1、专题六专题六 函数应用题函数应用题 第三板块第三板块 2021 内 容 索 引 01 02 03 解题策略指导解题策略指导 题型分类突破题型分类突破 素养训练提高素养训练提高 解题策略指导解题策略指导 T 题型概述题型概述 函数作为初中数学最基本、最核心的内容之一,一直是中考命题的重要考 点,函数的应用与现实生活联系紧密,既能有效考查函数的基础知识、基本 技能、基本思想方法,又能考查同学们探索创新能力和实践能力,所以一直 以来是安徽省中考命题的热点,每年必考,甚至一份试卷多次考查.题型以 解答题为主,试题背景鲜活,问题设置巧妙,难度大.安徽中考已经连续2年在 22题设置函数综合应用题,2021
2、年中考中函数应用题出现的可能性仍然较 大. F 方法指导方法指导 1.理解自变量和函数的实际意义,是解题的出发点,尤其是没有直接给出自 变量时,一定理解实际问题找准自变量. 2.理清自变量和函数之间的对应关系,求出函数解析式,这一步是解题的关 键.若给出的问题比较复杂,可以借助图形或表格帮助分析(如复杂的行程 问题一般借助线段图,复杂的最优化问题一般借助表格). 3.利用函数性质解决问题时,一定要注意自变量的取值范围,特别提醒的是: 随自变量取值范围的改变,对应关系也发生改变的要分类讨论. 题型分类突破题型分类突破 类型一 实际生活中的函数应用 例1(2019 安徽二十所名校模拟)随着近几年城
3、市建设的快速发展,合肥市对花木 的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资15万元种植花卉和树木.根据市场调 查与预测,种植树木的利润y1(单位:万元)与投资量x(单位:万元)成正比例关系,如 图所示;种植花卉的利润y2(单位:万元)与投资量x(单位:万元)的函数关系如图 所示(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点;ABx轴). (1)求出种植树木的利润y1和花卉的利润y2关于投资量x的函数关系式; (2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润(单位:万元)关于投入种植 花卉的资金t(单位:万元)之间的函数关系式; (3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时,才能使获取的利润最大, 最大利润
4、是多少? 分析 (1)设y1=kx,由图可知,直线y1=kx经过(1,2),于是得到结论;从y2(单位: 万元)与投资量x(单位:万元)的函数关系图可知,当0 x5时y2与x的关系 式图象为二次函数图象的一部分,当x5时,y2=25,故应分两种情况; (2)根据(1)中所求关系式及共投资15万元,列出关于,t的函数关系式; (3)由(2)中,t的关系式求出的最大值即可. 解 (1)设y1=kx,由图可知,直线y1=kx经过(1,2),k=2,种植树木的利润 y1关于投资量x的函数关系式为y1=2x;由函数图象可知,当x5时,y2与x的关 系式图象为抛物线的一部分,设此抛物线的表达式为:y=a(
5、x-5)2+25,把(0,0) 代入表达式得,0=25a+25(x5).解得a=-1.故函数表达式为 y2= -(-5) 2 + 25( 5), 25( 5). (2)因为投入种植花卉t万元,则投入种植树木(15-t)万元.当t5时,y1=2(15- t),y2=-(t-5)2+25,则=-(t-5)2+25+2(15-t)=-t2+8t+30;当5t15时,y1=2(15- t),y2=25,则=55-2t.总利润(单位:万元)关于投入种植花卉的资金t (3)当t5时,=-t2+8t+30,根据二次函数的性质,当t=- =4时,取得最 大值,最大值=-42+84+30=-16+32+30=4
6、6;当5t15时,-20,随t的 增大而减小,当t=5时,最大=45,4546,当投入种植花卉的资金为4万 元时,才能取得最大利润,最大利润是46万元. (单位:万元)之间的函数关系式为 = - 2 + 8 + 30( 5), 55-2(5 0,每件的售价为18万元,每件的成本y(单位:万元)是基础价与浮动 价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(单位:件)成反比,经市场调研 发现,月需求量x与月份n(n为整数,1n12)符合关系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k为常 数),且得到了表中的数据. 月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 10
7、0 (1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元; (2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损; (3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m. 解 (1)由题意,设 y=a+ ,由表中数据可得 11 = + 120 , 12 = + 100 , 解得 = 6, = 600, y=6+600 .由题意,若 12=18- 6+600 ,则600 =0,x0,600 0, 不能. (2)将 n=1,x=120代入 x=2n2-2kn+9(k+3),得 120=2-2k+9k+27,解得 k=13, x=2n2-26n+144,将 n=2,x=1
