 A种商品和 3件 B种商品的销售总额为 820元. (1)求 A种商品和 B种商品的销售单价分别为多少元? (2)该商店计划购进 A,B两种商品共 60件,且 A,B两种商品的进价总额不超过 7 800元,已 知 A种商品和 B种商品的每件进价分别为 110元和 140元,应
24、如何进货才能使这两种商 品全部售出后总获利最多? 19 11.(2020 福建)某公司经营甲、乙两种特产,其中甲特产每吨成本价为 10万元,销售价为 10.5万元;乙特产每吨成本价为 1万元,销售价为 1.2万元.由于受有关条件限制,该公司每 月这两种特产的销售量之和是 100吨,且甲特产的销售量不超过 20吨. (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为 235 万元,问这个月该公司分别销售甲、 乙两种特产各多少吨? (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润. 12.(2020 贵州安顺)第 33个国际禁毒日到来之际,贵阳市策划了以“健康人生 绿色无毒” 为主题的禁毒宣传月
25、活动,某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后 与生活委员对话如下: (1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下,为什么说学习委员搞错了; (2)学习委员连忙拿出发票,发现的确错了,因为他还买了一本笔记本,但笔记本的单价已 模糊不清,只能辨认出单价是小于 10元的整数,那么笔记本的单价可能是多少元? 13.(2019 广东深圳)端午节前夕,某商铺用 620元购进 50个肉粽和 30个蜜枣粽,肉粽的进 货单价比蜜枣粽的进货单价多 6元. (1)肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元? 20 (2)由于粽子畅销,商铺决定再购进这两种粽子共 300个,其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量 的 2倍,
26、且每种粽子的进货单价保持不变,若肉粽的销售单价为 14元,蜜枣粽的销售单价 为 6元,试问第二批购进肉粽多少个时,全部售完后,第二批粽子获得利润最大?第二批粽 子的最大利润是多少元? 14.(2019 浙江湖州) 某企业承接了 27 000件产品的生产任务,计划安排甲、乙两个车间 的共 50名工人,合作生产 20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备,工人的工作效率 为:甲车间每人每天生产 25件,乙车间每人每天生产 30件. (1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产? (2)为了提前完成生产任务,该企业设计了两种方案: 方案一 甲车间租用先进生产设备,工人的工作效率可提高 20%,乙车间
27、维持不变. 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相同),甲车间维持不变. 设计的这两种方案,企业完成生产任务的时间相同. 求乙车间需临时招聘的工人数; 若甲车间租用设备的租金每天 900元,租用期间另需一次性支付运输等费用 1 500元; 乙车间需支付临时招聘的工人每人每天 200元.问:从新增加的费用考虑,应选择哪种方案 能更节省开支?请说明理由. 参考答案 专题练习 5 一次方程(组)及其应用 1.D 解析 方程两边都乘以 6,得 3(x+1)=6-2x,故选 D. 2.B 解析 设可以购买 x支康乃馨,y支百合, 21 依题意,得 2x+3y=30,y=10- x. x,
28、y均为正整数, , , , , , , , , 小明有 4种购买方案. 3.D 解析 A.2-可以消元 x,不符合题意;B.(-3)-可以消元 y,不符合题意;C. (-2)+可以消元 x,不符合题意;D.-3无法消元,符合题意.故选 D. 4.D 解析 设购买 A种奖品 m个,购买 B种奖品 n个,当 C种奖品个数为 1个时, 根据题意得 10m+20n+30=200, 整理得 m+2n=17,即 m= - . m,n都是正整数, n分别取 1,3,5,7,9,11,13,15; 当 C种奖品个数为 2个时, 根据题意得 10m+20n+60=200, 整理得 m+2n=14,即 m= -
29、. m,n都是正整数, n分别取 2,4,6,8,10,12. 有 8+6=14种购买方案. 5.200 解析 设原价为 x元,根据题意,得 0.8x=160,解得 x=200.所以原价为 200元. 6.解 关于 x,y的二元一次方程组 , 的解为 , , 而 1-1=0,多项式 A可以是 x-y答案不唯一. 7.1 解析 a+2b= ,3a+4b= ,-得,2a+2b=2,解得 a+b=1. 8.解 设这些学生共有 x人, 根据题意得 =2,解得 x=48. 答:这些学生共有 48人. 9.解 (1)设甲购买了 x件,乙购买了 y件,根据题意得, , ,解得 , 答:甲购买了 20件,乙购
