1、专题四专题四 规律探索题规律探索题 第三板块第三板块 2021 内 容 索 引 01 02 03 解题策略指导解题策略指导 题型分类突破题型分类突破 素养训练提高素养训练提高 解题策略指导解题策略指导 T 题型概述题型概述 规律探索型问题也是归纳猜想型问题,是指根据已知条件或题干所提供的 若干特例,通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对象所具有的规律性 的一类问题.规律探索型问题体现了“由特殊到一般”的数学思想方法,规律 探索型问题大致可分为数式类规律探索问题、图形类规律探索问题和直 角坐标系下的点坐标变化规律类问题,是中考的热点题型,考查同学们创新 能力.考查的题型既有选择题、填空题,也有
2、解答题,安徽中考连续多年都 有考查,预计这类问题仍然是2021年中考的热点. F 方法指导方法指导 解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的 观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并猜想出一般性的结论,然后 再给出合理的证明或加以运用. 1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.寻找题目中呈现规律一般有三 种主要途径: (1)式与数的特征观察. (2)图形的结构观察. (3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况. 2.规律探究的基本原则: (1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积找积的规 律. (2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先
3、找3个,发现规律,再验证并运 用规律. 题型分类突破题型分类突破 类型一 数式的变化规律 例1(2020 安徽,18)观察以下等式: 第 1个等式:1 3 1+ 2 1 =2-1 1, 第 2个等式:3 4 1+ 2 2 =2-1 2, 第 3个等式:5 5 1+ 2 3 =2-1 3, 第 4个等式:7 6 1+ 2 4 =2-1 4, 第 5个等式:9 7 1+ 2 5 =2-1 5, 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式:_; (2)写出你猜想的第n个等式:_(用含n的等式表示),并证明. 解 (1)第 6个等式:11 8 1+2 6 =2-1 6; (2)猜想的第 n个等
4、式:2-1 +2 1+2 =2-1 . 证明: 左边=2-1 +2 +2 = 2-1 =2-1 =右边,等式成立. 分析 (1)根据题目中前5个等式,可以发现式子的变化特点,从而可以写出 第6个等式; (2)把上面发现的规律用字母n表示出来,并运用分式的混合运算法则计算 等号的右边的值,进而得到左右相等便可. 例 2(2019 安徽,18)观察以下等式: 第 1个等式:2 1 = 1 1 + 1 1, 第 2个等式:2 3 = 1 2 + 1 6, 第 3个等式:2 5 = 1 3 + 1 15, 第 4 个等式:2 7 = 1 4 + 1 28, 第 5 个等式:2 9 = 1 5 + 1
5、45, 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式:_; (2)写出你猜想的第n个等式:_(用含n的等式表示),并证明. 分析 (1)根据已知等式即可得; (2)根据已知等式得出规律 2 2-1 = 1 + 1 (2-1),再利用分式的混合运算法则 验证即可. 解 (1)第 6 个等式为: 2 11 = 1 6 + 1 66. (2) 2 2-1 = 1 + 1 (2-1) 证明:右边=1 + 1 (2-1) = 2-1+1 (2-1) = 2 2-1=左边.等式成立. 类型二 图形的变化规律 例3(2016 安徽,18)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空: (2)观察下图,根据(
6、1)中结论,计算图 中黑球的个数,用含n的代数式填空: 1+3+5+(2n-1)+( )+ (2n-1)+5+3+1=_. 分析 (1)根据1+3+5+7=16可得出16=42;设第n幅图中球的个数为an,列出 部分an的值,根据数据的变化找出规律“an-1=1+3+5+(2n-1)=n2”,依此规 律即可解决问题; (2)观察(1)可将(2)图中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行, 再结合(1)的规律即可得出结论. 解析 (1)1+3+5+7=16=42, 设第n幅图中球的个数为an,观察,发现规律: a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=