8、00代入 x=2n2-26n+144也符合,k=13; 由题意,得 18=6+600 ,解得 x=50,50=2n2-26n+144,即 n2-13n+47=0, =(-13)2-4 1 470,方程无实数根,不存在某个月既无盈利也无亏损. (3)第 m 个月的利润为 W,W=x(18-y)=18x-x 6+600 =12(x-50)=24(m2-13m+47), 第(m+1)个月的利润为W=24(m+1)2-13(m+1)+47=24(m2-11m+35),若 WW,W-W=48(6-m),m取最小1,W-W取得最大值240;若WW, W-W=48(m-6),由m+112知m取最大11,W-
9、W取得最大值240. m=1或11. 类型三 由函数产生新函数的应用 例3(2013 安徽,22)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营, 了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如表所示. (1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件; (2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式; (3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大的利润是多少? 销售量 p(件) p=50-x 销售单价 q(元/件) 当 1x20时,q=30+1 2x 当 21x40时,q=20+525 x 解 (1)当 1x20 时,令 30+1 2x=35,得 x=10,当 21x
10、40 时,令 20+ 525 =35, 得 x=35,即第 10 天或者第 35 天该商品的销售单价为 35 元/件. (2)当 1x20 时,y= 30 + 1 2 -20 (50-x) =-1 2x 2+15x+500, 当 21x40 时,y= 20 + 525 -20 (50-x)=26 250 -525,即 y= - 1 2 2+ 15 + 500(1 20), 26 250 -525(21 40). (3)当 1x20时,y=-1 2x 2+15x+500=-1 2(x-15) 2+612.5,-1 20,26 250 随 x 的增大而减小, 当 x=21时,26 250 最大,
11、于是,当 x=21 时,y=26 250 -525有最大值 y2,且 y2=26 250 21 -525=725,y1y2, 这 40天中第 21天时该网店获得利润最大,最大利润为 725元. 类型四 球类运动中的函数应用 例4(2017 安徽名校模拟卷)如图,某足球运动 员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5 m 的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞 行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间 满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8 s时,离地面的高度为3.5 m. (1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少? (2)若足球飞行的水平距离x(
12、单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系 x=10t,已知球门的高度为2.44 m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距 离为28 m,他能否将球直接射入球门? 解 (1)由题意得,函数 y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5),(0.8,3.5), 0.5 = , 3.5 = 0.64 + 4 + ,解得 = - 25 16 , = 1 2 , 抛物线的解析式为 y=-25 16t 2+5t+1 2=- 25 16 - 8 5 2 + 9 2, 当 t=8 5时,y 最大=9 2.答:足球飞行的时间是 8 5 s时,足球离地面最高, 最大高度是9 2 m. (2)把 x=
13、28代入 x=10t,得 28=10t,t=2.8, 当 t=2.8时,y=-25 16 2.8 2+5 2.8+1 2=2.252.44,他能将球直接射入球门. 素养训练提高素养训练提高 1.(2020 吉林长春)已知A,B两地之间有一条长240 千米的公路.甲车从A地出发匀速开往B地,甲车出 发两小时后,乙车从B地出发匀速开往A地,两车同 时到达各自的目的地.两车行驶的路程之和y(单位: 千米)与甲车行驶的时间x(单位:时)之间的函数关 系如图所示. (1)甲车的速度为_千米/时,a的值为_; (2)求乙车出发后,y与x之间的函数关系式; (3)当甲、乙两车相距100千米时,求甲车行驶的时
