1、 汕头市汕头市 20202021 学年度普通高中毕业班教学质量监测试题学年度普通高中毕业班教学质量监测试题 数学数学 考生注意： 1答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名等信息填涂在答题卡相应位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回 第卷第卷 选择题选择题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
2、目要求的 1已知集合 240Ax xx，3Bx x，则AB（ ） A2x x B4x x C23xx DR 2已知a是实数， 1 ai i 是纯虚数，则a （ ） A1 B2 C1 D2 3中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角 边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组勾股数 3，4，5，则由这组勾股数组成 没有重复数字的三位数中，能被 2 整除的概率为（ ） A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 4已知 3 sin3a ， sin3 3b ，lnsin3c ，则a，b，c的大小关系为（ ） Abac Bcba
3、Cacb Dcab 5爱美之心，人皆有之健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目为了了解运动健身减肥的效果，某健 身房调查了 100 名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如柱状图 1 所示，经过六个月的健身后， 他们的体重情况如柱状图 2 所示对比健身前后，关于这 100 名肥胖者，下面结论不正确 的是（ ） 柱状图 1 柱状图 2 A他们健身后，体重在区间90,100内的人数增加了 10 个 B他们健身后，原来体重在区间110,120内的肥胖者体重都有减少 C他们健身后，体重在区间100,110内的人数没有改变 D因为体重在100,110内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有
4、任何影响 6 5 22xyxy的展开式中的 33 x y系数为（ ） A200 B120 C120 D200 7已知定义在R的函数 yfx满足以下条件：对任意Rx都有 0fxfx；对任意 12 ,0,x x 且 12 xx都有 1212 0 xxfxfx ； 20f，则不等式 2 log0fx 的 解集为（ ） A 1 0,4, 4 B,22, C4, D2, 8运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个 平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等构造一个底面半径和高都与球的半径相等的 圆柱，与半球（如图 1）放置在同一平面上，然后在圆
5、柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面 为底面的圆锥后得到一新几何体（如图 2） ，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两 个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等现将椭圆 22 1 1636 xy 绕y轴旋转一周后得一橄榄状 的几何体（如图 3） ，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ） 图 1 图 2 图 3 A64 B148 C128 D32 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求小题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9已知数列 n a是公差为 3 的等差数列， 4 1a ，数列 n
6、 a前n项和为 n S，下面选项中正确的是（ ） A 86 21aa B n S小值为15 C0 n S 时n的最小值为 7 D n a前n项之积最大值 40 10下列不等式正确的有（ ） A当 0, 2 x 时，函数 2 sin sin yx x 的最小值为2 2 B若log x a ax恒成立，则22 a C函数 3 1 2yx x 0 x 的最小值为12 6 D已知实数a，b满足lnlnab且ab，则 14 ab 的最小值是 4 11已知函数 sinf xAx0,0, 2 A 的部分图象如上图所示，现将 yf x的图 象向左平移 4 个单位，得到 yg x的图象，下列说法错误 的是（ ）
