1、天一大联考“皖豫名校联盟体”天一大联考“皖豫名校联盟体”2021 届高中毕业班第二次考试届高中毕业班第二次考试 文科数学文科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x2-10，Bx|0 x2，则 AB A(0，1) B(0，1 C-1，1 D-1，2) 2 2 2i (1i) z 的共轭复数为 A 1 i 2 B 1 i 2 C 1 i 2 D 1 i 2 3已知向量( ,0)ABm，( 2,2)BC ，()ABACBC，则 m 的值为 A1 B2 C3 D4 4某校高三学生小李每天早晨 7 点下课后，从教室到学校餐厅吃早餐，步行 4 分钟，统计
2、 小李一段时间打饭所需时间 Z（单位：分钟），整理得到如图所示的频率分布直方图，吃饭 需要 15 分钟，而后步行 4 分钟返回教室已知学校要求学生 7:30 开始在教室内上自习，则 小李上自习不迟到的概率约为 A0.7 B0.5 C0.4 D0.3 5在平面四边形 ABCD 中，CD1，ACBD，CDB（ 为锐角），ACB45，3 sincos3，则 BC A1 B 3 2 C 2 2 D 1 2 6过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，-7)的圆与圆 x2+y216 的相交弦所在直线的方程为 Ax-2y+20 Bx-y+20 Cx-2y0 Dx+2y+20 7 某日化用品厂家研发了一种
3、新的牙膏产品， 该产品的成本由生产成本和销售成本组成 每 批产品的销售成本 y（元）与生产该产品的数量 x（千件）满足指数函数模型 y3.4710mx， 已知每件产品的生产成本为 10 元，生产 12 千件该产品时，总成本为 123470 元若销售成 本增加 1 倍，则生产该产品的数量增加了（ ）千件(lg 20.3) A1.2 B1.1 C0.9 D0.3 8已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，点 P 在 C 上且 P 在准线上的投影为 Q，直线 QF 交 C 于点 D，且|QD|2|DF|，则PFQ 的面积为 A4 B4 3 C8 3 D16 3 9已知函数 y2|cos x|+cos
4、 2x 在0，a上单调递减，则实数 a 的最大值为 A 4 B 3 C 2 D 10已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为 F，点 M 在双曲线右支上，若MOF 为 等边三角形（点 O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为 A31 B21 C3 D2 11某几何体的三视图如图所示，图中两个 M 点为直观图中的同一个点 M，两个 N 点也为 直观图中的同一个点 N，且分别为所在棱的中点，则在此几何体表面上，从 M 到 N 的路径 中，最短路径的长度为 A 73 2 B 72 3 2 C 13 2 D 3 1 2 12已知函数 2 48 ,(0,2, ( ) 48,(2,
5、), xx x g x xx f(x)|kx-2|-g(x)(k0)在(0，+)上有 3 个不同的零 点，则 k 的取值范围是 A(0，4) B(1，+) C(0，1)(1，+) D(0，1)(1，4) 二、填空题 13已知 x，y 满足约束条件 0, 240, 40, xy xy xy 则 z5x+2y 的最大值为_ 14 高二足球队教练分六个项目对本队全体队员进行了测试， 小华同学将自己的成绩与全体 队员的平均分绘制成雷达图如图 若从中任选 2 个项目， 则至少有 1 项小华的成绩高于该队 平均分的概率为_ 15费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于 120时，
6、 费马点在三角形内， 且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角， 即该点对三角 形三边的张角相等，均为 120已知ABC 的三个内角均小于 120，P 为ABC 的费马 点，且 PA+PB+PC3，则ABC 面积的最大值为_ 16把圆心角为 90的扇形铁片围成一个侧面积为 16 m2的圆锥（接缝处忽略不计），该 圆锥竖直倒置后放入一个球， 该球恰好与圆锥的侧面上边缘相切， 则球心到圆锥顶点的距离 为_m 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题 17已知数列an的前 n
