1、 1 有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算（提高提高） 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1理解有理数乘方的定义； 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、有理数的乘方有理数的乘方 定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power) 即有： n a aaa n 个 .在 n a中，a叫做底数， n 叫做指数. 要点诠释：要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果 （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一
2、个数时，要用括号括起来 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方例如，5 就是 51，指数 1 通常省略不写 要点二、要点二、乘方乘方运算运算的符号法则的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0 的任何正整 数次幂都是 0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 要点诠释：要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值 (2)任何数的偶次幂都是非负数 【高清课堂：【高清课堂：有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算 356356849 849 有理数的混合运算有理数的混合运算】
3、 要点三、要点三、有理数有理数的混合运算的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括 号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 要点诠释：要点诠释： (1)有理数运算分三级， 并且从高级到低级进行运算， 加减法是第一级运算， 乘除法是第二级运算， 乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行 (3)在运算过程中注意运算律的运用 【典型例题】【典型例题】 类型一、有类型一、有理数的乘方理数的乘方 1. 计算： （1） 44 333 44
4、； （- ） ； （-3） （2） 33 2( 2) 33 33 22 ； （ ） ； （- ） ； 33 【答案与解析】由乘方的定义可得： (1)3 4333381； 2 -3 4-（3333）-81； 4 ( 3)( 3) ( 3) ( 3) ( 3)81 ； 4 ( 3)( 3) ( 3) ( 3) ( 3)81 (2) 3 22 2 28 333 ； 3 22228 ( )( ) ( ) ( ) 333327 ； 3 22228 ()() () () 333327 ； 3 ( 2)( 2) ( 2) ( 2)88 3333 【总结升华】注意()na与 n a的意义的区别 22 () n
5、n aa（n 为正整数） ， 2121 () nn aa （n 为正整数） 举一反三：举一反三： 【变式 1】比较(-5)3与-53的异同 【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同； 不同点：(-5)3表示-5 的 3 次方，即(-5)(-5)(-5)-125，而-53表示 5 的 3 次方的相反数，即-53 -(555)因此，它们的底数不同，表示的意义不同 【变式 2】已知2a，且24a，则 3 a的倒数的相反数是 【答案】 1 8 类型二、乘方运算的符号法则类型二、乘方运算的符号法则 2不做运算，判断下列各运算结果的符号 (-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009， 5 5 3
6、，-(-2)2010 【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得： (-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负； 5 5 3 运算的结果是 正；-(-2)2010运算的结果是负 【总结升华】 “一看底数，二看指数” ，当底数是正数时，结果为正；当底数是 0，指数不为时， 结果是 0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负 举一反三：举一反三： 【变式】当 n 为奇数时， 1 1111 44 nnn n 【答案】0 类型三、有理数的混合运算类型三、有理数的混合运算 3 3.计算： （1）-(-3)2+(-2)3(
7、-3)-(-5) （2）73-6(-7)2-(-1)10(-214-24+214) （3） 3 1122 2 2233 ； （4） 2 3 111131 21121324 42434 0.2 【答案与解析】 （1）-(-3)2+(-2)3(-3)-(-5) -9+(-8)(-3+5) -9+(-8)2 -9+(-4)-13 （2） 73-6(-7)2-(-1)10(-214-24+214) (772-672-1)(-214+214-24) 72(7-6)-1(-24) (49-1)(-24) -2 （3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算. 原式 11221111 (2) 8233832
8、4 （4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算. 2 3 3 111131 21121324 42434 0.2 15457551 ()() 24 1 162434 () 5 1257 2424 125 16523 139 6056 125120 4040 【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提 举一反三：举一反三： 【高清课堂：【高清课堂：有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算 356849356849 典型例题典型例题 1 1】 【变式】计算：（1） 2 21 1 1- 1-0.51- 1-0.5 2- -32- -3 3 3 （2） 3
9、3 4 4 1 1 -1 - -1 - 2- -32- -3 6 6 （3） 3 3 20112011 1111 (1+-2.75) (1+-2.75) (-24)+(-1)- -2(-24)+(-1)- -2 3838 4 （4） 3 3 3232 1111 -+|-2 -3|-+|-2 -3| (-0.1)(-0.2)(-0.1)(-0.2) 【答案】 （1）原式 或原式=（1-1+ 11 23 ） （2-9） 1 1 = -7-7 6 6 （2）原式= 1 1 -1- -1- 2- -272- -27 6 6 = 1 1 -1- -1- 2929 6 6 = 3535 - - 6 6 (
10、3) 原式= 41114111 (+-) (+-) (-24)-1-8(-24)-1-8 384384 =-32-3+66-9=22 (4) 原式 1111 -+|-8-3|-+|-8-3| -0.0010.04-0.0010.04 = -1000-25+11= -1000-25+11= -1014= -1014 4.计算： 20112012 ( 2)2 【答案与解析】逆用分配律可得： 2011201220112012201120112011 ( 2)2222( 1 2)1 22 【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有 212222121 222;222 nnnnnn 举一反三：举一反三
11、： 【变式 1】计算： 2019181716432 22222.2222 【答案】原式 = 19181716432181716432 2222.2222222.2222 2 .222 【变式 2】计算： 77 34 ()() 43 【答案】 777 3434 ()()() ()1 4343 类型四、探索规律类型四、探索规律 5. 下面是按一定规律排列的一列数： 第 1 个数： 11 1 22 ； 第 2 个数： 23 11( 1)( 1) 111 3234 ； 7 6 5 1 1 1 -7-7 6 6 7 7 = -= - 6 6 7 7 = -= - 6 6 5 第 3 个数： 2345 1
12、1( 1)( 1)( 1)( 1) 11111 423456 ； 第 n 个数： 2321 11( 1)( 1)( 1) 1111 12342 n nn 那么，在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大的数是（ ） A第 10 个数 B第 11 个数 C第 12 个数 D第 13 个数 【答案】A 【解析】 第 1 个数结果为 11 0 22 ； 第 2 个数结果为 111 326 ； 第 3 个数结果为 111 424 ； ； 发现运算中在 1 1 2 后边的各式为 4365 3456 ，分子、分母相约为 1，所以第 n 个数结果为 11 12n ，把第 10、
13、11、12、13 个数分别求出，比较大小即可 【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的 问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循 举一反三：举一反三： 【变式】观察下面三行数： -3，9，-27，81，-243，729， 0，12，-24，84，-240，732， -1，3，-9，27，-81，243， (1)第行数按什么规律排列? (2)第行数与第行数分别有什么关系? (3)取每行数的第 10 个数，计算这三个数的和 【答案】 (1)第行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，； (2)第行数是第行数相应的数加 3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，；第行数是第 行数相应的数的 1 3 ，即 1 3 3 ， 2 1 ( 3) 3 ， 3 1 ( 3) 3 ， 4 1 ( 3) 3 ，； (3)每行数中的第 10 个数的和是： 101010 1 ( 3)( 3)3( 3) 3 59049+59052+19683137784
