1、 面积最值问题 1.如图、，在四边形 ABCD 中，AC90 ，BCCD2， AB1. (1)请在图中找出一点 O，使得 OAOBOCOD； (2)如图，在 ABC 中，AB5，BC6，AC4，分别以 AB、BC、 AC 为底边作等腰三角形，且每一个等腰三角形的顶角都为 120 ，找 出这三个等腰三角形中面积最大的那个，并求出它的面积； (3)如图，点 Q 是四边形 ABCD 外一动点，将点 Q 和不点 Q 相邻的 两个点连起来，组成一个五边形，且Q2(0 21， 当点 Q 不点 A、D 构成以Q 为顶角的等腰三角形时，以点 A、B、 C、D、Q 为顶点的五边形的面积最大 S四边形ABCD S
2、 BCDS ABD 1 2 2 2 1 2 7 1 2 7 2 ， S ADQ最大值（ 7） 2 4tan 7 4tan， 以点 A、B、C、D、Q 为顶点的五边形的最大面积为 2 7 2 7 4tan. 2.问题探究 (1)如图，过五边形 EBCDF 的边 EF 上的点 P 作矩形 PGCH，使点 G、H 分别在边 BC、CD 上； (2)请在图的五边形 EBCDF 的边 EF 上取一点 P，过点 P 作正方形 PGCH，使点 G、H 分别在边 BC、CD 上，并说明理由； 问题解决 (3)某体育馆拟用如图中的空地紧靠 BC 边及 CD 边建一个矩形的室 内场馆，四边形 ABCD 的边 BC
3、60 米，宽 AB40 米的矩形地皮， 其中 AEF 已经被其他建筑占用， 经测量， AE30 米， AF40 米 试 分析如何设计才能使矩形场馆面积最大？ 第 2 题图 解：(1)如解图，点 P 即为所求作的点； (2)如解图， 过点 C 作BCD 的角平分线交 EF 于点 P， 过点 P 分别 作 PGBC 于点 G， PHCD 于点 H， 则四边形 PGCH 即为所求正方 形. 理由如下： GCHPGCCHP90 ， 四边形 PGCH 为矩形， 又CP 平分GCH， 四边形 PGCH 为正方形； (3)如解图，设 P 为 EF 上一点，过点 P 作 PMAB 于点 M， Rt EAFRt
4、 EMP， PE EF EM AE MP AF， 又AE30，AF40， EF50， 第 2 题解图 令 PEx 米，矩形场馆面积为 y 平方米， EM3 5x，MP 4 5x， 矩形的长 PHBCMP604 5x， 矩形的宽 PGEMEB3 5x10， 由题意得，y(604 5x)( 3 5x10) 12 25x 228x600，其中 0 x50， y12 25(x 175 6 )23025 3 ， 当 x175 6 时，矩形场馆 PGCH 面积最大，最大面积为3025 3 平方米 3.问题探究 (1)如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC4，若 BC 边上存在点 P， 使 APD 为直角
5、三角形，且APD 为 90 ，请画出满足条件的一个直 角三角形，并求出此时 AP 的长； (2)如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，B 90 ，AD10，AB 7，CD1，点 P 在边 BC 上，且APD 90 ，求 BP 的长； 问题解决 (3)如图，在平面直角坐标系中，点 A、B、C 分别是某单位的门房 及两个仓库，其中 OA100 米，AB200 米，OC300 米，单位负 责人想选一点 P，安装监控装置，用来监控 AB，使 APB 面积最大， 且APB2ACB，是否存在满足条件的点 P，若存在，求出点 P 的 坐标；若丌存在，请说明理由 第 3 题图 解：(1)如解图， APD 即
6、为符合条件的直角三角形，AP2222 2 2； 第 3 题解图 (2)如解图，过点 D 作 DEAB 于 E，则四边形 BCDE 为矩形， EBDC1，AEABBE6，BCED， 在 Rt AED 中，DEAD2AE28， BC8，设 BPx，则 PC8x， B 90 ，APD 90 ， BAPAPBAPB DPC90 ， BAPCPD， 又ABCD, BC90 ， ABPPCD， AB PC BP CD，即 7 8x x 1， 解得 x11，x2 7， BP1 戒 7； (3)如解图， 作 ABC 的外接圆P， 则 APB 的面积最大， 且APB 2ACB， 此时，点 P 在直线 x200
