1、课时作业课时作业 12 二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质 基础夯实 1.(2020 广东深圳)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列说法错误的是( ) A.abc0 B.4ac-b20 D.ax2+bx+c=n+1无实数根 2.(2020 贵州安顺)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于 x 的方程 ax2+bx+c+m=0(m0)有两个根,其中一个根是 3.则关于 x的方程 ax2+bx+c+n=0(0nm)有两个整数 根,则这两个整数根是( ) A.-2或 0 B.-4或 2 C.-5或 3 D.-6或 4 3.(202
2、0 四川泸州)已知二次函数 y=x2-2bx+2b2-4c(其中 x是自变量)的图象经过不同的两点 A(1- b,m),B(2b+c,m),且该二次函数的图象与 x轴有公共点,则 b+c的值为( ) A.-1 B.2 C.3 D.4 4.(2020 浙江温州)已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线 y=-3x2-12x+m 上的点,则( ) A.y3y2y1 B.y3y1y2 C.y2y3y1 D.y1y3y2 5.(2020 浙江杭州)在平面直角坐标系中,已知函数 y1=x2+ax+1,y2=x2+bx+2,y3=x2+cx+4,其中 a,b,c 是 正实数,且满足 b2=
3、ac.设函数 y1,y2,y3的图象与 x 轴的交点个数分别为 M1,M2,M3,下列说法中正确的是 ( ) A.若 M1=2,M2=2,则 M3=0 B.若 M1=1,M2=0,则 M3=0 C.若 M1=0,M2=2,则 M3=0 D.若 M1=0,M2=0,则 M3=0 6.(2020 黑龙江牡丹江、鸡西)将抛物线 y=(x-1)2-5 关于 y轴对称,再向右平移 3个单位长度后顶点的 坐标是 . 7.(2020 浙江温州) 已知抛物线 y=ax2+bx+1经过点(1,-2),(-2,13). (1)求 a,b 的值; (2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且 y2=1
4、2-y1,求 m 的值. 8. (2020 黑龙江牡丹江、鸡西)已知抛物线 y=a(x-2)2+c经过点 A(-2,0)和点 C 0, ,与 x 轴交于另一点 B,顶点为 D. (1)求抛物线的解析式,并写出顶点 D 的坐标; (2)如图,点 E,F分别在线段 AB,BD 上(点 E 不与点 A,B重合),且DEF=DAB,DE=EF,求线段 BE 的 长. 基础夯实 9.(2020 湖南衡阳)在平面直角坐标系 xOy中,关于 x的二次函数 y=x2+px+q 的图象过点(-1,0),(2,0). (1)求这个二次函数的表达式; (2)求当-2x1 时,y的最大值与最小值的差; (3)一次函数
5、 y=(2-m)x+2-m 的图象与二次函数 y=x2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a和 b,且 a30)上任意两点,其 中 x13,都有 y1y2,求 t的取值范围. 13. (2020 甘肃武威)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx-2交 x轴于 A,B两点,交 y 轴于点 C,且 OA=2OC=8OB,点 P是第三象限内抛物线上的一动点. (1)求此抛物线的表达式; (2)若 PCAB,求点 P 的坐标; (3)连接 AC,求PAC面积的最大值及此时点 P的坐标. 14. (2020 陕西)如图,抛物线 y=x2+bx+c 经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐
6、标轴的交点分别为 A,B,C,它的对称 轴为直线 l. (1)求该抛物线的表达式; (2)P 是该抛物线上的点,过点 P 作 l的垂线,垂足为 D,E是 l上的点.要使以 P,D,E为顶点的三角形与 AOC 全等,求满足条件的点 P,点 E 的坐标. 参考答案 课时作业 12 二次函数的图象及性质 1.B 解析 由图象可知二次函数对称轴为 x=-1,则根据对称性可得函数与 x轴的另一交点坐标为 (1,0),代入解析式 y=ax2+bx+c 可得 b=2a,c=-3a,其中 a0,b0,3a+c=0,abc0;二次函数与 x轴有两个交点,=b2-4ac0,故 B项错误;D项可理解为二次函数与直线
7、 y=n+1无交点,显然成 立.综上,此题选 B. 2.B 解析 二次函数 y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,即方程 ax2+bx+c=0的两个根是- 3和 1.ax2+bx+c+m=0可以看成二次函数 y的图象沿着 y轴向上平移 m个单位长度,得到一个根 3,由于二次函数对称轴不变,可得另一个根为-5.由于 0nm,可知方程 ax2+bx+c+n=0的两根范 围在-5-3和 13,由此判断 B符合该范围. 3.C 解析 二次函数 y=x2-2bx+2b2-4c的图象经过点 A(1-b,m),B(2b+c,m), 对称轴 x= - ,即 x= .对称轴 x=b, =b
8、,化简得 c=b-1. 该二次函数的图象与 x 轴有公共点,=(-2b)2-4(2b2-4c)=-4b2+16c=-4b2+16(b-1)=-4(b-2)20, b=2,c=1,b+c=3,故选 C. 4.B 解析 抛物线 y=-3x2-12x+m的对称轴为 x= - )=-2. -30,当 x-2时,y随 x的增大而减小. 又(-3,y1)比(1,y3)距离对称轴较近, y3y1y2,故选 B. 5.B 解析 选项 B正确. 理由:M1=1,M2=0,a2-4=0,b2-80. a,b,c是正实数,a=2. b2=ac,c= b 2.对于 y 3=x 2+cx+4, 则有 =c2-16= b
9、 4-16= (b 4-64)= (b 2+8)(b2-8)0,化简得 m2-10m+250, 即(m-5)20,解得 m5. a,b为方程(x+1)x-(4-m)=0的两个解. 又a33,m1. 综上,m的取值范围为 m1. 10.解 (1)根据题意得- - , - ,解得 , 故抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3. (2)二次函数 y=-x2+2x+3的对称轴是 x=(-1+3) 2=1.当 x=0时,y=3, 则 C(0,3),点 C关于对称轴的对称点 P1(2,3). 设直线 BC的解析式为 y=kx+3,则 3k+3=0,解得 k=-1, 则直线 BC的解析式为 y=-x+3.