7、 项和 Sn1+2an，在等差数列bn中，b120，b3b5+b9 （）求an的通项公式； （）求数列 n n b a 中项的最大值 18某网站的调查显示，健身操类、跑步类、拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比 较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面从某健身房 随机抽取 200 名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况 如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如 柱状图（2）所示 平均每天健身时间（分钟） 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80， 90) 人数
8、 20 36 44 50 40 10 （）若这 200 名会员的平均体重减少不低于 5 kg，就认为该计划有效，根据上述柱状图， 试问：该计划是否有效？（每组数据用该组区间的中点值作代表） （）请根据图中数据填写下面的 22 列联表，试问：是否有 99%的把握认为平均每天健 身时间与会员健身前的体重有关？ 平均每天健身时 间低于 60 分钟 平均每天健身时间 不低于 60 分钟 合计 健身前体重低于 100 kg 健身前体重不低于 100 kg 80 合计 200 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中 na+b+c+d 参考数据： P(K
9、2k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 如图所示， 在四棱锥 S-ABCD 中， 平面 SAB底面 ABCD， ABC90， ACD60， ACAD，SA2，3AB ，BC1设平面 SCD 与平面 SAB 的交线为 l，E 为 SD 的中点 （）求证：l平面 ACE； （）若在棱 AB 上存在一点 Q，使得 DQ平面 SAC，当四棱锥 S-ABCD 的体积最大时， 求 SQ 的值 20已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，
10、M 为椭圆 C 上一点， 且F1MF260，F1MF2的面积为 3 3 ，过 F2且与长轴垂直的弦的长为2 （）求椭圆 C 的方程 （）在 x 轴上是否存在点 P(m，0)，使得过点 P 的直线交椭圆 C 于 G，H 两点，且满足 |GP|2+|HP|23(|GP|HP|)2恒成立？若存在，求 m2的值；若不存在，说明理由 21已知函数 2 ( )(1)ln 2 a f xxbxx，且当 a0 时，f(x)的最大值为-1 （）当 a0 时，求 f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程； （）当 a(1，e)时，证明：f(x)的极大值小于 2 3 （二）选考题：请考生在第 22，23 题中任
11、选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 12cos , 1sin x y （ 为参数），以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos2 4 （）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （）设曲线 C 的对称中心为 P，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求PAB 的面积 23选修 4-5：不等式选讲 已知实数 a，b，c 满足 a0，b0，c0 （）若 abc1，求证：abcabbcac； （）若 ab1，(1+a)(1+b)的最小值为 m，
12、求不等式|x+1|+|x-1|m 的解集 天一大联考天一大联考 “皖豫名校联盟体”“皖豫名校联盟体”2021 届高中毕业班第二次考试届高中毕业班第二次考试 文科数学答案文科数学答案 一、选择题 1答案答案 B 命题意图命题意图 本题主要考查集合的运算 解析解析 根据题意，集合 Ax|-1x1，故 AB(0，1 2答案答案 A 命题意图命题意图 本题主要考查复数的运算及共轭复数 解析解析 因为 2 2i2i1 i 2i2(1i) z ，所以 z 的共轭复数为 1 i 2 3答案答案 B 命题意图命题意图 本题主要考查向量垂直的定义及向量的数量积 解析解析 因为(2,2)ACABBCm，(22,2
13、)ABACm，()()ABACBCABAC 0BC，故-2(2m-2)+40m2 4答案答案 C 命题意图命题意图 本题主要考查频率分布直方图中概率的计算 解析解析 由题意，小李打饭时间小于 7 分钟才不会迟到，因为 P(Z7)0.1+0.15+0.150.4， 故小李上自习不迟到的概率约为 0.4 5答案答案 C 命题意图命题意图 本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用 解析解析 3 s i nc o s2 s i n (3 0 )3，由 为锐角解得 30，由直角三角形的性 质得DBC45，由正弦定理，得 12 sinsin30 sinsin452 DC BCBDC DBC 6答案答案 A
