1、 第一章第一章 解三角形解三角形 1.2 应用举应用举例例 第三课时第三课时 三角形中的计算问题三角形中的计算问题 课前预习目标课前预习目标 课堂互动探究课堂互动探究 自自 学学 导导 引引 1.掌握三角形的面积公式 2会用正弦、余弦定理计算三角形中的一些量. 课课 前前 热热 身身 1.在ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb， hc，那么容易证明： ha_， hb_， hc_. 2根据三角形的面积公式S 1 2 ah，应用以上高的公式ha bsinC，可以推导出下面的三角形的面积公式：S _. 同理：S_. S_. 1.bsinC csinB csinA asinC asin
2、B bsinA 自 我 校 对 2.1 2absinC 1 2bcsinA 1 2casinB 名名 师师 讲讲 解解 怎样解决三角形中的计算问题 (1)解决三角形中计算问题的关键是转化为求三角形中的 边或角，再分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些 元素通常情况下，求线段的长转化为求三角形的边长，求角 的大小转化为求三角形的角的大小 (2)对于既可用正弦定理又可用余弦定理解的三角形，用正 弦定理计算相对简单，但要根据已知条件中边的大小来确定角 的大小，此时，若选择用正弦定理去计算较小的边所对的角， 可避开分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的 正负直接判断出所求角是锐角还是钝
3、角，但计算复杂，所以， 在使用正、余弦定理解三角形时，要注意比较它们的异同点， 灵活选用定理解题利用正、余弦定理不仅能求角的函数值， 反过来，还能求角的大小 (3)解三角形广泛应用于各种平面图形，如菱形、梯形、平 行四边形、扇形及一些不规则图形，处理时，要通过添加适当 的辅助线，将问题纳入到三角形中去解决以三角形为载体借 助正、余弦定理还可以解决三角函数的求值问题 课堂互动探究课堂互动探究 剖析归纳剖析归纳 触类旁通触类旁通 有关三角形的边、角问题 一 【例1】 已知ABC的周长为2 1，且sinAsinB2 sinC. (1)求边AB的长； (2)若ABC的面积为1 6sinC，求角C的度数
4、 典典 例例 剖剖 析析 【分析】 (1)由sinAsinB 2sinC及正弦定理，可得a b 2c，abc 21，所以可求得c. (2)由三角形面积公式 1 2 absinC 1 6 sinC，可得ab 1 3 ，再由 余弦定理可求C. 【解】 (1)由题意及正弦定理，可得 ABBCAC 21， BCAC 2AB. 两式相减，得AB1. (2)由ABC的面积1 2BC ACsinC 1 6sinC，得 BC AC1 3， 由余弦定理，得 cosCAC 2BC2AB2 2AC BC ACBC 22AC BCAB2 2AC BC 22 31 2 3 1 2. C60 . 有关三角形面积问题 二
5、【例2】 在ABC中，BC5，AC4，cosCAD 31 32 ， 且ADBD.求ABC的面积 【分析】 由CAD的余弦，我们想到在CAD中利用余 弦定理求出CD的长，然后再利用正弦定理求出角C的正弦值， 根据三角形的面积公式SCAB 1 2 BCACsinC求出三角形面 积 【解】 设CDx，则ADBD5x， 在CAD中，由余弦定理，可知 cosCAD5x 242x2 245x 31 32，解得x1. 在CAD中，由正弦定理，可知 AD sinC CD sinCAD， sinCAD CD 1cos 2CAD 4 1 31 32 23 8 7. SCAB 1 2AC BC sinC 1 245
6、 3 8 7 15 4 7，即ABC 的面积为15 4 7. 规律技巧 本题求三角形面积易考虑用1 2底高，但高不 易求解，应灵活应用三角形面积公式若已知两边及它们夹 角，则用S1 2absinC，或S 1 2acsinB或S 1 2bcsinA. 易易 错错 探探 究究 在ABC中，若B30 ，AB23 ，AC2，求ABC的 面积 【错解】 AB2 3，AC2，B30 ， 根据正弦定理，有sinCAB sinB AC 3 2 ， C60 ，A90 . 故ABC的面积为S1 2AB ACsinA2 3. 【错因分析】 原因是忽略了隐含条件，0 CAC， CB，则C有两解，即C60 ，或120
7、. (1)当C60 时，A90 ， 此时S1 2AB AC sinA2 3. (2)当C120 时，A30 ， 此时S1 2AB AC sinA 1 22 32 sin30 3. 随 堂 训 练 1.在ABC中，a2 ，A45 ，则ABC外接圆的半径R 等于( ) A1 B2 C4 D2 2 解析 由正弦定理，知2R a sinA 2 sin45 2.R1. 答案 A 2已知锐角ABC的面积为33，BC4，CA3，则角C 的大小为( ) A75 B60 C45 D30 解析 依题意，得1 243sinC3 3，sinC 3 2 . C为锐角，C60 . 答案 B 3已知锐角三角形ABC中，|A
8、 B |4，|A C |1，ABC的 面积为 3，则AB AC的值为( ) A2 B2 C4 D4 解析 SABC1 2|AB |AC|sinA2sinA 3， sinA 3 2 ，cosA1 2. AB AC|AB|AC|cosA411 22. 答案 A 4在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对 的边，且 3a2csinA. (1)确定角C的大小； (2)若c 7，且ABC的面积为3 3 2 ，求ab的值 解 (1)由 3a2csinA及正弦定理，得 a c 2sinA 3 sinA sinC. sinA0，sinC 3 2 . ABC是锐角三角形，C 3. (2)解法1：c 7，C 3，由面积公式，得 1 2absin 3 3 3 2 ，即ab6. 由余弦定理，得a2b22abcos 37. 即a2b2ab7. 由变形，得(ab)23ab7. 将代入，得(ab)225，故ab5. 解法2：前同解法1，联立、得 a2b2ab7， ab6 a2b213， ab6. 消去b并整理得a413a2360， 解得a24，或a29. 所以 a2， b3， 或 a3， b2. 故ab5.