7、42,故an-1=1+3+5+ +(2n-1)=n2. (2)观察图形发现: 图中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,即1+3+5+ (2n-1)+2(n+1)-1+(2n-1)+5+3+1=1+3+5+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1) +5+3+1=an-1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1. 答案 (1)4 n2 (2)2n+1 2n2+2n+1 例4(2012 安徽,17)在由mn(mn1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的 一条对角线所穿过的小正方形个数f, (1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并
8、完成下表: m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 4 7 3 5 7 猜想:当m,n互质时,在mn的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m,n的关系式是_(不需要证明); (2)当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立. 分析 (1)通过题中所给网格图形,先计算出25,34,对角线所穿过的小正方形 个数f,再对照表中数值归纳f与m,n的关系式. (2)根据题意,画出当m,n不互质时,结论不成立的反例即可. 解 (1)如表: f=m+n-1. (2)当m,n不互质时,上述结论不成立,如图. m n m+n f 1 2 3 2 1 3
9、4 3 2 3 5 4 3 4 7 6 2 5 7 6 24 类型三 直角坐标系下点的坐标变化规律 例5(2013 安徽,18)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基 本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点,将此基本图不断复制并 平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图2,图3, (1)观察以上图形并完成下表: 猜想:在图n中,特征点的个数为_(用n表示); 图形的名称 基本图的个数 特征点的个数 图1 1 7 图2 2 12 图3 3 17 图4 4 _ (2)如图,将图n放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐 标为(x1,2),则x1=_;图2 013
10、的对称中心的横坐标为 _. 分析 (1)观察图形,结合已知条件,得出将基本图每复制并平移一次,特征点 增加5个,由此得出图4中特征点的个数为17+5=22个,进一步猜想出:在图n 中,特征点的个数为:7+5(n-1)=5n+2. (2)过点O1作O1My轴于点M,根据正六边形、等腰三角形的性质得出 BO1M=30,再由余弦函数的定义求出O1M= ,即x1= ;然后结合图 形分别得出图2、图3、图4的对称中心的横坐标,找到规律,进而得出图 2013的对称中心的横坐标. 3 3 解析 (1)由题意,可知图1中特征点有7个; 图2中特征点有12个,12=7+51; 图3中特征点有17个,17=7+5
11、2; 图4中特征点有7+53=22个; 由以上猜想:在图n中,特征点的个数为:7+5(n-1)=5n+2. (2)如图,过点O1作O1My轴于点M, 正六边形的中心角360 6 =60,O1C=O1B=O1A=2,BO1M=30. O1M=O1B cosBO1M=2 3 2 = 3.x1= 3.由题意,可得题图 2的对称中 心的横坐标为 3 + 3=2 3, 图 3的对称中心的横坐标为 3+2 3=3 3, 图 4的对称中心的横坐标为 3+3 3=4 3, 图 2 013的对称中心的横坐标为 3+2 012 3=2 013 3. 答案 (1)22 5n+2 (2) 3 2 013 3 素养训练
12、提高素养训练提高 1.(2020 湖北十堰)根据图中数字的规律,若第n个图中出现数字396,则 n=( ) A.17 B.18 C.19 D.20 答案 B 2.(2020 云南)按一定规律排列的单项式:a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,第n个单 项式是( ) A.(-2)n-1a B.(-2)na C.2n-1a D.2na 答案 A A.22 021 3 B.22 020 3 C.22 019 3 D.22 018 3 3.(2020 辽宁鞍山)如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,A4,在x轴正半轴 上,点B1,B2,B3,在直线y= x(x0)上,若A1(1,0),且