14、命题意图命题意图 本题主要考查圆的方程的求解及圆与圆的相交弦所在直线方程的求解 解析解析 由题意得 321 143 AB k ， 27 3 41 CB k ，所以 kABkCB-1，所以 ABCB，即 ABC 为直角三角形，则其外接圆的圆心为 AC 的中点(1，-2)，半径为 5，所以其外接圆方程 为(x-1)2+(y+2)225，与 x2+y216 左右两边分别相减可得相交弦所在直线的方程为 x-2y+2 0 7答案答案 A 命题意图命题意图 本题主要考查函数模型的应用及指数、对数运算 解析解析 设生产了 x 千件该产品，则生产总成本为 g(x)3.4710mx+x101000因为 g(12
15、) 3.471012m+120000123470， 所以 3.471012m3470， 所以 1012m1000， 所以 m0.25 所 以 y3.47100.25x设现在的销售成本为 y1，对应的生产数量为 x1，原来的销售成本为 y2， 对应的生产数量为 x2，由销售成本增加 1 倍，知 y12y2，所以 12 0.25() 102 xx ，故 x1-x24lg 21.2（千件） 8答案答案 D 命题意图命题意图 本题主要考查抛物线的定义及三角形的面积求解 解析解析 设 E 为准线与 x 轴的交点，根据三角形相似和抛物线定义，可知 |1 |2 DFFE QDFQ ， 可得QFE60，所以P
16、QF60，又|PQ|PF|，所以PFQ 为等边三角形，又 4 |8 cos60 FQ ，所以PFQ 的面积为 2 3 816 3 4 9答案答案 C 命题意图命题意图 本题主要考查三角函数的性质 解析解析 y2|cos x|+cos 2x2|cos x|+2cos2x-1，令 t|cos x|，则 y2t2+2t-1，当 0, 2 x 时， t|cos x|单调递减， t0， 1， 因为 y2t2+2t-1 在0， 1上单调递增， 所以函数 y2|cos x|+cos 2x 在 0, 2 上单调递减当 2 a 时，t|cos x|在0，a上先减后增，函数 y2|cos x|+cos 2x 在0
17、，a上不单调所以 2 a ，a 的最大值为 2 10答案答案 A 命题意图命题意图 本题主要考查直线与双曲线的位置关系及离心率的求解 解析解析 设该双曲线的半焦距为 c，离心率为 e，根据题意，不妨设直线 OM 的方程为 3yx由 22 22 1, 3 , xy ab yx 可得 22 2 22 3 M a b x ba 由题可知 222 22 43 a bc ba ，联合 c2a2+b2，整 理可得31e 11答案答案 B 命题意图命题意图 本题主要考查三视图及几何体表面最短路径问题 解析解析 该三视图对应的几何体是正三棱柱，如图所示 仅考虑以下三种情况即可： （1）经侧面到 N，将三棱柱沿
18、 AA1，AB，AC，A1B1，A1C1剪开，并展开至同一平面上，则 2 222 313 1 22 MNAMAN （2）过顶点 A 经底面到 N，此时 3 1 2 MNAMAN （3）经侧面、底面到 N 点，将底面 ABC 沿 AB，BC 剪开，并展开至和 ACC1A1在同一平面 上， 则 2 222 3372 3 2cos12012 1cos120 222 MNAMANAM AN 因为 72 313 22 ，且 72 33 1 22 ，所以从 M 到 N 的路径中，最短路径的长 度为 72 3 2 12答案答案 D 命题意图命题意图 本题主要考查数形结合求解函数零点问题 解析解析 因为函数
19、f(x)|kx-2|-g(x)在(0，+)上有 3 个不同的零点，所以关于 x 的方程|kx-2| g(x)在(0，+)上有 3 个不同的实数根 画出函数 g(x)的图象，如图 y|kx-2|的图象恒过点(0，2)，且与 x 轴的交点为 2 ,0 k 当 21 0 2k ，即 k4 时，y |kx-2|与 g(x)的图象在(0，+)上仅有 2 个不同的交点，如图 当 12 2 2k ，即 1k4 时，y|kx-2|与 g(x)的图象在 2 0, k 上有 1 个交点，在 2 , k 上 有 2 个交点，如图 当 2 2 k ，即 0k1 时，y|kx-2|与 g(x)的图象在 2 0, k 上
20、有 3 个交点，在 2 , k 上有 0 个交点，如图 当 2 2 k ，即 k1 时，y|kx-2|与 g(x)的图象在(0，+)上有 2 个交点，如图 综上，可得 k 的取值范围为(0，1)(1，4) 二、填空题 13答案答案 14 命题意图命题意图 本题主要考查线性规划 解析解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示z5x+2y 可化为 51 22 yxz 当 直线 51 22 yxz 在 y 轴上的截距最大时， z 取得最大值， 由图可知， 过 B 点时， 截距最大 由 0, 40, xy xy 求得 B(2，2)，代入到 z5x+2y 中，解得 z14，即 zmax14 14答案