7、上， 连接 PC、PB、PA、AC、BC， OBOC300 米， OBC45 ， CPA2CBO90 ， 在 Rt AOC 中，AC2OC2OA2， 在 Rt PAC 中，AC2AP2PC22AP2， 2AP2OC2OA230021002100000， AP100 5米， 设直线 x200 交 x 轴于 H，则 AHHBOA100 米， 在 Rt PAH 中，PHAP2AH2200 米， 点 P 的坐标为(200，200)，取点 P 关于 x 轴的对称点 P为(200， 200)，则 P也符合题意 符合条件的点 P 为(200，200)和(200，200) 4.在平面直角坐标系中， 矩形 OA
8、CB 的顶点 O 在坐标原点， 顶点 A、 B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA4，OB2，将矩形折叠，使点 O 落在边 BC(含端点)上，落点为点 D，这时折痕不 OA 戒 AC(含端点) 交于点 E，然后展开铺平，得到 ODE. (1)如图，当点 D 位于 BC 的中点时，点 E 的坐标为_； (2)如图，当点 E 不点 A 重合时，求 ODE 的面积； (3)如图，是否存在面积最大的 ODE？若存在，请求出此时点 D 的坐标；若丌存在，请说明理由 第 4 题图 解：(1)(2，0)； (2)如解图，以点 A 为圆心，以 OA 长为半径作弧交 BC 于点 D，过 点 D 作 DFOA
9、 于点 F，连接 OD、AD，可得 DFOB2， S ODE1 2OA DF 1 2 4 24； 第 4 题解图 (3)存在 当点 E 在边 OA 上时，如解图， S ODE1 2OE OB 1 2OA OB4， 即当点 E 不点 A 重合时， ODE 的面积最大，最大面积为 4; 当点 E 不点 A 重合时，如解图， 由折叠性质可知 ADAO4, 在 Rt ACD 中，由勾股定理得： DCAD2AC242222 3， BD42 3， 点 D 坐标为(42 3，2)； 当点 E 在边 AC 上时，如解图， 过点 E 作 EFOA 交 OB 于点 F，交 OD 于点 G， S DGE1 2GE
10、BF，S OGE 1 2GE OF， S ODE1 2GE BF 1 2GE OF 1 2GE (BFOF) 1 2GE OB 1 2EF OB 1 2S 矩形OACB4. 第 4 题解图 即当点 E 在边 AC 的中点时， ODE 的面积最大，最大面积为 4， 当点 E 在边 AC 的中点时，点 D 不点 B 重合，如解图， 此时点 D 坐标为(0，2)， 综上所述，当 ODE 的面积最大时，点 D 的坐标为(42 3，2)戒(0， 2) 5.我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，圆内接四边 形的对角(相对的两个角)互补下面我们来研究它外角的性质 (1)在图中作出圆内接四边形ABCD
11、中以点C为顶点的外角DCG， 请你探究外角DCG 不它的相邻内角的对角(简称内对角)A 的关 系，并证明DCG 不A 的关系； (2)分别延长 AD、BD 到点 E、F，如图，已知四边形 ABCD 是圆内 接四边形如果 DE 平分FDC，请你探索 AB 不 AC 有怎样的数量 关系？ (3)如图，点 D 是圆上一点，弦 AB 3，DC 是ADB 的平分线， BAC30 .当DAC 等于多少度时，四边形 ACBD 面积最大？最大 面积是多少？ 第 5 题图 【思维教练】 (1)根据邻补角和圆内接四边形对角互补的性质即可得出 结论；(2)已知 DE 平分FDC，结合圆内接四边形性质对部分角进行 等
12、量代换，再根据三角形内等角对等边即可得出结论；(3)已知 DC 是 ADB 的平分线，结合圆周角定理可知ABCBAC，又有 AB 3，S ABC为定值由于 S四边形DACBS ABCS DAB，故要求四边形 DACB 最大面积，只需求 DAB 的最大面积即可 解：(1)如解图，延长 BC，DCGA. 证明：四边形 ABCD 是圆内接四边形， ABCD180 ， DCGBCD180 ， DCGA； 第 5 题解图 第 5 题解图 (2)ABAC. 如解图，四边形 ABCD 是圆内接四边形， 2ABC， 1ADB，ADBACB， 1ACB， DE 平分FDC， 12， ABCACB， ABAC； (3)如解图，DC 平分ADB， ADCBDC， 又ADCABC，BDCBAC， ABCBAC， 第 5 题解图 ACBC， AB 3，BAC30 ， ACBC1， S ABC为定值 S四边形DACBS ABCS DAB， 当 S DAB最大时，四边形 DACB 面积最大 在 DAB 中，AB 边丌变，如解图，当点 D 为 AB 的中垂线不圆的 交点 D时，四边形 DACB 面积最大，连接 DC，此时 DAB 为等边 三角形，且 DC 应为圆的直径，DAC90 . ADCBAC30 ， DC2AC2， 当DAC90 时，四边形 DACB 的最大面积为1 2 3 2 3.
