1、目目 录录 基础基础在批注中理解透在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 考点考点在细解中明规律在细解中明规律 题目千变总有根，梳干理枝究其本题目千变总有根，梳干理枝究其本 课时跟踪检测课时跟踪检测 等差数列等差数列 基础基础在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 1等差数列的有关概念等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这 个常数叫做等差
2、数列的公差，符号表示为个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an 1and (n N*，d为常数为常数) (2)等差中项：数列等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是成等差数列的充要条件是A ab 2 ，其中，其中A叫做叫做a，b的等差中项的等差中项 d0an为递增数列，为递增数列， d0an为常数列，为常数列， d0an为递减数列为递减数列 2等差数列的有关公式等差数列的有关公式 (1)通项公式：通项公式：ana1(n1)d . (2)通项公式的推广：通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*) (3)前前n项和公式：项和公式：Snna1n n 1 2 dn a 1 an 2 . 当
3、当d0时，等差数列时，等差数列an的的 通项公式通项公式andn(a1d)是是 关于关于d的一次函数的一次函数 当当d0时，等差数列时，等差数列an的前的前n项和项和Sn d 2n 2 a1d 2 n是关于是关于n的二次函数的二次函数 熟记常用结论熟记常用结论 1若若an为等差数列，且为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则，则 akalaman. 2若若an是等差数列，公差为是等差数列，公差为d，则，则a2n也是等差数列，公也是等差数列，公 差为差为2d. 3若若an，bn是等差数列，则是等差数列，则panqbn也是等差数列也是等差数列 4若若an是等差数列，公差为是等差数列，公差为
4、d，则，则ak，ak m，ak2m，(k， mN*)是公差为是公差为md的等差数列的等差数列 5若若an是等差数列，则是等差数列，则 Sn n 也成等差数列，其首项与也成等差数列，其首项与an首首 项相同，公差是项相同，公差是an公差的公差的1 2. 6若若an是等差数列，是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为分别为an的前的前m项，前项，前2m 项，前项，前3m项的和，则项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列也成等差数列 7关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (1)若项数为若项数为2n，则，则S偶 偶S奇奇nd，S 奇奇 S偶 偶 an a
5、n 1. (2)若项数为若项数为2n1，则，则S偶 偶(n1)an，S奇奇nan，S奇奇S偶偶an， S奇 奇 S偶 偶 n n1. 8两个等差数列两个等差数列an，bn的前的前n项和项和Sn，Tn之间的关系为之间的关系为an bn S2n 1 T2n 1. 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打对的打“”，错的打，错的打“”“”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列则这个数列是等差数列 ( ) (2)等差数列等差数列an的单调性是由公差的单调性是由公差d决定的决定的 ( ) (3
6、)等差数列的前等差数列的前n项和公式是常数项为项和公式是常数项为0的二次函数的二次函数 ( ) (4)已知等差数列已知等差数列an的通项公式的通项公式an32n，则它的公差为，则它的公差为2. ( ) 二、选填题二、选填题 1在等差数列在等差数列 an中，若 中，若a24，a42，则，则a6 ( ) A1 B0 C1 D6 解析：解析： an为等差数列，为等差数列， 2a4a2a6，a62a4a22240. B 2等差数列等差数列an中，中，a1a510，a47，则数列，则数列an的公的公 差为差为 ( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析：设公差为设公差为d.a1a52a310，a35，