21、答案 4 5 命题意图命题意图 本题主要考查古典概型 解析解析 根据雷达图，可知小华的成绩高于该队平均分的项目有 3 个，设为 A，B，C，小华 的成绩不高于该队平均分的项目有 3 个，设为 a，b，c，从中任取 2 个项目的所有结果为(A， B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)， (C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共 15 种，至少有 1 项小华的成绩高于该队平均分的结果 为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)
22、，(C， b)，(C，c)，共 12 种，所以概率为 124 155 15答案答案 3 3 4 命题意图命题意图 本题主要考查数学文化、基本不等式及三角形面积的求解 解析解析 9(PA+PB+PC)2PA2+PB2+PC2+2(PAPB+PAPC+PBPC)3(PAPB+ PAPC+PBPC)，PAPB+PAPC+PBPC3 1 ( 2 ABC SPA PBPA PC 3 3 )sin120 4 PB PC，当且仅当 PAPBPC 时，等号成立 16答案答案 3 21 5 15 命题意图命题意图 本题主要考查圆锥的侧面积、弧长公式及几何体中距离的求解 解析解析 设圆锥底面半径为 r m，母线长
23、为 l m，根据题意以及弧长公式可知， 2 2 rl，解 得 l4r，所以该圆锥的侧面积为 Srl4r216，所以 r2，l8，设母线与高的夹角 为 ，则 1 sin 4 ， 15 cos 4 ，所以球心到圆锥顶点的距离为 832 15 m cos15 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17命题意图命题意图 本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及数列中值最大的项的求解 解析解析 （）因为 Sn1+2an，所以 an0 当 n2 时，Sn-11+2an-1， 两式相减，得 an1+2an-1-2an-12an-2an-1， 即 an2an-1(n2)， 所以an是等比数列，
24、 公比 q2， 当 n1 时，S11+2a1a1，即 a1-1， 所以 an-2n -1 （）设bn的公差为 d， 则 1 111 20, 248 , b bdbdbd 解之得 d-2，所以 bn 22-2n 所以 1 222 2 n n n bn a 设 1 222 2 n n n c ， 则 1 12 222222(1) 22 nn nn nn cc 1 262 2n n 因为当 n13 时，cncn-1，当 n13 时，cncn-1，当 n13 时，cncn-1， 所 以当 n12 或 13 时 cn最大，即 n n b a 最大，最大值为 10 11 10242 18命题意图命题意图
25、本题主要考查独立性检验 解析解析 （）柱状图（1）中的体重平均值为 950.3+1050.5+1150.2104(kg) 柱状 图（2）中的体重平均值为 850.1+950.4+1050.599(kg) 因为 104-995，所以该 计划有效 （）22 列联表如下： 平均每天健身时 间低于 60 分钟 平均每天健身时间 不低于 60 分钟 合计 健身前体重低于 100 kg 40 20 60 健身前体重不低于 100 kg 60 80 140 合计 100 100 200 K2的观测值为 2 200(40 802060) 9.5246.635 100 10060 140 k 所以有 99%的把
26、握认为平均每 天健身时间与会员健身前的体重有关 19命题意图命题意图 本题主要考查线面平行的证明及与几何体体积有关的最值问题 解析解析 （）在 RtABC 中，因为 BC1，3AB ， 所以 13 tan 33 BAC，AC 2， 所以BAC30 在ACD 中，因为 ACAD，ACD60，所以ACD 为等 边三角形， 所以 CD2，CAD60，所以BAD90， 又ABC90，所以 BCAD 如图，延长 AB 和 DC 交于点 F，连接 SF，因为 FAB，AB平面 SAB，所以 F平面 SAB 同理可得 F平面 SCD 所以 SF 所在直线即为直线 l 因为 BCFC ADFD 1 2 ，所以
27、 C 为 DF 的中点，所以在SDF 中，lCE 因为 l 不在平面 ACE 内，CE平面 ACE，所以 l平面 ACE （）过 S 向 AB 作垂线，垂足为 P，因为平面 SAB底面 ABCD，所以 SP底面 ABCD， 因为梯形 ABCD 的面积和 SA 的长为定值，所以当点 P 与 A 重合，即 SA底面 ABCD 时， 四棱锥 S-ABCD 的体积最大 因为 DQ平面 SAC，AC平面 SAC，所以 DQAC，所以 DQ 经过 AC 的中点， 所以ADQ30， 所以 2 3 tan2 tan30 3 AQADADQ， 故 2 2 2 34 3 2 33 SQ 20命题意图命题意图 本题
