1、数学 对数与对数函数 01 基础知识 自主回顾 02 学科素养 探究提升 03 高效演练 分层突破 一、知识梳理一、知识梳理 1对数对数 概念概念 如果如果 axN(a0，且且 a1)，那么数那么数 x 叫做以叫做以 a 为底数为底数 N 的的 _，记作记作 xlogaN，其中其中 a 叫做对数的底数叫做对数的底数，N 叫做叫做 真数真数，logaN 叫做对数式叫做对数式 性质性质 对数式与指数式的互化：对数式与指数式的互化：axNxlogaN(a0，且且 a1) loga10，logaa1，alogaN_ (a0，且且 a1) 对数对数 N 运算法则运算法则 loga(M N)_ a0，且且
2、 a1， M0，N0 logaM N _ logaMnnlogaM(nR) 换底公式换底公式 logablogcb logca(a0， ，且且 a1，c0，且且 c1，b0) logaM logaN logaM logaN 2.对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质 a1 0a1 0a1 时时，y0 当当 0x1 时时，y1 时时，y0 当当 0x0 在在(0，)上是上是_ 在在(0，)上是上是_ (0，) (1，0) 增函数增函数 减函数减函数 3.反函数反函数 指数函数指数函数 yax与对数函数与对数函数 ylogax 互为反函数互为反函数， 它们的图象关于直线它们的图象关于直线_对称对
3、称 yx 常用结论常用结论 1换底公式的三个重要结论换底公式的三个重要结论 logab 1 logba； ；logambn n mlogab； ；logablogbclogcdlogad. 2对数函数的图象与底数大小的关系对数函数的图象与底数大小的关系 如图如图，作直线作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相 应的底数应的底数 故故 0cd1ab. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内与由此我们可得到以下规律：在第一象限内与 y1 相交的对数函数相交的对数函数 从左到右底数逐渐增大从左到右底数逐渐增大 二、教材衍化二、教材衍化 1(log29)
4、 (log34)_ 解析：解析：(log29) (log34)lg 9 lg 2 lg 4 lg 3 2lg 3 lg 2 2lg 2 lg 3 4. 答案：答案：4 2若函数若函数 yf(x)是函数是函数 y2x的反函数的反函数，则则 f(2)_ 解析：解析：由题意知由题意知 f(x)log2x， 所以所以 f(2)log221. 答案：答案：1 3函数函数 yloga(4x)1(a0，且且 a1)的图象恒过点的图象恒过点_ 解析：解析：当当 4x1 即即 x3 时时，yloga111. 所以函数的图象恒过点所以函数的图象恒过点(3，1) 答案：答案：(3，1) 4已知已知 a2 1 3，b
5、log21 3， ，clog1 2 1 3， ，则则 a，b，c 的大小关系为的大小关系为_ 解析：解析：因为因为 0a1，b1.所以所以 cab. 答案：答案：cab 一、思考辨析一、思考辨析 判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)loga(MN)logaMlogaN. ( ) (2)logaxlogayloga(xy) ( ) (3)函数函数 ylog2x 及及 ylog1 3 3x 都是对数函数都是对数函数 ( ) (4)对数函数对数函数 ylogax(a0 且且 a1)在在(0，)上是增函数上是增函数 ( ) (5)函数函数 yln 1x 1x与
6、 与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同的定义域相同 ( ) (6)对数函数对数函数 ylogax(a0 且且 a1)的图象过定点的图象过定点(1，0)，且过点且过点(a，1)， 1 a， ，1 ，函数函数 图象只经过第一、四象限图象只经过第一、四象限 ( ) 二、易错纠偏二、易错纠偏 常见误区常见误区 (1)对数函数图象的特征不熟致误； 对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误；忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误忽视对数函数的定义域致误 1已知已知 a0，a1，函数函数 yax与与 yloga(x)的图象可能是的图象可能是_(填序号填序号) 解析：解析
