1、 1 一元一次方程一元一次方程的解法（提高）的解法（提高）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据； 2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想； 3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤 变形名 称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的， 去分母后应加上 括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括 号 (1)不要漏
2、乘括号里的项 (2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边， 其他项都移到方程的另一边(记住移项要变 号) (1)移项要变号 (2)不要丢项 合并同 类项 把方程化成 axb(a0)的形式 字母及其指数不变 系数化 成 1 在方程两边都除以未知数的系数 a， 得到 方程的解 b x a 不要把分子、分母写颠倒 要点诠释：要点诠释： （1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可 以合并简化 (2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分
3、母变为整数后再去分母， 注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆 要点二、要点二、解解特殊特殊的一元一次方程的一元一次方程 1.1.含绝对值的一元一次方程含绝对值的一元一次方程 解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意 义 要点诠释：要点诠释：此类问题一般先把方程化为axbc的形式，再分类讨论： (1)当0c时，无解； （2）当0c 时，原方程化为：0axb； （3）当0c 时，原方程可化为： axbc 或axbc. 2.2.含字母的一元一次方程含字母的一元一次方程 此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式 axb，
4、再分三种情况分类讨论： （1）当 a0 时， b x a ； （2）当 a0，b0 时，x 为任意有理数； （3）当 a0，b0 时，方程无 解 【典型例题】【典型例题】 类型一、解较简单的一元一次方程类型一、解较简单的一元一次方程 2 1解方程： (1) 2 53 32 x x； (2)15.4320.6xx 【答案与解析】 解：(1) 2 53 32 x x 移项，合并得 1 8 6 x 系数化为 1，得 x48 (2)15.4x+32-0.6x 移项，得 15.4x+0.6x-32 合并，得 16x-32 系数化为 1，得 x-2 【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
5、 (1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的 右边 (2)合并：即通过合并将方程化为 axb(a0)的形式 (3)系数化为 1：即根据等式性质 2：方程两边都除以未知数系数 a，即得方程的解 b x a 举一反三：举一反三： 【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正? 3x+27x+5 解：移项得 3x+7x2+5，合并得 10 x7 ， 系数化为 1 得 7 10 x 【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的 7x 移 到方程左边应变为-7x，方程左边的 2 移到方程右边应变为-2
6、 正确解法： 解：移项得 3x-7x5-2， 合并得-4x3，系数化为 1 得 3 4 x 类型二、去括号解一元一次方程类型二、去括号解一元一次方程 2. 解方程： 112 (1)(1) 223 xxx 【答案与解析】 解法 1：先去小括号得： 11122 22233 xxx 再去中括号得： 11122 24433 xxx 移项，合并得： 511 1212 x 系数化为 1，得： 11 5 x 3 解法 2：两边均乘以 2，去中括号得： 14 (1)(1) 23 xxx 去小括号，并移项合并得： 511 66 x ，解得： 11 5 x 解法 3：原方程可化为： 112 (1) 1(1)(1)
7、 223 xxx 去中括号，得 1112 (1)(1)(1) 2243 xxx 移项、合并，得 51 (1) 122 x 解得 11 5 x 【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根 据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便例如本题的方法 3：方程左、右两边都含(x-1)， 因此将方程左边括号内的一项 x 变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算 3解方程： 1 1 1 1 11110 2 2 2 2 x 【答案与解析】 解法 1：(层层去括号) 去小括号 1 1 11 1110 2 2 42 x 去中括号 1 111 110 2
8、842 x 去大括号 1111 10 16842 x 移项、合并同类项，得 115 168 x ，系数化为 1，得 x30 解法 2：(层层去分母) 移项，得 1 1 1 1 1111 2 2 2 2 x 两边都乘 2，得 1 1 1 1112 2 2 2 x 移项，得 1 1 1 113 2 2 2 x 两边都乘 2，得 1 1 116 2 2 x 移项，得 1 1 17 2 2 x ，两边都乘 2，得 1 114 2 x 4 移项，得 1 15 2 x ，系数化为 1，得 x30 【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做 举一反三：举一反三： 【变式】解方程 1 1
9、1 1 1641 2 3 4 5 x 【答案】 解：方程两边同乘 2，得 1 1 1 1642 3 4 5 x 移项、合并同类项，得 1 1 1 162 3 4 5 x 两边同乘以 3，得 1 1 166 4 5 x 移项、合并同类项，得 1 1 10 4 5 x 两边同乘以 4，得 1 10 5 x 移项，得 1 1 5 x ，系数化为 1，得 x5 类型三、解含分母的一元一次方程类型三、解含分母的一元一次方程 【高清课堂：【高清课堂：一元一次方程的解法一元一次方程的解法 388407388407 解较复杂的一元一次方程解较复杂的一元一次方程】 4解方程： 41.550.81.2 0.50.
10、20.1 xxx 【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误 【答案与解析】 解法 1：将分母化为整数得： 401550812 10 521 xxx 约分，得：8x-3-25x+412-10 x 移项，合并得： 11 7 x 解法 2：方程两边同乘以 1，去分母得： 8x-3-25x+412-10 x 移项，合并得： 11 7 x 【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法 1；但有时直接去分母更简便一些， 如解法 2 举一反三：举一反三： 【变式】解方程 0.40.90.30.2 1 0.50.3 yy 【答案】 5 解：原方程可化为 493
11、2 1 53 yy 去分母，得 3(4y+9)-5(3+2y)15 去括号，得 12y+27-15-10y15 移项、合并同类项，得 2y3 系数化为 1，得 3 2 y 类型四、解含绝对值的方程类型四、解含绝对值的方程 5解方程：3|2x|-20 【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求 x 的值 【答案与解析】 解：原方程可化为： 2 2 3 x 当 x0 时，得 2 2 3 x ，解得： 1 3 x ， 当 x0 时，得 2 2 3 x，解得： 1 3 x ， 所以原方程的解是 x 1 3 或 x 1 3 【总结升华】此类问题一般先把方程化为axbc的形式，再根据（a
12、xb）的正负分类讨论，注 意不要漏解 举一反三：举一反三： 【变式】解方程|x-2|-10 【答案】 解：原方程可化为：|x-2|=1，当 x-20，即 x2 时，原方程可化为 x-21，解得 x3； 当 x-20，即 x2 时，原方程变形为-(x-2)=1，解得 x1 所以原方程的解为 x3 或 x1 类型五、解含字母系数的方程类型五、解含字母系数的方程 6. 解关于x的方程：1mxnx 【答案与解析】 解：原方程可化为：()1mn x 当0mn，即mn时，方程有唯一解为： 1 x mn ； 当0mn，即mn时，方程无解 【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式axb，再根据x系数a是否为零进行分类讨 论 【高清课堂：【高清课堂：一元一次方程的解法一元一次方程的解法 388407388407 解含字母系数的方程解含字母系数的方程】 举一反三：举一反三： 【变式】若关于x的方程(k-4)x=6 有正整数解，求自然数 k 的值. 【答案】 6 解：原方程有解， 40k 原方程的解为： 6 4 x k 为正整数，4k 应为 6 的正约数，即4k 可为：1，2，3，6 k为：5，6，7，10 答：自然数 k 的值为：5，6，7，10.