13、A1B1A2,A2B2A3, A3B3A4,均为等边三角形,则线段B2 019B2 020的长度为( ) 3 3 答案 D 4.(2020 湖北鄂州)如图,点 A1,A2,A3在反比例函数 y=1 (x0)的图象上,点 B1,B2,B3,Bn在 y 轴上,且B1OA1=B2B1A2=B3B2A3=,直线 y=x与 双曲线 y=1 交于点 A1,B1A1OA1,B2A2B1A2,B3A3B2A3,则 Bn(n为正 整数)的坐标是( ) A.(2 ,0) B.(0, 2+1) C.(0, 2(-1) D.(0,2 ) 答案 D 5.(2020 海南)海南黎锦有着悠久的历史,已被列入世界非物质文化遗
14、产名 录.如图是黎锦上的图案,每个图案都是由相同菱形构成的,若按照第1个图 至第4个图中的规律编织图案,则第5个图中有_个菱形,第n个 图中有_个菱形(用含n的代数式表示). 答案 41 2n2-2n+1 6.(2020 青海)观察下列各式的规律: 13-22=3-4=-1;24-32=8-9=-1;35-42=15-16=-1. 请按以上规律写出第4个算式_. 用含有字母的式子表示第n个算式为_. 答案 46-52=24-25=-1 n(n+2)-(n+1)2=-1 7.(2020 湖南张家界)观察下面的变化规律: 2 13=1- 1 3 , 2 35 = 1 3 1 5 , 2 57 =
15、1 5 1 7 , 2 79 = 1 7 1 9, 根据上面的规律计算: 2 13 + 2 35 + 2 57+ 2 2 0192 021=_. 答案 2 020 2 021 8.(2020 辽宁丹东)如图,在矩形OAA1B 中,OA=3,AA1=2,连接OA1,以OA1为边,作矩形 OA1A2B1使A1A2= OA1,连接OA2交A1B于点C; 以OA2为边,作矩形OA2A3B2,使A2A3= OA2,连接 OA3交A2B1于点C1;以OA3为边,作矩形OA3A4B3, 使A3A4= OA3,连接OA4交A3B2于点C2;按照 这个规律进行下去,则C2 019C2 020A2 022的面积
16、为_. 2 3 2 3 2 3 答案 132 021 34 03936 9.(2020 安徽滁州南谯二模)观察以下等式: 第1个等式:52-22=37, 第2个等式:72-42=311, 第3个等式:92-62=315, 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式和第n个等式; (2)证明你写的第n个等式的正确性. (1)解 第6个等式:152-122=327; 第n个等式:(2n+3)2-(2n)2=3(4n+3). (2)证明 第n个等式的左边=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3)=右边.所以第n 个等式正确. 10.(2020 安徽模拟)观察以下等式: 第 1 个
17、等式:3 1 1 2 = 3 1 3 2, 第 2 个等式:4 2 1 3 = 4 2 4 3, 第 3 个等式:5 3 1 4 = 5 3 5 4, 第 4 个等式:6 4 1 5 = 6 4 6 5, 第 5 个等式:7 5 1 6 = 7 5 7 6, 按照以上规律,解决下列问题 (1)写出第6个等式 _; (2)写出你猜想的第n个等式 _(用含n的等式表 示),并证明. (1)解 第 6 个等式:8 6 1 7 = 8 6 8 7. (2)证明 猜想的第 n 个等式+2 1 +1 = +2 +2 +1. +2 1 +1 = +2 +1- +1 = +2 (1- +1)= +2 +2 +
18、1 = +2 +2 +1,故等 式成立. 11.(2019 安徽合肥模拟)图1是由 若干个小圆圈堆成的一个形如等 边三角形的图案,最上面一层有一 个圆圈,以下各层均比上一层多一 个圆圈,一共堆了n层.将图1倒置后 与原图1拼成图2的形状,这样我们 可以算出图1中所有圆圈的个数为 1+2+3+n= .如果图3和 图4中的圆圈各有13层. n(n + 1) 2 (1)我们自上往下,在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数 1,2,3,4,则最底层最左边这个圆圈中的数是_; (2)我们自上往下,在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数-23,-22, -21,-20,求最底层最右边圆圈内的数是_; (3)求图4中所有圆圈中各数值的绝对值之和.(写出计算过程) 解 (1)当有13层时,图3中到第12层共有:1+2+3+11+12=78个圆圈,最底 层最左边这个圆圈中的数是78+1=79. (2)图4中所有圆圈中共有1+2+3+13= =91个数,最底层最右边圆 圈内的数是-23+91-1=67. (3)图4中共有91个数,其中23个负数,1个0,67个正数,所以图4中所有圆圈中 各数的和为:|-23|+|-22|+|-1|+0+1+2+67 =(1+2+3+23)+(1+2+3+67)=276+2 278=2 554. 13 14 2