7、又又a47，d2.故选故选B. B 3等差数列等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且S36，a14，则公差，则公差d 等于等于 ( ) A1 B.5 3 C2 D3 解析：解析：S363 2(a1 a3)，且，且a3a12d，a14， d2，故选，故选C. C 4已知等差数列已知等差数列8，3,2,7，则该数列的第，则该数列的第100项为项为 _ 解析：解析：依题意得，该数列的首项为依题意得，该数列的首项为8，公差为，公差为5， 所以所以a1008995487. 487 5在等差数列在等差数列an中，中，a10，公差，公差d0，若，若ama1a2 a9，则，则m的值为的值为_ 解析：解
8、析：ama1a2a99a19 8 2 d36da37， m37. 37 考点考点在细解中明规律 题目千变总有根，梳干理枝究其本题目千变总有根，梳干理枝究其本 考点一考点一 等差数列基本量的运算等差数列基本量的运算基础自学过关基础自学过关 题组练透题组练透 1(2018 全国卷全国卷)记记Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和，若项和，若3S3 S2S4，a12，则，则a5 ( ) A12 B10 C10 D12 解析：解析：设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，由，由3S3S2S4，得，得3(3a1 3d)2a1d4a16d，即，即3a12d0.将将a12代入上式，代入上式， 解得解
9、得d3，故，故a5a1(51)d24(3)10. B 2(2017 全国卷全国卷)记记Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和若项和若a4a5 24，S648，则，则an的公差为的公差为 ( ) A1 B2 C4 D8 解析：解析：设等差数列设等差数列an的公差为的公差为 d， 则由则由 a4a524， S648， 得得 a13da14d24， 6a16 5 2 d48， 即即 2a17d24， 2a15d16， 解得解得 d4. C 3(2019 西安质检西安质检)已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且a3 a5 12，a20.若若a10，则，则S20 ( ) A4
10、20 B340 C420 D340 解析：解析：设数列设数列an的公差为的公差为 d，则，则 a3a2dd，a5a23d 3d，由，由 a3 a512，得，得 d 2，由，由 a10，a20，可知，可知 d0， 所以所以 d2，所以，所以 a12，故，故 S2020220 19 2 (2) 340. D 4(2019 西安八校联考西安八校联考)设数列设数列an是等差数列，且是等差数列，且a26， a66，Sn是数列是数列an的前的前n项和，则项和，则 ( ) AS4S3 BS4S3 CS4S1 DS4S1 解析：解析： 设设an的公差为的公差为 d， 由， 由 a26， a66， 得， 得 a
11、1d6， a15d6， 解得解得 a19， d3. 于是，于是，S19，S33(9)3 2 2 3 18，S44(9)4 3 2 318，所以，所以 S4S3，S4S1，故，故 选选 B. B 名师微点名师微点 等差数列基本运算的常见类型及解题策略等差数列基本运算的常见类型及解题策略 (1)求公差求公差d或项数或项数n.在求解时，一般要运用方程思想在求解时，一般要运用方程思想 (2)求通项求通项a1和和d是等差数列的两个基本元素是等差数列的两个基本元素 (3)求特定项利用等差数列的通项公式或等差数列的性求特定项利用等差数列的通项公式或等差数列的性 质求解质求解 (4)求前求前 n 项和利用等差
12、数列的前项和利用等差数列的前 n 项和公式直接求解项和公式直接求解 或利用等差中项间接求解或利用等差中项间接求解 考点二考点二 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 若数列若数列an的前的前n项和为项和为Sn，且满足，且满足an2SnSn 10(n2)，a11 2. (1)求证：求证： 1 Sn 成等差数列；成等差数列； 解解 证明证明：当：当n2时，由时，由an2SnSn 10， 得得SnSn 12SnSn1， 因为因为Sn0，所以，所以 1 Sn 1 Sn 1 2， 又又 1 S1 1 a1 2， 故故 1 Sn 是首项为是首项为2，公差为公差
