1、 北京北京 101101 中学中学 2018201820192019 学年上学期高一年级期末考试数学年上学期高一年级期末考试数 学试卷学试卷 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.若 sin =，0 0）的最小正周期为 ，为了得到函数 的图 象，只要将的图象（ ） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 【答案】A 【解析】 试题分析：由的最小正周期是 ，得，即 ，因此它的图 象可由的图象向左平移 个单位得到故
2、选 A 考点：函数的图象与性质 【名师点睛】三角函数图象变换方法： 【此处有视频，请去附件查看】 6.如图所示，函数（且）的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 当 时，y=cosxtanx0，排除 B，D. 当 时，y=cosxtanx0）在区间0，1上至少出现 10 次最大值，则 的最小值是（ ） A. 10 B. 20 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意利用正弦函数的图象和性质可得 9T110T，即 9110，由此 求得 的最小值 【详解】解：函数 ysinx（0）在区间0，1上至少出现 10次最大值， 9T110T，即 9 110，求得20， 故
3、的最小值为， 故选：C 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查函数的周期性与最值，不等式的解法， 属于中档题 8.设偶函数在（ ，0）上是增函数，则 与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 本题考查的是函数的单调性与奇偶性。因为为偶函数，所以，即 ，解得，。又递增， 递减，所以。且在递减，所以应选 C。 二、填空题共二、填空题共 6 6 小题。小题。 9.求值：2 +=_。 【答案】-3 【解析】 【分析】 利用对数、指数的性质和运算法则求解 【详解】解：（）lg（1）lg1 （ ）32+（） 0 2+1 3 故答案为：3 【点睛】本题考查对数式、指
4、数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、 指数的性质、运算法则的合理运用 10.已知向量 a a=（1，1） ，b b=（sinx，） ， （0， ） ，若 a ab b，则 x 的值是_。 【答案】 【解析】 【分析】 根据即可得出 sinx+cosx0，解三角方程即可 【详解】解：； cosxsinx0； tanx； x（0，） ； 故答案为： 【点睛】本题考查平行向量的坐标关系，同角基本关系式可，已知三角函数值求角 11.若 tan=3，则 2 sin 2sincoscos2=_。 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，巧用平方关系，利用商数关系将式子转化为关于 tan
5、式子，代入求值即可 【详解】解：tan3， 2sin2sincoscos2 故答案为： 【点睛】 本题考查了同角三角函数的基本关系的灵活应用， 即“齐次化切”在求值中的应用， 是常考的题型，注意总结 12.若函数=cos （ x+ ）（ N*） 图象的一个对称中心是 （ ， 0） ， 则 的最小值为_。 【答案】2 【解析】 试题分析：由题意得，所以 的最小值是 . 考点：三角函数及其性质. 13.函数的值域是_。 【答案】0， 【解析】 【分析】 根据根式的意义结合三角函数的图像与性质进行求解即可 【详解】解：1cosx1，要使函数有意义则 sin（cosx）0，则 0cosx1， 此时 0
6、sin（cosx）sin1， 则 0 ， 即函数的值域为0， 故答案为：0， 【点睛】本题主要考查复合函数的值域的问题，利用三角函数的有界性是解决本题的关键 14.已知点 O 为ABC 内一点，+2+3=0，则=_。 【答案】3 【解析】 【分析】 可作出图形，取 BC的中点 D，AC 的中点 E，并连接 OA，OB，OC，OD，OE，根据条件 可以得到，从而得出 DE为ABC的中位线，这样即可得到 AB3OE，从而便 有 【详解】解：如图，取 BC中点 D，AC中点 E，连接 OA，OB，OC，OD，OE； ； D，O，E三点共线，即 DE 为ABC的中位线； DEOE，AB2DE； AB3
7、OE； 故答案为：3 【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算， 向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式 三、解答题共三、解答题共 5 5 小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.计算：。 【答案】 【解析】 【分析】 由条件利用诱导公式与特殊角的三角函数值，可得要求式子的值 【 详 解 】 解 ： 由 诱 导 公 式 可 得 ：， ， ， ， ， 原式 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题 16.已知函数=+，其中 a0 且 a1。 （1）求
8、函数的定义域； （2）若函数有最小值而无最大值，求的单调增区间。 【答案】 （1）； （2）1，1）. 【解析】 【分析】 （1）根据对数函数的成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域； （2）根据复合函数单调性的性质确定 0a1，结合复合函数单调性的关系进行求解即可 【详解】解： （1）要使函数有意义，则，得，得3x1， 即函数的定义域为（3，1） ， （2）f（x）loga（1x）+loga（x+3）loga（1x） （x+3）loga（x22x+3） loga（x+1）2+4） ， 设 t（x+1）2+4，当3x1时，0t4， 若函数 f（x）有最小值而无最大值，则函数 ylogat