7、 A该图象对应的函数解析式为 2sin 2 3 fxx B函数 yg x的图象关于直线 6 x 对称 C函数 yg x的图象关于点,0 12 对称 D函数 yg x在, 6 3 上单调递增 12如图，棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，M为线段 1 AB上的动点（含端点） ，则下列结论正确 的是（ ） A平面BCM 平面 1 A AM B三棱锥 1 BMBC体积最大值为 1 6 C当M为 1 AB中点时，直线 1 B D与直线CM所成的角的余弦值为 2 3 D直线CM与 1 AD所成的角不可能是 4 第第卷卷 非选择题非选择题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题小
8、题 13设向量,1ax，2,bx，且ab，则x _ 14已知ABC的三个顶点分别为3,0A ，2,1B，2,3C ，则顶点B到BC边上中线AD所在直 线的距离为_ 15如图，一辆汽车以每秒 20 米的速度在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北 15的方向上，行驶到达B处时，测得此山顶D在西偏北 75的方向上，仰角为 60，已知山 的高度 360062CD 米，则汽车从A到B行驶了_小时 16直三棱柱的顶点都在一个半径为 3 的球面上，底面是等腰ABC，且 3 4 ABACBC，当直三棱 柱的体积最大时，此时它的高的值为_ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共
9、6 小题小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 222 sinsinsinsinsinABCBC，2 cos2aCbc这两个条件中任选一个，补充到下面 问题的横线中，并解答 已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，bc，2 3a ，4b 且满足_，求ABC面积 18已知公比不为 1 的等比数列 n a，其前n项和为 n S， 4 1 81 a ，且 1 S， 2 S， 3 3a成等差数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若cos nn ban，求数列 n nb的前n项和 19 已知边长为 2 的等边ABC（图 1） ， 点D和点E分别
10、是边AC、AB上的中点， 将ADE沿直线DE 折到ADE的位置，使得平面A DE平面BCDE（图 2） ，此时点O和点P分别是边DE、BE上的中 点 （1）证明：CD 平面AOP； （2）求平面ACD与平面BCDE所成锐二面角的余弦值 图 1 图 2 20当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，为提高防控能力以及实效，某学校为 宣传防疫知识做了大量工作，近期该校还将准备组织一次有关新冠病毒预防知识竞赛活动，竞赛分初赛和 决赛两阶段进行 初赛共有 5 道必答题， 答对 4 道或 4 道以上试题即可进入决赛； 决赛阶段共 3 道选答题 每 位同学都独立答题，且每道题是否答对相互独立
11、已知甲同学初赛阶段答对每道题的概率为 2 3 ，决赛阶段 答对每题的概率为 1 3 （1）求甲同学进入决赛的概率； （2）在决赛阶段，若选择答题，答对一道得 4 分，答错一道扣 1 分，选择放弃答题得 0 分，已知甲同学对 于选答的 3 道题，选择回答和放弃回答的概率均为 1 2 已知甲同学已获决赛资格，求甲同学在决赛阶段， 得分x的分布列及数学期望 21已知椭圆C： 22 22 1 xy ab 0ab其左、右焦点分别为 1 F、 2 F，且离心率为 2 2 ，点B为椭圆的 一个顶点，三角形 12 BFF的面积为 2 （1）求椭圆C的方程； （2）若点A为椭圆的左顶点，点P在椭圆C上，线段AP
12、的垂直平分线与y轴相交于点Q，若PAQ为 等边三角形，求点P的横坐标 22已知 ln11 x f xaex （1）当1a 时，求 f x的最小值； （2）若 1 lnf x a 恒成立，求a的取值范围 汕头市汕头市 20202021 学年度普通高中毕业班教学质量监测试题学年度普通高中毕业班教学质量监测试题 数学数学参考参考答案答案 一一、单项选择题：本题共、单项选择题：本题共 12 小题小题 1B 2C 3B 4D 5D 6A 7A 8C 二二、多项选择题多项选择题：本题共：本题共 4 小题小题 9BCD 10CD 11BD 12ABC 三三、填空题：本题共、填空题：本题共 4 小题小题 13