30、买了 10件. 22 (2)设购买甲奖品 a件.则乙奖品为(30-a)件,根据题意可得 30-a3a,解得 a . 又因为甲种奖品每件 30元,乙种奖品每件 20元, 总花费=30a+20(30-a)=10a+600,总花费随 a的增大而增大, 所以当 a=8时,总花费最少. 答:购买甲奖品 8件,乙奖品 22件,总花费最少. 10.解 (1)设 A种商品和 B种商品的销售单价分别为 x元和 y元, 根据题意可得 - , ,解得 , , 答:A种商品和 B种商品的销售单价分别为 140元和 180元. (2)设购进 A商品 m件,则购进 B商品(60-m)件,根据题意可得 110m+140(6
31、0-m 7 800, 解得 m20. 令总利润为 w,则 w=140m+180(60-m)-110m+140(60-m)=-10m+2 400, -100,所以 w随着 m的增大而增大, 又因为 0m20, 所以当 m=20时,公司获得的总利润的最大值为 26万元. 答:该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为 26万元. 12.解 (1)设单价为 6元的钢笔买了 x支,则单价为 10元的钢笔买了(100-x)支,根据题意,得 6x+10(100-x)=1300-378,解得 x=19.5.因为钢笔的数量不可能是小数,所以学习委员搞错 了. (2)设笔记本的单价为 a元,根据题意,得 6
32、x+10(100-x)+a=1300-378, 23 整理,得 x= a+ . 0a10,x随 a的增大而增大,19.5x0,W随 t 的增大而增大. 由题意 t2 300-t),解得 t200. 当 t=200时,第二批粽子获得最大利润,最大利润 W=2200+600=1 000, 答:第二批购进肉粽 200个时,全部售完后,第二批粽子获得利润最大,最大利润为 1 000元. 14.解 (1)设甲车间有 x 名工人参与生产,乙车间各有 y名工人参与生产,由题意得 , ,解得 , 答:甲车间有 30名工人参与生产,乙车间各有 20名工人参与生产. (2)设方案二中乙车间需临时招聘 m名工人,由
33、题意得 = ,解得 m=5. 经检验,m=5是原方程的解,且符合题意. 答:乙车间需临时招聘 5名工人. 企业完成生产任务所需的时间为 =18(天). 选择方案一需增加的费用为 90018+1 500=17 700(元). 选择方案二需增加的费用为 518200=18 000(元). 17 7000)的一个根比另一个根 大 2,则 m的值为 . 7.(2020 四川内江)已知关于 x的一元二次方程(m-1)2x2+3mx+3=0有一个实数根为-1,则 该方程的另一个实数根为 . 基础夯实 8.(2020 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田)关于 x的方程 x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实
34、 数根 ,且 2+2=12,那么 m的值为( ) A.-1 B.-4 25 C.-4或 1 D.-1或 4 9.(2020 湖北随州)将关于 x的一元二次方程 x2-px+q=0变形为 x2=px-q,就可以将 x2表示 为关于 x的一次多项式,从而达到“降次”的目的,又如 x3=x x2=x(px-q)=,我们将这种方 法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”,已知:x2-x-1=0, 且 x0,则 x4-2x3+3x的值为( ) A.1- B.3- C.1+ D.3+ 10.(2020 安徽二模)某企业因生产转型,二月份产值比一月份下降了 20%,转型成功后产
35、 值呈现良好上升势头,四月份比一月份增长 15.2%,若三、四、五月份的增长率相同,则五 月份与一月份相比增长的百分数约为( ) A.32% B.34% C.36% D.38% 11.(2020 四川宜宾)一元二次方程 x2+2x-8=0的两根为 x1,x2,则 +2x1x2+ = . 12.(2020 四川乐山)已知 y0,且 x2-3xy-4y2=0,则 的值是 . 13.(2020 青海)在解一元二次方程 x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数 b,得到的解为 x1=2,x2=3;小刚看错了常数项 c,得到的解为 x1=1,x2=4.请你写出正确的一元二次方 程 . 14.(2020
36、 湖北孝感)已知关于 x的一元二次方程 x2-(2k+1)x+ k 2-2=0. (1)求证:无论 k为何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的两个实数根 x1,x2满足 x1-x2=3,求 k的值. 15.(2020 安徽阜阳期末)商场某种商品平均每天可销售 30件,每件盈利 50元,为了尽快减 少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调査发现,每件商品每降价 1元,商场平均每天 可多售出 2件. (1)若某天该商品每件降价 3元,当天可获利多少元? (2)设每件商品降价 x元,则商场日销售量增加 件,每件商品盈利 元(用含 x 的代数式表示); (3)在上述销售正常情况下,每件商品