9、 为减函数，则 0a1， 要求 f（x）的单调增区间，则等价于求 t（x+1）2+4，在3x1 时的减区间， t（x+1）2+4的单调递减区间为1，1） ， f（x）的单调递减区间为1，1） 【点睛】本题主要考查对数函数的性质，结合复合函数单调性的关系求出 a的范围是解决本 题的关键 17.已知=， ，函数是奇函数。 （1）求 a，c 的值； （2）当 xl，2时，的最小值是 1，求的解析式。 【答案】 （1）； （2）或 【解析】 【分析】 （1）法一：化简 h（x）g（x）+f（x）（a1）x2+bx+c3，由（a1）x2bx+c3 （a1）x2bxc+3对 xR恒成立得到 ，从而求解，
10、法二：化简 h（x）g（x）+f（x）（a1）x2+bx+c3，由奇函数可得 a10，c3 0，从而求解； （2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定 f（x）的最小值在何时取得， 从而求 f（x）的解析式 【详解】解： （1） （法一） ：f（x）+g（x）（a1）x2+bx+c3， 又 f（x）+g（x）为奇函数， h（x）h（x） ， （a1）x2bx+c3（a1）x2bxc+3对 xR恒成立， ， 解得； （法二） ：h（x）f（x）+g（x）（a1）x2+bx+c3， h（x）为奇函数， a10，c30， a1，c3 （2）f（x）x2+bx+3，其图象对称轴为 ， 当
11、，即 b2时， f（x）minf（1）4b1，b3； 当，即4b2时， ， 解得或（舍） ； 当，即 b4 时， f（x）minf（2）7+2b1，b3（舍） ， f（x）x2+3x+3 或 【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题 18.设函数=Asin（A0， 0， ）在处取得最大值 2，其图象与 x 轴的 相邻两个交点的距离为 。 （1）求的解析式； （2）求函数 的值域。 【答案】 （1）=2 sin（2x+ ） ； （2） （ ， 【解析】 【分析】 （1）先确定函数的周期，可得 的值，利用函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0， 0，）在 x处
12、取得最大值 2，即可求得 f（x）的解析式； （2）由三角函数恒等变换的应用化简可得 g（x），由 ，即可求得函数 g（x）的值域 【详解】解： （1）由题意可得：f（x）maxA2， 于是， 故 f（x）2sin（2x+） ， 由 f（x）在处取得最大值 2 可得：（kZ） ， 又，故， 因此 f（x）的解析式为 （2）由（1）可得：， 故 ， 令 tcos2x，可知 0t1且 ， 即， 从而， 因此，函数 g（x）的值域为 【点睛】本题主要考查了由 yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数恒 等变换的应用，函数的单调性，考查了转化思想和计算能力，正确求函数的解析式是关键， 属
13、于中档题 19.已知函数的定义域为（0，+ ） ，若在（0，+ ）上为增函数，则称 为“一阶 比增函数”；若在（0，+ ）上为增函数，则称为”二阶比增函数”。我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为 1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2。 （1）已知函数，若 1，求实数的取值范围，并证明你的结论； （2）已知 0abc， 1且的部分函数值由下表给出： t 4 求证：； （3）定义集合，且存在常数 k，使得任取 x（0，+ ） ，k，请问： 是否存在常数 M，使得任意的 ，任意的 x（0，+ ） ，有M 成立?若存在，求出 M 的最小值；若不存在，说明理由。 【答案】 （1）0； （2）见
14、解析； （3）0 【解析】 【分析】 （1）根据：f（x）1且 f（x）2，可得 yx22hxh，利用二次函数的单调性可 得h0；由，yx，对 h分类讨论可得：当 h0，此时 f（x） 2；当 h0时，函数在 x（0，+）有极值点，可得 f（x）2即可得 出 （2）由 f（x）1，取 0 x1x2x1+x2，可得由表格可知：f（a） d，f（b）d，f（c）t，f（a+b+c）4，0abca+b+c，利用“一阶比增函数” 可得，再利用不等式的性质即可得出 （3）根据“二阶比增函数”先证明 f（x）0对 x（0，+）成立再证明 f（x）0在 （0，+）上无解即可得出 【详解】 （1）解：yx22
15、hxh，若 f（x）1，则 h0； ，yx，当 h0，x0时，y0，此时 f（x）2，不符合题意， 舍去； 当 h0时，此时函数在 x（0，+）有极值点，因此 f（x）2 综上可得：当 h0 时，f（x）1且 f（x）2 因此 h 的取值范围是（，0） （2）因为，且 0abca+b+c， 所以，所以， 同理可证， 三式相加得，所以。 因为，所以，而 0ab，所以 d0，所以。 （3）因为集合，且存在常数 k，使得任取 x（0，+ ） ，k， 所以 ，存在常数 k，使得 0，记0， 因为是二阶比增函数，即是增函数。所以当 x时，所以 ， 所以一定可以找到一个，使得k，这与0，使得=0，则因为是二阶增函数，即是增函数， 一定存在0，这与上面证明的结果矛盾。所以在（0，+ ）上无 解。 综上，我们得到 ，0） ，则0 对 x（0，+ ）成立， 又有在（0，+ ）上是增函数，所以， 而任取常数 k0，使得 时，有k，所以 M的最小值为 0。 【点睛】本题考查了函数的单调性、导数的几何意义，掌握导数法在确定函数单调性和最值 时的答题步骤是解答的关键，考查了推理能力与计算能力，属于难题