7、：函数函数 yloga(x)的图象与的图象与 ylogax 的图象关于的图象关于 y 轴对称轴对称，符合条件的只有符合条件的只有. 答案：答案： 2函数函数 ylogax(a0，a1)在在2，4上的最大值与最小值的差是上的最大值与最小值的差是 1，则则 a_ 解析：解析： 分两种情况讨论：分两种情况讨论： 当当 a1 时时， 有有 loga4loga21， 解得解得 a2； 当当 0a1 时时， 有有 loga2loga41，解得解得 a1 2.所以 所以 a2 或或1 2. 答案：答案：2 或或1 2 3函数函数 ylog2 3（ （2x1）的定义域是的定义域是_ 解析：解析：由由 log2
8、 3 (2x1)0，得得 02x11. 所以所以1 20，y0，2x3y0， 所以所以x y 9 4， ，所以所以 log3 2 x y 2. 答案：答案：2 4设设 2a5bm，且且1 a 1 b 2，则则 m 等于等于_ 解析：解析：由由 2a5bm 得得 alog2m，blog5m， 所以所以1 a 1 b logm2logm5logm10. 因为因为1 a 1 b 2， 所以所以 logm102. 所以所以 m210，所以所以 m 10. 答案：答案： 10 提醒提醒 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号
9、有意义的前提下 才成立的才成立的，不能出现不能出现 log212log2(3)(4)log2(3)log2(4)的错误的错误 考点二考点二 对数函数的图象及应用对数函数的图象及应用(基础型基础型) 复习指导复习指导 初步理解对数函数的概念 初步理解对数函数的概念，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图 象及特殊点象及特殊点 核心素养：核心素养：直观想象直观想象 (1)若函数若函数 ya|x|(a0，且且 a1)的值域为的值域为y|y1，则函数则函数 yloga|x|的图象大致的图象大致 是是 ( ) (2)若方程若方程 4xlogax 在在 0，1 2
10、 上有解上有解，则实数则实数 a 的取值范围为的取值范围为_ 【解析】【解析】 (1)由于由于 ya|x|的值域为的值域为y|y1，所以所以 a1，则则 yloga|x|在在(0，)上是增上是增 函数函数，又函数又函数 yloga|x|的图象关于的图象关于 y 轴对称因此轴对称因此 yloga|x|的图象应大致为选项的图象应大致为选项 B (2)构造函数构造函数 f(x)4x和和 g(x)logax， 当当 a1 时不满足条件时不满足条件， 当当 0a1 时时，画出两个函数在画出两个函数在 0，1 2 上的图象上的图象， 可知可知，只需两图象在只需两图象在 0，1 2 上有交点即可上有交点即可
11、， 则则 f 1 2 g 1 2 ，即即 2loga1 2， ，则则 a 2 2 ， 所以所以 a 的取值范围为的取值范围为 0， 2 2 . 【答案答案】 (1)B (2) 0， 2 2 【迁移探究迁移探究】 (变条件变条件)若本例若本例(2)的条件变为：当的条件变为：当 0x1 2时 时，4x1 时不满足条件时不满足条件，当当 0a1 时时，画出两个函数在画出两个函数在 0，1 2 上的图象上的图象，可知可知 f 1 2 g 1 2 ，即即 2 2 2 ，所以所以 a 的取值范围为的取值范围为 2 2 ，1 . 答案：答案： 2 2 ，1 对数函数图象的识别及应用方法对数函数图象的识别及应
12、用方法 (1)在识别函数图象时在识别函数图象时， 要善于利用已知函数的性质、 函数图象上的特殊点要善于利用已知函数的性质、 函数图象上的特殊点(与坐标轴的与坐标轴的 交点交点、最高点、最低点等、最高点、最低点等)排除不符合排除不符合要求的选项要求的选项 (2)一些对数型方程、 不等式问题常转化为相应的函数图象问题一些对数型方程、 不等式问题常转化为相应的函数图象问题， 利用数形结合法求解利用数形结合法求解 1函数函数 y2log4(1x)的图象大致是的图象大致是 ( ) 解析解析：选选 C函数函数 y2log4(1x)的定义域为的定义域为(，1)，排除排除 A，B；函数；函数 y2log4(1