37、降价多少元时,商场日盈利可达到 2 000元? 26 参考答案 专题练习 6 一元二次方程及其应用 1.A 解析 由 2x2-3x-1=0,得 2x2-3x=1, x2- x= ,x 2- x+( ) ( ) , ( - ) . 2.A 解析 =b2-4(-1)=b2+40,方程有两个不相等的实数根.故选 A. 3.C 解析 关于 x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数),x2+x-2-p2=0, =1+8+4p2=9+4p20,方程有两个不相等的实数根.两个的积为-2-p2, 一个正根,一个负根,故选 C. 4.B 解析 把 x=1代入(m-2)x2+4x-m2=0得 m-2+4-m2
38、=0,即-m2+m+2=0, 解得:m1=2,m2=-1. (m-2)x2+4x-m2=0是一元二次方程, m-20 ,m2,m=-1. 5.k-1 解析 由题意知,=b2-4ac=22-41(-k)=4+4k0,解得:k0), 因式分解,得(x-3m)(x-m)=0, x-3m=0或 x-m=0, 解得 x1=3m,x2=m.3m-m=2, 解得 m=1. 7.- 解析 把 x=-1代入(m-1)2x2+3mx+3=0得 m2-5m+4=0, 解得 m1=1,m2=4, (m-1)20,m1. m=4.方程为 9x2+12x+3=0. 设另一个根为 a,则-a= . 27 a=- . 8.A
39、 解析 方程 x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根 , +=- - =-2m+2, = - =m2-m, 2+2=(+)2-2,2+2=12, (-2m+2)2-2(m2-m)=12, 整理得,m2-3m-4=0, 解得,m1=-1,m2=3. 若使 x2+2(m-1)x+m2-m=0有实数根,则2(m-1)2-4(m2-m 0, 解得,m1,所以 m=-1,故选 A. 9.C 解析 x2-x-1=0,x2=x+1,x= - - - , x4-2x3+3x=(x+1)2-2x(x+1)+3x =x2+2x+1-2x2-2x+3x=-x2+3x+1 =-(x+1)+3x+1=2x. x
40、= ,且 x0,x= , 原式=2 =1+ ,故选 C. 10.D 解析 设一月份产值为 a,从三月份开始,每月的增长率为 x,由题意得 a(1- 20%)(1+x)2=(1+15.2%)a,解得 x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去) 所以 - 100 38 . 故选 D. 11.- 解析 x2+2x-8=0, a=1,b=2,c=-8, x1+x2=- =-2,x1 x2= =-8, +2x1x2+ +2x1x2, = - +2x1x2, = - - - - +2(-8)=- . 28 12.4或-1 解析 y0,将 x2-3xy-4y2=0两边同除以 y2得( ) -4=
41、0.令 t= , 则 t2-3t-4=0,因式分解得(t-4)(t+1)=0,解得 t=4或 t=-1, 即 的值是 4或-1. 13.x2-5x+6=0 解析 将 x1=2,x2=3代入一元二次方程 x2+bx+c=0得 , , 解得 - , 小明看错了一次项,c=6. 将 x1=1,x2=4代入一元二次方程 x2+bx+c=0得 , , 解得 - , 小刚看错了常数项,b=-5, 一元二次方程为 x2-5x+6=0. 14.解 (1)证明:由题意,得 =(2k+1)2-4( - )=2k2+4k+9 =2(k+1)2+7, 无论 k为何实数,2(k+1)20, =2(k+1)2+70, 无
42、论 k为何实数,方程总有两个不相等的实数根. (2)由一元二次方程根与系数的关系得: x1+x2=2k+1,x1x2= k 2-2, x1-x2=3,(x1-x2)2=9, (x1+x2)2-4x1x2=9, (2k+1)2-4( - )=9, 化简得:k2+2k=0,解得 k=0,或 k=-2. 15.解 (1)当天盈利(50-3)(30+23)=1 692(元). 答:若某天该商品每件降价 3元,当天可获利 1 692元. (2)每件商品每降价 1元,商场平均每天可多售出 2件, 设每件商品降价 x元,则商场日销售量增加 2x件,每件商品,盈利(50-x)元. (3)根据题意,得(50-x)(30+2x)=2 000, 29 整理,得 x2-35x+250=0, 解得 x1=10,x2=25. 商城要尽快减少库存, x=25. 答:每件商品降价 25元时,商场日盈利可达到 2 000元. 专题练习专题练习 7 分式方程及其应用分式方程及其应用 基础夯实 1.(2020 四川自贡)某工程队承接了 80万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实 际工作时每天的工作效率比原计划提高了 35%,结果提前 40天完成了这一任务.设实际 工作时每天绿化的面积为 x万平方米,则下面所列方程中正确的是 ( ) A. =40 B. =40 C. =4
