1、 1 一元一次不等式一元一次不等式的解法的解法（提高提高）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：吴婷婷 【学习目标】【学习目标】 1理解一元一次不等式的概念； 2.会解一元一次不等式 【要点梳理】【要点梳理】 【高清课堂：一元一次不等式【高清课堂：一元一次不等式 370042 一元一次不等式一元一次不等式 】 要点一、要点一、一元一次一元一次不等式的概念不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2 50 3 x 是一 个一元一次不等式 要点诠释：要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：左右两边都是整式(单项式或多项式)； 只含有一个未知数； 未
2、知数的最高次数为 1 (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是 1， “左边”和“右边”都是整式 不同点：不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“”或“”连接，不等号有方向；一元一次方 程表示相等关系，由等号“”连接，等号没有方向 要点二、要点二、一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法 1.1.解不等式：解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式 2.2.一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：ax （或ax ） 的形式，解一元一次不等式的一
3、般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为axb（或axb） 的形式（其中0a ） ；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 要点诠释：要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用 （2）解不等式应注意： 去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； 移项时不要忘记变号； 去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； 在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变 3.3.不等式的解集在数轴上表示：不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个
4、解，它对以后正 确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助 要点诠释：要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、一元一次一元一次不等式的概念不等式的概念 1下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？ （1）0 x （2）1 x 1 （3）2x 2 （4）3yx （5）1x 2 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断 【答案与解析】 解：(1)是一元一次不等式 （2） （3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为： （2）中分母中含有字母，
5、 （3） 未知量的最高次项不是 1 次， （4）不等式左边含有两个未知量， （5）不是不等式，是一元一次方程 【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：不等式的左右两边分母不含未知数；不 等式中只含一个未知数；未知数的最高次数是 1，三个条件缺一不可 类型二类型二、解一元一次不等式解一元一次不等式 2.解不等式： 2 5x 03. 0 x02. 003. 0 5 . 0 9 . 0 x4 . 0 ，并把解集在数轴上表示出来 【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分数线兼有括号的 作用 【答案与解析】 解：将分母变为整数，得： 2 5x 3 x23 5
6、9x4 去分母，得：)5x(15)x23(10)9x4(6 去括号，合并同类项，得：99x11 系数化 1，得：9x 这个不等式的解集表示在数轴上，如下图： 【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向 举一反三：举一反三： 【变式】解不等式：2x2) 1 4 x ( 3 2 2 3 【答案】 解：去括号，得2x31 4 x 移项、合并同类项得：6x 4 3 系数化 1，得8x 故原不等式的解集是8x 3.m 为何值时，关于 x 的方程： 6151 632 xmm x 的解大于 1？ 【思路点拨】从概念出发，解出方程（用 m 表示 x） ，然后解不等式 【答案与解析】
7、 解： x-12m+2=6x-15m+3 5x=3m-1 31 5 m x 由 31 1 5 m 3 解得 m2 【总结升华】此题亦可用 x 表示 m，然后根据 x 的范围运用不等式基本性质推导出 m 的范围 举一反三：举一反三： 【变式】已知关于x方程 3 x2 3 mx2 x 的解是非负数，m是正整数，则m 【答案】1 或 2 4.已知关于y,x的方程组 1py3x4 1py2x3 的解满足yx ，求p的取值范围 【思路点拨】先解出方程组再解不等式 【答案与解析】 解：由 1py3x4 1py2x3 ，解得： 7py 5px yx 7p5p 解得6p p的取值范围为6p 【总结升华】有时根
8、据具体问题，可以不必解出y,x的具体值 类型三类型三、解含字母的一元一次不等式解含字母的一元一次不等式 5解关于 x 的不等式：(1-m)xm-1 【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化 1 即可，两边同时除以（1-m） ，但由不 等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方向得改变，这里 1-m 的符号我们 不知道，故需分类讨论 【答案与解析】 解：当 1- m 0 即 m 1 时，原不等式的解集为：x-1； 当 1- m 0 即 m 1 时，原不等式的解集为：x-1； 当 1-m=0 即 m=1 时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解 【总结升华】不
9、难发现，我们可以总结概括，如下： 若 axb（a0） ， 当0a 时，不等式的解集是 b x a ； 当0a 时，不等式的解集是 b x a 举一反三：举一反三： 【变式 1】解关于 x 的不等式 m（x-2）x-2. 【答案】 4 解: 化简，得（m-1）x2（m-1） ， 当 m-10 时，x2； 当 m-10 时，x2； 当 m-1=0 时，无解. 【高清课堂：一元一次不等式【高清课堂：一元一次不等式 370042 例例 8】 【变式 2】(1)已知 xa 的解集中的最大整数为 3，则 a 的取值范围是_； (2)已知 xa 的解集中最小整数为2，则 a 的取值范围是_ 【答案】（1）3
10、a4；（2）3a2 类型四类型四、逆用不等式的解集逆用不等式的解集 6. 若关于x的不等式nmx 的解集为 5 3 x ， 则关于x的不等式0n5mx)nm2(的解 集 【思路点拨】先根据第一个不等式确定n,m的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解 【答案】 7 10 x 【解析】 解：由nmx 的解集为 5 3 x 可知得：0m ， 5 3 m n ，即m 5 3 n 将上式代入0n5mx)nm2(， 化简整理得：m2mx 5 7 ，又0m 所以 7 10 x 【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定0m 举一反三：举一反三： 【变式】已知ax 的解集中的最大整数为 3，则a的取值范围是 【答案】4a3
