1、. 考试说明对比研究之考试说明对比研究之选修选修 45 孝感实验高中孝感实验高中 杨旭端杨旭端 姜大年姜大年 刘翠霞刘翠霞 田勤田勤 费小玲费小玲 刘德波刘德波 一、考点变化情况一、考点变化情况 本专题（选修 45）介绍了一些重要的不等式及其证明、数学归纳法和其简单的应用， 特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解， 提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。 “不等式选讲”在理念方面、呈现方式上、 内容上有了变化，结合历年新课标数学高考试卷，对比 20122013 年（新课标湖北数学考 试说明）的高考考试大纲的说明， “不等式选讲”的内容与要求既保持了
2、连续性，又凸显了 新的要求。下面根据考试说明列举考点变化情况如下： 内容来源:Z.xx.k.Com来源:学科网 知识要求 考点增减来源:163文库来源:163文库来 源:163文库 了解 （A） 理解 （B） 掌握 （C） 增 减 不变 选修 4-5 不等式 选讲 基本 不等 式 不等式 ( ,0) 2 ab ab a b ? ? 及其简单应用 不等 式的 性质、 证明 与解 法 不等式的基本性质 绝对值不等式 不等式的证明（比较法、综 合法、分析法、反证法、放 缩法） 用数学归纳法证明一些简 单的不等式（仅限理科） 算术几何平均不等式、 柯西不等式及其简单应用 （仅限理科） 内容与要求：内容
3、与要求： 1回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式. 2理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）abab； （2）abaccb； （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： axbc； axbc； xcxba. 3认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义. （1）证明：柯西不等式向量形式：baba?. （2）证明： 22222 )()(bdacdcba?. （3）证明： 2 31 2 31 2 32 2 32 2 21 2 21 )()()()()()(yyxxyyxxyyxx?. （通常称作平面三角不等式）. 4用参数配方法讨论柯西不等式的
4、一般情况： ? ? ? n i i n i i n i i cba 1 2 1 2 1 2 . . 5用向量递归方法讨论排序不等式. 6理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 7会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1x)n 1nx（x-1,n 为自然数）. 二、历年试二、历年试题题考点考点分布统计分布统计 考点 试题分布 平均值 题型 绝对值 不等式 性质 2012.陕西； 2012.山东； 2012.天 津； 2012.浙江； 2012.浙江； 2012. 江苏； 2011.江西； 2011.陕西； 2011. 辽宁；2007.广东 5 或 10 填空题、 解答题
5、求解 2012.江西； 2012.湖南； 2012.广东； 2012.辽宁； 2012.新课标；2010. 陕西；2009.广东；2011.新课标全 国；2011.福建 5 或 10 填空题、 解答题 基本不 等式 证明 2010.辽宁；2010.江苏 10 解答题 应用 2011.湖南； 2010.四川；2010.浙江 5 或 10 填空题、 解答题 柯西不 等式 2012.湖北；2011.湖南 5 选择题、 填空题 重点关注：重点关注：绝对值不等式的几何意义及应用；几种简单绝对值不等式的求解；简单绝对值 不等式的证明；不等式的常见证明方法；简单的柯西不等式。 三三、典例分析、典例分析 知识
6、点知识点 1：绝对值不：绝对值不等式等式 （1）含含绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 例 1.（2012 江西理）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|6 的解集为_. 答案：答案： 33 | 22 xx ? ? ? ? R 解：解：本题考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想. 原 不 等 式 可 化 为 1 , 2 12216 , x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 或 11 , 22 21 216, x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或 1 , 2 21216, x xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由得 31 22 x? ?
7、；由得 11 22 x?；由得 13 22 x?, 综上，得原不等式的解集为 33 | 22 xx ? ? ? ? R. 点评点评：不等式的求解除了用分类讨论法外，还可以利用绝对值的几何意义数轴来求解； 后者有时用起来会事半功倍.体现考纲中要求会用绝对值的几何意义求解常见的绝对值不等 式.来年需要注意绝对值不等式公式,a bab a ba cc b?的转化应用. . 例 2 （2012 湖南理）不等式|2x+1|-2|x-1|0 的解集为_. 答案答案： 1 4 x x ? ? ? ? 解解：令( )2121f xxx? ?,则由( )f x 1 3,() 2 1 41,(1) 2 3,(1)
8、 x xx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得( )f x0?的解集为 1 4 x x ? ? ? ? . 点评点评：绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值,转化为代数不等式(组). 例 3 （2012 广东理）(不等式)不等式21xx?的解集为_. 答案：答案： 1 , 2 ? ? ? ? ? ? 解解: : 1 , 2 ? ? ? ? ? ? .2xx?的几何意义是x到2?的距离与x到 0 的距离的差,画出数轴,先找 出临界“21xx?的解为 1 2 x ? ?”,然后可得解集为 1 , 2 ? ? ? ? ? ? . （2 2）含参数绝对值不等式的解法）含参数绝对值不等
