1、 2020 届高三数学（理） “大题精练”13 17为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据 其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2 ,2 )xs xs之外， 则认为该零件属“不合格”的零件，其中x,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 15s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （1）求样本平均数的大小； （2）若一个零件的尺寸是 100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件. 18如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 11 1,2,1,ACBCABBCBC平面 ABC. （1）证明：平面 11 A ACC 平面
2、 11 BCC B （2）求二面角 1 AB BC的余弦值. 19, ,a b c分别为ABC 的内角, ,A B C的对边.已知sin4sin8sinaABA. （1）若1, 6 bA ，求sinB； （2）已知 3 C ，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长. 20已知函数 32 ( )21f xxmxm. （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若函数 ( )f x在区间0,)上的最小值为 3，求 m 的值. 21如图,已知抛物线 E:y2=4x 与圆 M:(x3)2+y2=r2(r0)相交于 A,B,C,D 四个点. (1)求 r 的取值范围; (2)设四边形 ABCD 的面积
3、为 S,当 S 最大时,求直线 AD 与直线 BC 的交点 P 的坐标. 22在直角坐标系中，已知圆 222 :()(1)1Mxaya，以原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，已知直线sin2 4 平分圆 M 的周长. （1）求圆 M 的半径和圆 M 的极坐标方程； （2）过原点作两条互相垂直的直线 12 ,l l，其中 1 l与圆 M 交于 O，A 两点， 2 l与圆 M 交 于 O，B 两点，求OAB面积的最大值. 23已知正实数ab，满足4ab . （1）求 14 ab 的最小值. （2）证明： 22 1125 2 ab ab 2020 届高三数学（理） “大题精练”13（答案解
4、析） 17为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据 其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(2 ,2 )xs xs之外， 则认为该零件属“不合格”的零件，其中x,s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 15s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. （1）求样本平均数的大小； （2）若一个零件的尺寸是 100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件. 【解】 （1）35 10 0.00545 10 0.010 55 10 0.015 65 10 0.030 x 75 10 0.02085 0.015 95 10 0.00566.5
5、 （2）266.53096.5,266.53036.5, 10096.5xsxs 所以该零件属于“不合格”的零件 18如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 11 1,2,1,ACBCABBCBC平面 ABC. （1）证明：平面 11 A ACC 平面 11 BCC B （2）求二面角 1 AB BC的余弦值. 【解】 （1）证明：因为 1 BC 平面 ABC，所以 1 BCAC 因为1,2ACBCAB.所以 222 ACBCAB .即AC BC 又 1 BCBCC.所以AC 平面 11 BCC B 因为AC 平面 11 A ACC.所以平面 11 A ACC 平面 11 BCC B （2）
6、解：由题可得 1 ,BC CA CB两两垂直，所以分别以 1 ,CA CB BC所在直线为 x 轴， y 轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz，则 1 (1,0,0),(0,0,0), (0,1,0),(0,0,1)ACBB，所以 1 (0, 1,1),( 1,1,0)BBAB 设平面 1 ABB的一个法向量为 ( , , )mx y z， 由 1 0,0m BBm AB.得 0 0 yz xy 令1x ，得(1,1,1)m 又CA平面 1 CBB，所以平面 1 CBB的一个法向量为CA (1,0,0). 13 cos, 33 m CA 所以二面角 1 AB BC的余弦值为 3 3