14、间. 解 (1)由题意可知,甲车的速度为:80 2=40(千米/时).a=240+240=480, 故答案为:40;480. (2)设 y与 x之间的函数关系式为 y=kx+b,函数图象经过(2,80),(6,480), 2 + = 80, 6 + = 480,解得 = 100, = -120, y与 x之间的函数关系式为 y=100 x-120(2x6). (3)两车相遇前:80+100(x-2)=240-100,解得 x=13 5 ;两车相遇后:80+100(x-2) =240+100,解得 x=23 5 .答:当甲、乙两车相距 100千米时,甲车行驶的时间是 13 5 小时或23 5 小
15、时. 2.(2020 辽宁朝阳)某公司销售一种商品,成本为每件30元,经过市场调查发 现,该商品的日销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)是一次函数关系,其 销售单价、日销售量的三组对应数值如下表: (1)直接写出y与x的关系式_; (2)求公司销售该商品获得的最大日利润; (3)销售一段时间以后,由于某种原因,该商品每件成本增加了10元,若物价 部门规定该商品销售单价不能超过a元,在日销售量y(单位:件)与销售单价 x(单位:元)保持(1)中函数关系不变的情况下,该商品的日销售最大利润是1 500元,求a的值. 销售单价x(元) 40 60 80 日销售量y(件) 80 60 40 (
16、2)设公司销售该商品获得的日利润为w元,w=(x-30)y=(x-30)(-x+120) =-x2+150 x-3 600=-(x-75)2+2 025,x-300,-x+1200,30 x120, a=-10,抛物线开口向下,函数有最大值,当x=75时,w最大=2 025. 答:当销售单价是75元时,最大日利润是2 025元. (3)w=(x-30-10)(-x+120)=-x2+160 x-4 800=-(x-80)2+1 600,当w最大=1 500时, -(x-80)2+1 600=1 500,解得x1=70,x2=90,40 xa,有两种情况,a80时, 在对称轴左侧,w随x的增大而
17、增大,当x=a=70时,w最大=1 500,a80时,在 40 xa范围内w最大=1 6001 500,这种情况不成立,a=70. 解 (1)设表达式为 y=kx+b,将(40,80)和(60,60)代入,可得 40 + = 80, 60 + = 60,解得 = -1, = 120,所以 y与 x的关系式为 y=-x+120,故答案为:y=-x+120. 3.(2020 云南)众志成城抗疫情,全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20 辆,运送260吨物资到A地和B地,支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资,每辆 小货车装10吨物资,这20辆货车恰好装完这批物资.已知这两种货车的运费如下
18、表: 现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资) 中的10辆前往A地,其余前往B地,设前往A地的大货车有x辆,这20辆货车的总运费 为y元. (1)这20辆货车中,大货车、小货车各有多少辆? (2)求y与x的函数解析式,并直接写出x的取值范围; (3)若运往A地的物资不少于140吨,求总运费y的最小值. 目的地车型 A地(元/辆) B地(元/辆) 大货车 900 1 000 小货车 500 700 解 (1)设大货车、小货车各有 x与 y 辆,由题意可知 15 + 10 = 260, + = 20, 解得 = 12, = 8. 答:大货车有 12辆小货车有
19、 8辆. (2)设到A地的大货车有x辆,则到A地的小货车有(10-x)辆,到B地的大货车有 (12-x)辆,到B地的小货车有(x-2)辆, y=900 x+500(10-x)+1 000(12-x)+700(x-2)=100 x+15 600,其中2x10. (3)运往A地的物资共有15x+10(10-x)吨,15x+10(10-x)140,解 得:x8,8x10,当x=8时,y有最小值,此时y=1008+15 600=16 400元. 答:总运费最小值为16 400元. 4.(2020 山东滨州)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售 价为50元/千克,则一个月可售出500千克
20、;若售价在50元/千克的基础上每涨 价1元,则月销售量就减少10千克. (1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克? (2)当月利润为8 750元时,每千克水果售价为多少元? (3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大? 解 (1)当售价为55元/千克时,每月销售水果=500-10(55-50)=450千克. (2)设每千克水果售价为x元,由题意可得8 750=(x-40)500-10(x-50), 解得x1=65,x2=75,答:每千克水果售价为65元或75元. (3)设每千克水果售价为m元,获得的月利润为y元, 由题意可得y=(m-40)500-10(m-50)=-10(m