9、式的解法 例 4.（2012 陕西文理）若存在实数x使|1| 3xax? ?成立,则实数a的取值范围是 _. 答案：答案：24a? ? 解解: :1 |1| 3axax? ? ?,解得:24a? ? . 例 5.（2012 山东理）若不等式42kx?的解集为?13xx?,则实数k ?_. 答案：答案：2 解解: :由2|4|?kx可得62? kx,所以3 2 1?x k ,所以1 2 ? k ,故2?k. 例 6. （2012 天津理）已知集合=| +2|0a时， 42 -x aa ?，得=2a . ()记? ? ?=-2 2 x h xf xf ? ? ? ，则? ? 1,-1 1 = -4
10、 -3,-1-1 时，(1+x)m1+mx； 命题意图：命题意图：本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能， 考查分析问题能力和推理能力. 证明：证明： （1）用数学归纳法证明： （）当 m=1 时，原不等式成立；当 m=2 时，左边1+2x+x2,右边1+2x,因为 x20, 所以左边右边，原不等式成立； （）假设当 m=k 时，不等式成立，即（1+x）k1+kx，则当 m=k+1 时， kxxxx k ?11, 01, 1）于是在不等式（?两边同乘以 1+x 得： xkkxxkxkxxx k ) 1(1) 1(1)1)(1 ()1 ()1 ( 2 ?， 所以1,
11、) 1(1)1 ( 1 ? ? kmxkx k 即当时，不等式也成立. 例 21.（2010 重庆理）在数列 n a中， 1 1a ?， 1* 1 (21),() n nn acacnnN ? ? ?其中实数 0c ? () 求 n a的通项公式； () 若对一切 * kN?有 221kk aa ? ?，求 c 的取值范围 解：解：()由 222 121 1,3(21)aacaccc?， 232 3 (31)acc?， 243 4 (41)acc? 猜想得 21* (1)() nn n anccnN ? ? 下面数学归纳法证明：当1n ?时，等式成立. 假设当nk?时，等式成立，即 21 (1
12、) kk k akcc ? ?， 则当1nk?时， 1 1 (21) k kk acack ? ? ? 211 (1)(21) kkk c kccck ? ? . = 21 (2 ) kk kk cc ? ?= 21 (1)1 kk kcc ? ? 综上， 21 (1) nn n ancc ? ?对任何 * nN?都成立. （）略 例 22.（2009 湖北理）已知数列? ? n a的前 n 项和 1 1 ( )2 2 n nn Sa ? ? ?（n 为正整数）. （）令2n nn ba?，求证：数列? ? n b是等差数列，并求数列? ? n a的通项公式； （）令 1 nn n ca n
13、? ?， 12 nn Tccc?试比较 n T与 5 21 n n? 的大小，并予以证明. 解解： （I）在 1 1 ( )2 2 n nn Sa ? ? ?中，令 n=1，可得 111 21aaS?，即 1 1 2 a ? 当2n ?时， 21 1111 11 ( )2( ) 22 nn nnnnnnn SaaSSaa ? ? ? ? ?， 11 n11 1 2a( ),21 2 nn nnn aaa ? ? ? n 即2. 11 2,1,n21 n nnnnn babbb ? ? n 即当时，b. w.w.w.zxxk.c.o.m 又 11 21,ba? ?数列? n b是首项和公差均为
14、1 的等差数列. 于是1(1) 12, 2 n nnn n n bnnaa? ? ?. (II)由（I）得 11 (1)( ) 2 n nn n can n ? ?，所以 n n nT) 2 1 )(1() 2 1 (3 2 1 2 2 ? 132 ) 2 1 )(1() 2 1 (3) 2 1 (2 2 1 ? ? n n nT? 由-得 132 ) 2 1 )(1() 2 1 () 2 1 () 2 1 (1 2 1 ? ? nn n nT?w.w.w.zxxk.c.o.m 1 1 1 11 1 ( ) 133 42 1(1)( ) 1 222 1 2 3 3 2 n n n n n n
15、n n T ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 535(3)(221) 3 212212 (21) n n nn nnnnn T nnn ? ? ? ? 于是确定 5 21 n n T n? 与的大小关系等价于比较221 n n?与的大小. 由?,1322,1222,1122 32 ? . 可猜想当3221. n nn?时，证明如下： 证法证法 1： （1）当 n=3 时，由上验算显示成立. （2）假设1nk?时， 1) 1(2) 12(1) 1(224) 12(2222 1 ? ? kkkkk kk 所以当1nk?时猜想也成立. 综合（1） （2）可知 ，对一切3n ?的正整数，都有22
16、1. n n? 证法证法 2：当3n ?时, 1222) 11 (2 110210 ? ? nnCCCCCCCC n n n nnn n nnnn nn ?, 综上所述，当1,2n?时 5 21 n n T n ? ? ，当3n ?时 5 21 n n T n ? ? . 知识点知识点 4：不等式：不等式 3 3 abc cba ? ? （0,?cba）及其简单应用（仅限理科）及其简单应用（仅限理科） 例 23(2010 辽宁理)已知cba,均为正数,证明：36) 111 ( 2222 ? cba cba，并 确定cba,为何值时,等号成立. 证法一：证法一：因为cba,均为正数,由平均值不等
17、式得 3 2 222 )( 3 abccba? 3 1 )(3 111 ? ?abc cba ，所以 3 2 2 )(9) 111 ( ? ?abc cba 故36272)(9)( 3) 111 ( 3 2 3 2 2222 ? ? abcabc cba cba 所以原不等式成立. 当且仅当cba?时,式和式等号成立. 当且仅当 3 2 3 2 )(9)( 3 ? ?abcabc,式等号成立. 即当且仅当 4 1 3?cba时,原式等号成立. 证法二证法二：因为cba,均为正数,由基本不等式得 a2+b22ab,b2+c 22bc,c2+a22ac. 所以? 222 cbaacbcab? 同理 acbcabcba 111111 222 ? 故 222 cba?+( cba 111 ?)2acbcab?+3 ab 1 +3 bc 1 +3 ac 1