7、 . 19, ,a b c分别为ABC 的内角, ,A B C的对边.已知sin4sin8sinaABA. （1）若1, 6 bA ，求sinB； （2）已知 3 C ，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长. 【解】 （1）由sin4sin8sinaABA，得48a aba， 即48ab. 因为1b ，所以4a . 由 41 sin sin 6 B ，得 1 sin 8 B . （2）因为482 44ababab， 所以4ab，当且仅当44ab时，等号成立. 因为ABC的面积 11 sin4 sin3 223 SabC . 所以当44ab时，ABC的面积取得最大值， 此时 222 412
8、 4 1 cos13 3 c ，则 13c ， 所以ABC的周长为513. 20已知函数 32 ( )21f xxmxm. （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若函数 ( )f x在区间0,)上的最小值为 3，求 m 的值. 【解】 （1） 2 ( )622 (3)fxxmxxxm 若0m，当(,0), 3 m x 时，( )0fx ； 当0, 3 m x 时.( )0fx ， 所以 ( )f x在(,0), 3 m 上单调递增，在0, 3 m 上单调递减 若0,( ) 0mfx . ( )f x在 R 上单调递增 若0m ，当,(0,) 3 m x 时，( )0fx ； 当,0 3 m
9、 x 时.( )0fx ， 所以 ( )f x在,(0,) 3 m 上单调递增，在,0 3 m 上单调递减 （2）由（1）可知，当0m 时， ( )f x在0,)上单调递增，则 min ( )(0)13f xfm .则 -4m 不合题意 当0m时， ( )f x在0, 3 m 上单调递减，在, 3 m 上单调递增. 则 33 min 2 ( )13 3279 mmm f xfm ，即 3 40 27 m m 又因为 3 ( )4 27 m g mm单调递增，且 ( 3)0g ，故3m 综上，3m 21如图,已知抛物线 E:y2=4x 与圆 M:(x3)2+y2=r2(r0)相交于 A,B,C,
10、D 四个点. (1)求 r 的取值范围; (2)设四边形 ABCD 的面积为 S,当 S 最大时,求直线 AD 与直线 BC 的交点 P 的坐标. 【解】(1)联立抛物线与圆的方程 2 222 4 , (3), yx xyr 消去 y,得 x22x+9r2=0. 由题意可知 x22x+9r2=0 在(0,+)上有两个不等的实数根, 所以 2 2 44(9)0, 90, r r 解得 2 2r3,即 r(22,3). (2)根据(1)可设方程 x22x+9r2=0 的两个根分别为 x1,x2(0x1x2), 则 A(x1,2 1 x),B(x1, 2 1 x),C(x2, 2 2 x),D(x2
11、,2 2 x),且 x1+x2=2,x1x2=9r2, 所以 S= 1 2 (AB+CD) (x2x1)= 1 2 (4 1 x+4 2 x)(x2x1) =2 1212 2xxx x 2 1212 ()4xxx x=2 2 22 9r 2 44(9)r . 令 t= 2 9r (0,1),f(t)=S2=4(2+2t)(44t2)= 32(t3+t2t1), f(t)= 32(3t2+2t1)= 32(t+1)(3t1),可得 f(t)在(0, 1 3 )上单调递增,在( 1 3 ,1)上单调递 减,即当 t= 1 3 时,四边形 ABCD 的面积取得最大值. 根据抛物线与圆的对称性,可设P
12、点坐标为(m,0),由P,A,D三点共线,可得 21 21 22xx xx = 1 1 2 m x x ,整理得 m= 12 x x=t= 1 3 , 所以点 P 的坐标为( 1 3 ,0). 22在直角坐标系中，已知圆 222 :()(1)1Mxaya，以原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，已知直线sin2 4 平分圆 M 的周长. （1）求圆 M 的半径和圆 M 的极坐标方程； （2）过原点作两条互相垂直的直线 12 ,l l，其中 1 l与圆 M 交于 O，A 两点， 2 l与圆 M 交 于 O，B 两点，求OAB面积的最大值. 【解】 （1）将sin2 4 化成直角坐标方程，
13、得2xy 则12a ，故1a ， 则圆 22 :(1)(1)2Mxy，即 22 220 xyxy， 所以圆 M 的半径为 2. 将圆 M 的方程化成极坐标方程，得 2 2 (sincos )0. 即圆 M 的极坐标方程为2(sincos ). （2）设 1 :212 ,:,|,| 2 llOAOB ， 则 1 2(sincos), 用 2 代替.可得 2 2(cossin), 22 12 1 ,| | 2 cossin2cos22 2 OHB llSOAOB max2 OAB S 23已知正实数ab，满足4ab . （1）求 14 ab 的最小值. （2）证明： 22 1125 2 ab ab 【解】 （1）因为4ab ，所以 141414 5 44 abba ababab 因为00ab， ，所以 4 4 ba ab （当且仅当 4ba ab ，即 48 , 33 ab 时等号 成立） ， 所以 1419 5(54) 444 ba ab （2）证明： 22 22 1111 4 11 22 ab abab ab ab 因为4ab ，所以 1111111 ()2(22)1 444 ab ab ababba 故 22 1125 2 ab ab （当且仅当2ab 时，等号成立）