21、-70)2+9 000,当m=70时,y有最 大值为9 000元.答:当每千克水果售价为70元时,获得的月利润最大值为 9 000元. 5.(2020 云南昆明)为了做好校园疫情防控工作,校医每 天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒,她完成 3间办公室和2间教室的药物喷洒要19 min;完成2间办 公室和1间教室的药物喷洒要11 min. (1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多 少时间? (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(单位:mg/m3)与时间x(单位:min)的函 数关系如图所示:校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x,药物喷洒完成 后y与x成反比例函数关系
22、,两个函数图象的交点为A(m,n).当教室空气中的药物 浓度不高于1 mg/m3时,对人体健康无危害,校医依次对一班至十一班教室(共11 间)进行药物喷洒消毒,当她把最后一间教室药物喷洒完成后,一班学生能否进入 教室?请通过计算说明. 解 (1)设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要 x min 和 y min,则 3 + 2 = 19, 2 + = 11, 解得 = 3, = 5.故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒 各要 3 min 和 5 min. (2)一间教室的药物喷洒时间为 5 min,则 11 个房间需要 55 min,当 x=5 时,y=2x=10,故点 A(5,10),
23、设反比例函数表达式为 y= ,将点 A 的坐标代入上 式并解得 k=50,故反比例函数表达式为 y=50 ,当 x=55 时,y=50 551,故一班学生 能安全进入教室. 6.(2020 浙江嘉兴)在篮球比赛中,东东投出的球在点A处反弹,反弹后球运 动的路线为抛物线的一部分(如图1所示建立直角坐标系),抛物线顶点为点 B. (1)求该抛物线的函数表达式. (2)当球运动到点C时被东东抢到,CDx轴于点D,CD=2.6 m. 求OD的长. 东东抢到球后,因遭对方防守无法投篮,他在点D处垂直起跳传球,想将球沿直 线快速传给队友华华,目标为华华的接球点E(4,1.3).东东起跳后所持球离地面高 度
24、h1(单位:m)(传球前)与东东起跳后时间t(单位:s)满足函数关系式h1=-2(t- 0.5)2+2.7(0t1);小戴在点F(1.5,0)处拦截,他比东东晚0.3 s垂直起跳,其拦截高 度h2(单位:m)与东东起跳后时间t(单位:s)的函数关系如图2所示(其中两条抛物线 的形状相同).东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E?若能,东东应在起跳 后什么时间范围内传球?若不能,请说明理由(直线传球过程中球运动时间忽略不 计). 解 (1)设y=a(x-0.4)2+3.32(a0),把x=0,y=3代入,解得 a=-2,抛物线的函数表达式为y=-2(x-0.4)2+3.32. (2)把y=2.
25、6代入y=-2(x-0.4)2+3.32,化简得 (x-0.4)2=0.36,解得x1=-0.2(舍去),x2=1,OD=1 m. 东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E. 由图1可得,当0t0.3时,h2=2.2. 当0.3t1.3时,h2=-2(t-0.8)2+2.7. 图1 当h1-h2=0时,t=0.65,东东在点D跳起传球与小戴 在点F处拦截的示意图如图2,设MD=h1,NF=h2, 当点M,N,E三点共线时,过点E作EGMD于点G, 交NF于点H,过点N作NPMD于点P, MDNF,PNEG,M=HEN, MNP=NEH,MPNNHE, 图2 = ,PN=0.5,HE=2.5,NH
26、=5MP. ()当 0t0.3时,MP=-2(t-0.5)2+2.7-2.2=-2(t-0.5)2+0.5,NH=2.2-1.3=0.9. 5-2(t-0.5)2+0.5=0.9,整理得(t-0.5)2=0.16,解得 t1= 9 10(舍去),t2= 1 10, 当 0t0.3时,MP随 t 的增大而增大, 1 10t 3 10. ()当 0.3t0.65时,MP=MD-NF=-2(t-0.5)2+2.7-2(t-0.8)2+2.7 =-1.2t+0.78,NH=NF-HF=-2(t-0.8)2+2.7-1.3=-2(t-0.8)2+1.4, -2(t-0.8)2+1.4=5 (-1.2t+0.78),整理得 t2-4.6t+1.89=0,解得,t1=23+2 85 10 (舍去),t2=23-2 85 10 ,当 0.3t0.65时,MP随 t 的增大而减小, 3 10t 23-2 85 10 . ()当 0.65t1时,h1h2,不可能. 综上所述,东东在起跳后传球的时间范围为 1 10t 23-2 85 10 .