13、 x)在定义域上单调递减在定义域上单调递减，排除排除 D选选 C 2已知函数已知函数 f(x) log2x， ，x0， 3x，x0， 关于关于 x 的方程的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根有且只有一个实根，则则 实数实数 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：问题等价于函数问题等价于函数 yf(x)与与 yxa 的图象有且只有一个交点的图象有且只有一个交点，结合函数图象结合函数图象 可知可知 a1. 答案：答案：(1，) 考点三考点三 对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用(综合型综合型) 复习指导复习指导 利用对数函数的图象 利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性探索并
14、了解对数函数的单调性，知道指数函数知道指数函数 y ax与对数函数与对数函数 ylogax 互为反函数互为反函数(a0，a1) 核心素养：核心素养：数学抽象、数学运算数学抽象、数学运算 角度一角度一 比较对数值的大小比较对数值的大小 (2019 高考天津卷高考天津卷)已知已知 alog27，blog38，c0.30.2，则则 a，b，c 的大小关系的大小关系 为为 ( ) Acba Babc Cbca Dcalog242，blog381，c0.30.20.30 1，所以所以 cb0 且且 a1)满足满足 f 2 a 0 的解集的解集 为为 ( ) A(0，1) B(，1) C(1，) D(0，
15、) 【解析解析】 法一：法一：因为函数因为函数 f(x)logax(a0 且且 a1)在在(0，)上为单调函数上为单调函数，而而2 a 3 a 且且 f 2 a 02x11，所以所以 x1. 法二：法二：由由 f 2 a loga 3 a， ， 所以所以 loga21loga31，所以所以 loga21，由由 f(2x1)0 得得 loga(2x1)0，所以所以 2x11，即即 x1. 【答案答案】 C 解对数不等式的函数及方法解对数不等式的函数及方法 (1)形如形如 logaxlogab 的不等式的不等式，借助借助 ylogax 的单调性求解的单调性求解，如果如果 a 的取值不确定的取值不确
16、定，需需 分分 a1 与与 0ab 的不等式的不等式，需先将需先将 b 化为以化为以 a 为底的对数式的形式为底的对数式的形式 角度三角度三 对数型函数的综合问题对数型函数的综合问题 已知函数已知函数 f(x)log4(ax22x3) (1)若若 f(1)1，求求 f(x)的单调区间；的单调区间； (2)若若 f(x)的最小值为的最小值为 0，求求 a 的值的值 【解】【解】 (1)因为因为 f(1)1，所以所以 log4(a5)1，因此因此 a54，即即 a1， 所以所以 f(x)log4(x22x3) 由由x22x30 得得1x0， 3a1 a 1， 解得解得 a1 2. 故实数故实数 a
17、 的值为的值为1 2. 解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 1(2019 高考全国卷高考全国卷)已知已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则则 ( ) Aabc Bacb Ccab Dbca 解析：解析：选选 B因为因为 alog20.2201，c0.20.30，所以所以 ac1，则满足 则满足 f(x)2 的的 x 的取值范围是的取值范围是 ( ) A1，2 B0，2 C1，) D0，) 解析：解析：选选 D当当 x1 时时，21 x 2，解得解得 x0，所以所以 0 x1；当；当 x1 时时，1log2x 2，解得解得 x1 2， ，所以所以 x1.综上可知综上可知 x0. 3 已知已知 a0， 若函数若函数 f(x)log3(ax2x)在在3， 4上是增函数上是增函数， 则则 a的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：要使要使 f(x)log3(ax2x)在在3，4上单调递增上单调递增， 则则 yax2x 在在3，4上单调递增上单调递增， 且且 yax2x0 恒成立恒成立， 即即 1 2a 3， 9a30， 解得解得 a1 3. 答案答案： 1 3， ， 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
