1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”7 17设ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 3 cossin3 4 aBbA. （1）求边长a的值； （2）若ABC的面积10S ，求ABC的周长L. 18如图，直三棱柱 111 ABCABC中，,D E分别是 1 ,AB BB的中点， 1 2 2 2 AAACCBAB . （1）证明： 1 BC平面 1 ACD； （2）求二面角 1 DACE的余弦值. 19已知函数 lnf xxa x aR （1）当0a 时，求函数 f x的单调区间； （2）谈论函数 f x的零点个数 20已知椭圆 22 22 :10 xy Cab a
2、b 的焦距为 4，且过点2, 2P. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设 0000 ,0Q xyx y 为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取 点0,2 2A，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴 的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并 说明理由. 21心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加 7 局 4 胜制的兵乒球比赛. （1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为 1 3 ；但实际上，如果前一句获胜 的话，此选手该局获胜的概率可提升到 1 2 ；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的 概率则降为 1 4
3、，求该选手在前 3 局获胜局数X的分布列及数学期望； （2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sinsinsinABC、， 记、 、ABC为锐角ABC的内角，求证： sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC+ 22选修 4-4：坐标系与参数方程 已知动点,P Q都在曲线 2cos : 2sin xt C yt （为参数）上，对应参数分别为t与 202t，M为PQ的中点 （1）求M的轨迹的参数方程； （2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点 23设函数 1 ( ) |(0)f xxxa a
4、 a （1）证明：( )2f x ； （2）若(3)5f，求a的取值范围 2020 届高三数学（理） “大题精练”7（答案解析） 17设ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 3 cossin3 4 aBbA. （1）求边长a的值； （2）若ABC的面积10S ，求ABC的周长L. 解：解： （1） 3 cossin3 4 aBbA sin4bA 过C作CDAB于D，则由sin4CDbA，cos3BDaB 在Rt BCD 中， 22 5aBCBDCD （2）由面积公式得 11 410 22 SABCDAB得 5AB ， 又cos3aB ，得 3 cos 5 B ， 由余
5、弦定理得： 22 3 2cos25252252 5 5 bacacB， ABC的周长552 5102 5l 18如图，直三棱柱 111 ABCABC中，,D E分别是 1 ,AB BB的中点， 1 2 2 2 AAACCBAB . （1）证明： 1 BC平面 1 ACD； （2）求二面角 1 DACE的余弦值. 证明：证明：连接 1 AC交 1 AC于点F， 则F为 1 AC的中点又D是AB的中点， 连接DF，则 1/ / BCDF 因为DF 平面 1 ACD， 1 BC 平面 1 ACD， 所以 1/ / BC平面 1 ACD （2）由 1 2 2 2 AAACCBAB，可得：2AB ，即
6、222 ACBCAB 所以ACBC 又因为 111 ABCABC直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线 1 CACBCC、为 x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则 1 222 0,0,02,0, 2 ),00, 2, 222 CADE 、， 1 222 2,0, 2 ,0 ,0, 2, 222 CACDCE 设平面 1 ACD的法向量为 , ,nx y z， 则0nC D且 1 0n CA， 可解得y xz ， 令1x ，得平面 1 ACD的一个法向量为 1, 1, 1n r ， 同理可得平面 1 ACE的一个法向量为 2,1, 2m ， 则 3 cos, 3 n m 所以二面角 1
7、DACE的余弦值为 3 3 . 19已知函数 lnf xxax a R （1）当0a 时，求函数 f x的单调区间； （2）谈论函数 f x的零点个数 解： （1） ln ,0,f xxax x， 故 1 axa fx xx ， 0a 0,xa时， 0fx，故 f x单调递减， ,xa时， 0fx ，故 f x单调递增， 所以，0a 时， f x的单调递减区间是0,a，单调递增区间是, a （2）由（1）知， 当0a 时， f x在x a 处取最小值 ln1 lnf aaaaaa， 当0ae时，1 ln0aa， f x在其定义域内无零点 当a e 时，1 ln0aa， f x在其定义域内恰有一
8、个零点 当a e 时，最小值 1 ln0f aaa，因为 110f ，且 f x在0,a单调 递减，故函数 f x在0,a上有一个零点， 因为a e ， 2a eaa ， 2 ln0 aaaa f eeaeea，又 f x在, a 上 单调递增， 故函数 f x在, a 上有一个零点， 故 f x在其定义域内有两个零点； 当0a 时， f xx在定义域0,内无零点； 当0a 时，令 0f x ，可得lnxax，分别画出y x 与lnyax，易得它们的 图象有唯一交点，即此时 f x在其定义域内恰有一个零点 综上，0ae时， f x在其定义域内无零点；a e 或0a 时， f x在其定义域 内恰