28、主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系 解析解析 （） 设|MF1|r1， |MF2|r2， 则 r1+r22a， 在MF1F2中， 1 2 13 sin60 23 Srr， 即 1 2 4 3 rr ， 由余弦定理得 222 121 2 2cos604rrrrc，即(r1+r2)2-3r1r24c2， 将 代入得 a2-c21，所以 b21 又 2 2 2 b a ，解得2a 所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 2 x y （）由条件可得 22 11 3 |GPHP 恒成立 当直线 GH 的斜率为零时，点 G，H 为椭 圆长轴的端点， 则 22 222222 1111( 2)( 2) 3
29、|2( 2)()2) mm GPHPmmm ， 解得 2 2 3 m 或 m24 当直线 GH 不与 x 轴重合时，设直线 GH 的方程为 xty+m，G(x1， y1)，H(x2，y2)， 联立 2 2 , 1, 2 xtym x y 消去 x 得(t2+2)y2+2mty+m2-20， 由 0，得 m2-2 t2， 由根与系数的关系得 12 2 2 2 mt yy t ， 2 12 2 2 2 m y y t 所以 22 11 |GPHP 2 2 222 22 121212 22222222222 2 121212 2 2 22 2 211 22 3 (1)(1)(1)(1) 2 (1 (
30、 2 ) ) mtm yyyyy y tt tytyty yty y m t t 所 以(3m2-2)(m2+m2t2-4t2-2)0， 所以 2 2 3 m 综上可得存在满足条件的点 P，且 2 2 3 m 21命题意图命题意图 本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数极值问题中的应用 解析解析 （） f(x)的定义域为(0， +) 当 a0 时， f(x)bln x-x 若 b0， 因为 1 2 f 1 ln21 2 b ，所以不满足题意 若 b0，( )1 b fx x 当 0 xb 时，f(x)0， 当 xb 时，f(x)0， 所以 f(x)在(0，b)上单调递增，在(b，+)上单调
31、递减， 故 xb 是 f(x)在(0，+)上的唯一最大值点 由于 f(1)-1，所以 b1 所以 1 ( )1fx x ，f(1) 0， 故所求切线方程为 y+10(x-1)，即切线方程为 y-1 （） 1(1)(1) ( )(1)1 xax fxa x xx ， 令 f(x)0，得 x11， 2 1 x a ， 当 1a e 时， 1 01 a ， 因为当 1 0 x a 时，f(x)0，当 1 1x a 时，f(x)0，当 x1 时，f(x) 0， 所以 f(x)在 1 0, a 上是增函数，在 1 ,1 a 上是减函数，在(1，+)上是增函数 所 以 f(x)的极大值为 2 11111
32、1lnln1 222 aa fa aaaaa 设 1 ( )ln1 22 a g aa a ，其中 a(1，e)， 则 22 222 11121(1) ( )0 2222 aaa g a aaaa ， 所以 g(a)在(1，e) 上是增函数， 所以 e111112 ( )(e)2e232 22e2e233 g ag ，即 f(x)的极 大值小于 2 3 22命题意图命题意图 本题主要考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化 解析解析 （） 曲线 C 的参数方程变形得 1 cos , 2 1sin, x y 平方后相加得普通方程为 2 (1) ( 4 x y 2 1)1 c o s
33、2 4 ，即 cos -sin 2， 将 xcos ，ysin 代入即可得 到直线 l 的直角坐标方程为 x-y2 （）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 2 2 (1) (1)1, 4 2, x y xy 可得 5x2-26x+330，解得 x1 3， 2 11 5 x ， 所以 12 4 2 |2 | 5 ABxx 又因为对称中心 P(1，1)到直线 l 的距离 为 2 2 2 d ， 所以PAB 的面积为 114 24 |2 2255 AB d 23命题意图命题意图 本题主要考查基本不等式及绝对值不等式的求解 解析解析 （）由基本不等式可知 2 22abbcab cb， 2 22abaca bca， 2 22bcacabcc， 相加得abcabbcac， 当且仅当 abc 时等号成 立 （）因为12aa，12bb， 相乘得(1)(1)44abab，当且仅当 ab1 时等号成立 故 m4 若 x1，则|x+1|+|x-1|2x4，所以 1x2； 若-1x1， 则|x+1|+|x-1|24 恒成立； 若 x-1，则|x+1|+|x-1|-2x4，解得 x-2，所以-2x -1 综上，不等式的解集为x|-2x2