13、为2的等差数列的等差数列 (2)求数列求数列an的通项公式的通项公式 解解 由由(1)可得可得 1 Sn 2n，所以所以Sn 1 2n. 当当n2时时， anSnSn 1 1 2n 1 2 n1 n1n 2n n1 1 2n n1 . 当当n1时时，a11 2不适合上式 不适合上式 故故an 1 2， ，n1， 1 2n n1 ， ，n2. 变式发散变式发散 (变条件变条件)将本例条件将本例条件“an2SnSn 10(n2)，a11 2” ”变为变为 “Sn(Snan)2an0(n2)，a12”，问题不变，试求解，问题不变，试求解 解：解：(1)证明：当证明：当n2时，时，anSnSn 1且且
14、Sn(Snan)2an0， 所以所以SnSn(SnSn 1)2(SnSn1)0， 即即SnSn 12(SnSn1)0， 因为因为Sn0，所以，所以 1 Sn 1 Sn 1 1 2. 又又 1 S1 1 a1 1 2，故数列 ，故数列 1 Sn 是以首项为是以首项为1 2，公差为 ，公差为1 2的等差数列 的等差数列 (2)由由(1)知知 1 Sn n 2，所以 ，所以Sn2 n， ， 当当n2时，时，anSnSn 1 2 n n1 . 当当n1时，时，a12不适合上式，故不适合上式，故an 2，n1， 2 n n1 ， ，n2. 解题技法解题技法 等差数列的判定与证明方法等差数列的判定与证明方
15、法 方法方法 解读解读 适合题型适合题型 定义法定义法 对于数列对于数列an，anan 1(n2，nN*) 为同一常数为同一常数an是等差数列是等差数列 等差中等差中 项法项法 2an 1anan2(n3，nN*)成立成立 an是等差数列是等差数列 解答题中的解答题中的 证明问题证明问题 通项公通项公 式法式法 anpnq(p，q为常数为常数)对任意的正整对任意的正整 数数n都成立都成立an是等差数列是等差数列 前前n项和项和 公式法公式法 验证验证SnAn2Bn(A，B为常数为常数)对任意对任意 的正整数的正整数n都成立都成立an是等差数列是等差数列 选择、填空选择、填空 题中的判定题中的判
16、定 问题问题 过关训练过关训练 1已知数列已知数列an满足：满足：a12，an 13an3n 1 2n，设，设bn an2n 3n ，求证：数列，求证：数列bn为等差数列，并求为等差数列，并求an的通项公式的通项公式 证明：证明：因为因为bn 1bna n 12n 1 3n 1a n 2n 3n 3a n 3n 1 2n2n 1 3n 13a n 3 2n 3n 11， 所以所以bn为等差数列，为等差数列， 又又b1a 1 2 3 0，所以，所以bnn1， 所以所以an(n1) 3n2n. 2已知数列已知数列an满足满足(an 11)(an1)3(anan1)，a12， 令令bn 1 an1.
17、 (1)求证：数列求证：数列bn是等差数列；是等差数列； (2)求数列求数列an的通项公式的通项公式 解：解：(1)证明证明：因为因为 1 an 11 1 an1 anan 1 an 11 an1 1 3， ， 所以所以bn 1bn1 3， ，所以数列所以数列bn是等差数列是等差数列 (2)由由(1)及及b1 1 a11 1 21 1，知知bn1 3n 2 3， ， 所以所以an1 3 n2， ，所以所以ann 5 n2. 考点三考点三 等差数列的性质与应用等差数列的性质与应用师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 (1)已知等差数列已知等差数列an的前的前 10项和为项和为 30， 它的
18、前， 它的前 30项和为项和为 210， 则前则前 20 项和为项和为 ( ) A100 B120 C390 D540 解析解析 设设Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和，项和， 则则S10，S20S10，S30S20成等差数列，成等差数列， 2(S20S10)S10(S30S20)， 又等又等差数列差数列an的前的前10项和为项和为30，前，前30项和为项和为210， 2(S2030)30(210S20)，解得，解得S20100. A (2)已知已知 Sn是等差数列是等差数列an的前的前 n 项和，若项和，若 a12 014，S2 014 2 014 S2 008 2 008 6，则，
19、则 S2 019_. 解析解析 由等差数列的性质可得由等差数列的性质可得 Sn n 也为等差数列也为等差数列 设其公差为设其公差为d，则，则 S2 014 2 014 S2 008 2 008 6d6，d1. 故故 S2 019 2 019 S1 1 2 018d2 0142 0184， S2 01942 0198 076. 8 076 (3)在等差数列在等差数列an中， 已知中， 已知 a113,3a211a6， 则数列， 则数列an的前的前 n 项和项和 Sn的最大值为的最大值为_ 解析解析 法一：通项法法一：通项法 设等差数列设等差数列an的公差为的公差为 d. 由由 3a211a6，得