13、0 14 7 13 13 150.1 162 3 四四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解：若选： 222 sinsinsinsinsinABCBC， 由正弦定理得 222 abcbc， 又2 3a ，4b ，代入 222 abcbc 解得2c 222 bac 2 B ABC面积 11 2 3 22 3 22 ABC Sac 若选： 222 sinsinsinsinsinABCBC， 由正弦定理得 222 abcbc， 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ， 0A 3 A 又2 3a ，4b ，代入 22
14、2 abcbc 解得2c ABC面积 113 sin4 22 3 222 ABC SbcA 若选： 222 sinsinsinsinsinABCBC， 由正弦定理得 222 abcbc， 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ， 0A 3 A 又2 3a ，4b ， 由正弦定理 sinsin ab AB 得 2 34 sin sin 3 B ，sin1B 0B， 2 B 6 C ABC面积 111 sin2 3 42 3 222 ABC SabC （得到 2 B 后，也可以算出边 22 2cba然后 11 2 3 22 3 22 ABC Sac ） 若选：2 cos2aCb
15、c， 由余弦定理得 222 22 2 abc abc ab ， 整理得 222 abcbc， 下面的解答与选的各种解法一样 若选：2 cos2aCbc， 由余弦定理得 222 22 2 abc abc ab ， 整理得 222 abcbc， 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ， 0A 3 A 下面的解答与选的各种解法一样 若选：2 cos2aCbc，由正弦定理得 2sincos2sinsin2sinsin2sincos2cossinsinACBCACCACACC 整理得2cossinsinACCsin0C ， 1 cos 2 A，0A 3 A 下面的解答与选的各种解法一
16、样 （若用其他解法做对按分值和相应步骤给分） 18解： （1）设等比数列 n a的公比为q1q ，且 1 S， 2 S， 3 3a成等差数列 所以有 213 23SSa 1213 23aaaa，即 2 3210qq ，且1q 解得： 1 3 q ，又 4 1 81 a 3 1 11 381 a ，即 1 1 3 a 1 1 1 3 n n n aa q （2）由（1）可知， 1 3 n n a ，得 1 cos 3 n n bn cos1 n n 11 1 33 nn n n b ，即 1 3 n n nbn 123 1111 123 3333 n n Tn 2341 11111 123 33
17、333 n n Tn ，得 1231 211111 333333 nn n Tn 1 11 1 33 1 1 3 1 3 n n n 1 1111 2233 nn n 1 33113321323 443234434 3 nnn n n n nnn T 19 （1）连接BD 点O和点P分别是边DE、BE上的中点 /BD OP 等边ABC中，点D是边AC的中点 DCBDDCOP 等边ADE中，点O是边DE的中点 AODE 又AO平面A DE 平面A DE平面BCDE且平面A DE平面BCDEDE AO平面BCDEAOCD AOOPOCD 平面AOP （2）连接BC的中点H，由图 1 得OHBC以O
18、为坐标原点，分别以OH，OD， OA 所在直线为x， y，z轴建立空间直角坐标系， 则 3 0,0, 2 A ， 1 0,0 2 D ， 3 ,1,0 2 C ，所以 13 0, 22 DA ， 3 1 ,0 22 DC 设平面ACD的法向量为, ,nx y z 由 13 0 22 31 0 22 n DAyz n DCxy ，取3y ，得 1, 3,1n ； 因为平面BCDE的法向量为0,0,1m 设平面ACD与平面BCDE所成锐二面角为 15 cos 51 3 1 m n m n 所以，平面ACD与平面BCDE所成锐二面角的余弦值为 5 5 20解： （1）甲同学进入决赛的概率为： 45
19、45 55 212112 333243 PCC （2）依题意得，甲同学每道题选择回答并答对的概率为 111 236 ， 选择回答且答错的概率为 111 236 ，选择放弃回答的概率为 1 2 X的可能取值为3，2，1，0，2，3，4，7，8，12 所以 3 11 3 327 P X ， 2 1 3 111 2 236 P XC ， 2 2 3 111 1 234 P XC ， 3 11 0 28 P X ， 2 2 3 111 2 3618 P XC ， 11 32 1111 3 2366 P XCC， 2 2 3 111 4 268 P XC ， 2 1 3 111 7 3636 P XC