9、有一个零点；a e 时， f x在其定义域内有两个零点； 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，属于中档题. 20已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的焦距为 4，且过点2, 2P. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设 0000 ,0Q xyx y 为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取 点0,2 2A，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴 的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并 说明理由. 解： （1）因为焦距为 4，所以 22 4ab ，又因为椭圆C过点2, 2P， 所以 22 4
10、2 1 ab ，故 2 8a ， 2 4b ，从而椭圆C的方程为 22 1 84 xy 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的焦距为 4，且过点2, 2P. （2）由题意，E点坐标为 0,0 x，设,0 D D x，则 0, 2 2 AEx， , 2 2 D ADx，再由ADAE知， 0AE AD ，即 0 80 D x x . 由于 00 0 x y ，故 0 8 D x x ，因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点 0 8 ,0G x . 故直线QG的斜率 0 000 2 0 0 8 8 QG yx y k x x x . 又因 00 ,Q xy在椭圆C上，所以 22 00
11、28xy. 从而 0 0 2 QG x k y ，故直线QG的方程为 0 00 8 2 x yx yx 将代入椭圆C方程，得 2222 000 21664 160 n xyxx xy 再将代入，化简得： 22 00 20 xx xx 解得 0 xx， 0 yy，即直线OG与椭圆C一定有唯一的公共点. 21心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加 7 局 4 胜制的兵乒球比赛. （1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为 1 3 ；但实际上，如果前一句获胜 的话，此选手该局获胜的概率可提升到 1 2 ；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的 概率则降为 1 4 ，求该选手在前 3 局
12、获胜局数X的分布列及数学期望； （2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sinsinsinABC、， 记、 、ABC为锐角ABC的内角，求证： sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC+ 解： （1）依题意，可知X可取：0,1,2,3 2 119 011 3424 P X 1111111118 1111111 32434234424 P X 1111111115 2111 32232434224 P X 1112 32 32224 P XP X 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 9 24 8 24 5
13、24 2 24 0852 1231 24242424 E X . （2）ABC是锐角三角形，0sin1,0 sin1,0sin1ABC，则三局比 赛中，该选手至少胜一局的概率为： 1sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinP XABCABACBCABC 由概率的定义可知：11P X ，故有： sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1ABCABACBCABC+ 22选修 4-4：坐标系与参数方程 已知动点,P Q都在曲线 2cos : 2sin xt C yt （为参数）上，对应参数分别为t与 202t，M为PQ的中点 （1）求M
14、的轨迹的参数方程； （2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点 解： （1）由题，得2cos ,2sin,2cos2 ,2sin2PQ，则 coscos2 ,sinsin2M，可得参数方程； （2）由两点距离公式可得M点到 坐标原点的距离为，由此M的轨迹过坐标原点 试题解析： （1）由题意有，2cos ,2sin,2cos2 ,2sin2PQ，因此 coscos2 ,sinsin2M，M的轨迹的参数方程为 coscos2 sinsin2 x y （ 为参数，02） （2）M点到坐标原点的距离为 22 22cos02dxy，当a 时，0d ，故M的轨迹过坐标原点 23设函数 1 ( ) |(0)f xxxa a a （1）证明：( )2f x ； （2）若(3)5f，求a的取值范围 解：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出 min ( )2f x，从而得出结论； 对第（2）问，由0a 去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a的取值范 围. 试题解析： （1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知： min ( )f x 1 2a a ，当且仅 当1a 时，取等号，所以( )2f x . （2） 因为(3)5f， 所以 1 335a a 1 335a a 1 32a a 11 232a aa ，解得：1 5521 22 a .