10、设与 BC平行的直线 AP2的解析式为 y=-x+m,则 1+m=0,解得 m=-1. 则与 BC平行的直线 AP2的解析式为 y=-x-1. 联立抛物线解析式得 - - , - , 解得 , - , - , (舍去) P2(4,-5). 综上,点 P的坐标为(2,3)或(4,-5). 11.解 (1) 抛物线 y=-x2+bx+5的对称轴为直线 x=- - ) , 若过点 C的直线 x=2是抛物线的对称轴, 则 =2,解得 b=4, y=-x2+4x+5. 存在,如图,若点 P在 x轴上方,点 B关于 OP对称的点 B在对称轴上,连接 OB,PB, 则 OB=OB,PB=PB.,对于 y=-
11、x2+4x+5,令 y=0,则-x2+4x+5=0. 解得 x1=-1,x2=5,A(-1,0),B(5,0), OB=OB=5, CB= - - , B(2, ).设点 P(2,m), 由 PB=PB可得 -m= - ) ,解得 m= , P( , ).同理,当点 P在 x轴下方时,P( ,- ). 综上,点 P的坐标为( , )或( ,- ). (2)抛物线 y=-x2+bx+5的对称轴为直线 x=- - ) , 当 b4时,x= 2. 抛物线开口向下,在对称轴左边,y随 x的增大而增大, 当 0 x2时,取 x=2,y有最大值, 即 y=-4+2b+5=2b+1. 32b+115,解得
12、1b7, 又b4,4b7. 12.解 (1)当 x=0时,y=c, 即抛物线必过(0,c), y1=y2=c,抛物线的对称轴为直线 x=1, 点 M,N关于直线 x=1对称,又x10,抛物线开口向上. 抛物线的对称轴为 x=t,x1x2, 情况 1:当 x1,x2都位于对称轴右侧时, 即当 x1t 时,y1y2恒成立; 情况 2:当 x1,x2都位于对称轴左侧时, 即 x1t,x2t时,y1y2恒不成立; 情况 3:当 x1,x2位于对称轴两侧时, 即当 x1t 时,要使 y1y2,必有|x1-t|x2-t|,即(x1-t)22t,32t,t . 综上,t . 13.解 (1)在抛物线 y=a
13、x2+bx-2中,令 x=0,则 y=-2, 点 C的坐标为(0,-2),OC=2. OA=2OC=8OB,OA=4,OB= . 点 A为(-4,0),点 B为( , ). 把点 A,B代入解析式,得 - - , - ,解得 , , y=x2+ x-2. (2)由题意,PCAB,点 C为(0,-2), 点 P的纵坐标为-2. 令 y=-2,则 x2+ x-2=-2, 解得 x1=- ,x2=0(舍去), 点 P的坐标为(- ,- ). (3)设直线 AC的解析式为 y=mx+n,则 把点 A,C代入,得 - , - , 解得 - , - , , 直线 AC的解析式为 y=- x-2. 过点 P
14、作 PDy轴,交 AC于点 D,如图: 设点 P 为( , - ),则点 D为( ,- - ), PD=- x-2-( - )=-x2-4x. OA=4, SAPC= PD OA= (-x 2-4x)4= -2x2-8x. SAPC=-2(x+2)2+8, 当 x=-2时,SAPC取最大值 8. x2+ x-2=(-2) 2+ (-2)-2=-5, 点 P的坐标为(-2,-5). 14.解 (1)将点(3,12)和(-2,-3)代入抛物线表达式得 , - - , 解得 , - , 故抛物线的表达式为 y=x2+2x-3. (2)抛物线的对称轴为 x=-1,令 y=0, 则 x=-3或 1,令 x=0,则 y=-3. 故点 A,B的坐标分别为(-3,0),(1,0);点 C(0,-3),故 OA=OC=3. PDE=AOC=90 , 当 PD=DE=3时,以 P,D,E为顶点的三角形与AOC全等. 设点 P(m,n),当点 P在抛物线对称轴右侧时,m-(-1)=3,解得 m=2, 故 n=22+22-5=5,故点 P(2,5), 故点 E(-1,2)或(-1,8); 当点 P在抛物线对称轴的左侧时,由抛物线的对称性可得,点 P(-4,5),此时点 E坐标同上. 综上,点 P的坐标为(2,5)或(-4,5);点 E的坐标为(-1,2)或(-1,8).