20、， 2 1 3 111 8 2624 P XC ， 3 11 12 6216 P X ， 所以X的分布列为： X 3 2 2 0 2 3 4 7 8 12 P 1 27 1 6 1 4 1 8 1 18 1 6 1 8 1 36 1 24 1 216 111111111 32123478121 276418683624216 E x 21 【解答】解： （1）由题意有： 222 2 2 2 c a bc abc 解得： 2 2 a b 所以椭圆C的方程为： 22 1 42 xy （2）方法 1：设 00 ,P x y，则 22 00 1 42 xy ，且2,0A ， 若点P为右顶点，则点Q为上
21、（或下）顶点4AP ，6AQ ， PAQ不是等边三角形，不合题意，所以 0 2x ， 0 0y 设线段PA中点为M，所以 00 2 , 22 xy M ， 因为PAMQ，所以1 PAMQ kk ， 因为直线PA的斜率 0 0 2 AP y k x ，所以直线MQ的斜率 0 0 2 MQ x k y ， 又直线MQ的方程为 000 0 22 22 yxx yx y ， 令0 x ，得到 00 0 0 22 22 Q xxy y y 因为 22 00 1 42 xy ，所以 0 2 Q y y ， 因为PAQ为正三角形， 所以APAQ，即 2 2 22 0 00 22 4 y xy 化简，得到 2
22、 00 532120 xx， 解得 0 2 5 x ， 0 6x （舍） 故点P的横坐标为 2 5 方法 2：设 00 ,P xy，直线AP的方程为2yk x 当0k 时，点P为右顶点，则点Q为上（或下）顶点，4AP ，6AQ ， PAQ不是等边三角形，不合题意，所以0k 联立方程 22 1 42 2 xy yk x ，消元得 2222 128840kxk xk， 所以160 ，所以 2 0 2 8 2 12 k x k ， 设线段PA中点为M，所以 2 0 2 24 212 M xk x k ， 2 22 42 2 1212 M kk yk kk ， 所以 2 22 42 , 1212 kk
23、 M kk ， 因为APMQ，所以 1 MQ K k ， 所以直线MQ的方程为 2 22 214 1212 kk yx kkk ， 令0 x ，得到 2 222 2142 121212 Q kkk y kkkk ， 因为PAQ为正三角形，所以APAQ， 所以 2 2 22 42 14 1 21 2 k k kk ， 化简，得到 42 430kk ，解得 2 3 4 k ， 2 1k （舍） ， 所以 2 0 2 422 125 k x k ， 故点P的横坐标为 2 5 方法 3：设 00 ,P xy，当直线AP的斜率为 0 时，点P为右顶点， 则点Q为上（或下）顶点，4AP ，6AQ ， PA
24、Q不是等边三角形，不合题意，所以直线AP的斜率不为 0 设直线AP的方程为2xty， 联立方程 22 1 42 2 xy xty ，消元得， 22 240tyty， 所以 0 2 4 2 t y t ， 设线段PA中点为M，所以 2 2 2 M t y t ， 2 4 2 M x t ， 所以 22 42 , 22 t M tt ， 因为APMQ，所以 1 MQ k k ， 所以直线MQ的方程为 22 24 22 t yt x tt ， 令0 x ，得到 2 2 2 Q t y t 因为PAQ为正三角形，所以APAQ 所以 2 2 22 42 14 22 tt t tt 化简，得到 42 34
25、0tt，解得 2 4 3 t ， 2 1t （舍） 所以 2 0 2 242 45 t x t ， 故点P的横坐标为 2 5 22解： （1）当1a 时， ln11 x f xex， f x的定义域为1, ， 1 1 x fxe x ， 2 1 0 1 x fxe x 恒成立，故 fx在1, 上单调递增（不二次求导 直接判断，不扣分） ， 00 f ，当1,0 x 时， 0fx，当0,x时， 0fx min 00f xf （2）若原式成立，即ln1ln10 x aexa 恒成立， 令 ln1ln1 x g xaexa，1,x ，0,a， 1 1 x gxae x ， 2 1 0 1 x gxa
26、e x ， gx在1, 上单调递增， 当1a 时，由知 0g xf x恒成立，故1a 成立； 当01a时， 0ln110gaaa ，故不成立； 当1a 时， 010ga ， 11 11 1 110 aa gaeaa e a ， 1 100gg a ， gx在1, 上有唯一零点 0 x，且 0 1 1,0 x a ， 当 0 1,0 x 时， 0gx，当 0 0,x 时， 0gx， 0 0 0 1 0 1 x gxae x ，则 0 0 1 1 x ae x ，即 00 lnln1axx ， 0 000 min 0 1 ln1ln1lnln1 1 x g xg xaexaaxa x 00 00 11 12ln2212ln22ln0 11 xaxaa xx ， 故1a 成立， 所以，综上所述1a