20、，得 3(13d)11(135d)，解得，解得 d2，所，所 以以 an13(n1)(2)2n15. 由由 an0， an 10， 得得 2n150， 2 n1 150， 解得解得13 2 n15 2 . 因为因为 nN*， 所以当所以当 n7 时，数列时，数列an的前的前 n 项和项和 Sn最大，最大值为最大，最大值为 S7 7 132715 2 49. 49 法二：二次函数法法二：二次函数法 设等差数列设等差数列an的公差为的公差为 d. 由由 3a211a6，得，得 3(13d)11(135d)，解得，解得 d2， 所以所以 an13(n1)(2)2n15. 所以所以 Snn 13 15
21、2n 2 n214n(n7)249， 所以当所以当 n7 时，数列时，数列an的前的前 n 项和项和 Sn最大，最大值为最大，最大值为 S7 49. 解题技法解题技法 1等差数列的主要性质等差数列的主要性质 一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注 意性质运用的条件， 如意性质运用的条件， 如 mnpq， 则， 则 amanapaq(m， n， p，qN*)；数列；数列 Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；也成等差数列； Sn n 也成等差数列等差数列的性质是解题的重要工具也成等差数列等差数列的性质是解题的重要工具 2求数列前求数
22、列前 n 项和的最值的方法项和的最值的方法 (1)通项法：通项法：若若 a10，d0，则，则 Sn必有最大值，其必有最大值，其 n 的的 值可用不等式组值可用不等式组 an0， an 10 来确定；来确定；若若 a10，则，则 Sn必必 有最小值，其有最小值，其 n 的值可用不等式组的值可用不等式组 an0， an 10 来确定来确定 (2)二次函数法：等差数列二次函数法：等差数列an中，由于中，由于 Snna1n n 1 2 dd 2n 2 a1d 2 n，可用求函数最值的方法来求前，可用求函数最值的方法来求前 n 项和的最项和的最 值，这里应由值，这里应由 nN N *及二次函数图象的对称
23、性来确定 及二次函数图象的对称性来确定 n 的值的值 (3)不等式组法： 借助不等式组法： 借助 Sn最大时， 有最大时， 有 SnSn 1， SnSn 1 (n2， nN N *)，解此不等式组确定 ，解此不等式组确定 n 的范围，进而确定的范围，进而确定 n 的值和的值和 对应对应 Sn的值的值(即即 Sn的最值的最值) 过关训练过关训练 1(2019 聊城模拟聊城模拟)设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若S13 104，a65，则数列，则数列an的公差为的公差为 ( ) A2 B3 C4 D5 解析：解析：设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d. 因为因为S13
24、104， 所以所以13 a 1 a13 2 104，所以，所以13a7104，解得，解得a78. 因为因为a65，所以，所以da7a6853. B 2已知等差数列已知等差数列an的前的前 n 项和是项和是 Sn，若，若 S150，S160，则，则 Sn的最大值是的最大值是 ( ) AS1 BS7 CS8 DS15 解析：解析：由等差数列的前由等差数列的前n项和公式可得项和公式可得S1515a80，S16 8(a8a9)0，所以，所以a80，a90，则，则da9a80， 所以在数列所以在数列an中，当中，当n9时，时，an0，当，当n9时，时，an0， 所以当所以当n8时，时，Sn最大，故选最大，故选C. C 3(2018 全国卷全国卷)记记 Sn为等差数列为等差数列an的前的前 n 项和，已知项和，已知 a1 7，S315. (1)求求an的通项公式；的通项公式； (2)求求 Sn，并求，并求 Sn的最小值的最小值 解：解：(1)设设an的公差为的公差为d， 由题意得由题意得3a13d15. 又又a17，所以，所以d2. 所以所以an的通项公式的通项公式为为an2n9. (2)由由(1)得得Snn a 1 an 2 n28n(n4)216， 所以当所以当n4时，时，Sn取得最小值，最小值为取得最小值，最小值为16.
