1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”11 17 （12 分）等差数列 n a的前n项和为 n S， 215 17aa， 10 55S数列 n b满足 2 log nn ab （1）求数列 n b的通项公式； （2）若数列 nn ab的前n项和 n T满足 32 18 n TS，求n的值 18 （12 分）如图，在五面体ABCDFE中，侧面ABCD是正方形，ABE是等腰直角三 角形，点O是正方形ABCD对角线的交点EAEB，26ADEF且/EFAD （1）证明：/OF平面ABE； （2）若侧面ABCD与底面ABE垂直，求五面体ABCDFE的体积 19 （12 分）在中老年人群体中，肠胃病是
2、一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动 之间的联系，调查了 50 位中老年人每周运动的总时长（单位：小时） ，将数据分成0，4） ， 4，8） ，8，14） ，14，16） ，16，20） ，20，246 组进行统计，并绘制出如图所示的柱形 图 图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定： 每周运动的总时长少于14小时为运动较少 每周运动的总时长不少于 14 小时为运动较多 （1）根据题意，完成下面的 2 2 列联表： 有肠胃病 无肠胃病 总计 运动较多 运动较少 总计 （2）能否有 999%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？ 附：K2 2 n adbc abcdacbd （na+b+
3、c+d） P（K2k） 0050 0010 0001 k 3841 6635 10828 20 （12 分）已知直线2xp与抛物线C： 2 20ypx p交于P，Q两点，且POQ 的面积为 16（O为坐标原点） （1）求C的方程 （2）直线l经过C的焦点F且l不与x轴垂直，l与C交于A，B两点，若线段AB的垂直 平分线与x轴交于点D，试问在x轴上是否存在点E，使 AB DE 为定值？若存在，求该定值 及E的坐标；若不存在，请说明理由 21 （12 分）设函数 2 lnf xxaxx (1)若当1x 时， f x取得极值，求a的值，并求 f x的单调区间 (2)若 f x存在两个极值点12 ,x
4、 x，求a的取值范围，并证明： 21 21 4 2 f xf xa xxa （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生从分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分 22 【极坐标与参数方程】 （10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 4 4 xm ym （m为参数） （1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线 1 l， 2 l，其中 1 l与C交于A，B两点， 2 l与C交于M，N 两点， 1 l与 2 l交于点 00 ,P xy，求证：PA PBPM
5、PN 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 已知函数 1f xxax （1）若 2f a ，求a的取值范围； （2）当 ,xa ak 时，函数 f x 的值域为 1,3 ，求k的值 2020 届高三数学（文） “大题精练”11（答案解析） 17 （12 分）等差数列 n a的前n项和为 n S， 215 17aa， 10 55S数列 n b满足 2 log nn ab （1）求数列 n b的通项公式； （2）若数列 nn ab的前n项和 n T满足 32 18 n TS，求n的值 【解析】（1） 设等差数列 n a的公差为d， 则有 1 1 21517 104555 ad ad ，
6、 解得 1 1 1 a d ， 则 n an 又 2 log nn ab，即2 n a n b ，所以2n n b （2）依题意得： 1212 (.)(.) nnn Taaabbb 23 (123.)(222.2 ) n n 2 1 2 (1) 21 2 n n n 1 (1) 22 2 n n n 又 32 32(1 32) 1818546 2 S ，则 1 (1) 2548 2 n n n ， 因为 1 (1) ( )2 2 n n n f n 在 * nN上为单调递增函数，所以8n 18 （12 分）如图，在五面体ABCDFE中，侧面ABCD是正方形，ABE是等腰直角三 角形，点O是正方
7、形ABCD对角线的交点EAEB，26ADEF且/EFAD （1）证明：/OF平面ABE； （2）若侧面ABCD与底面ABE垂直，求五面体ABCDFE的体积 【解析】 （1）取AB的中点M，连接OM、EM， 侧面ABCD为正方形，且ACBDO，O为AC的中点， 又M为AB的中点，/OM BC且 1 2 OMBC， /EF BCQ且 1 2 EFBC，/OM EF， 所以， 四边形OFEM为平行四边形，/OF EM OF Q平面ABE，EM 平面ABE，/OF平面ABE （2）取AD的中点G，BC的中点H，连接GH、FG、FH，四边形ABCD为正方 形，ADAB 平面ABCD 平面ABE， 平面A
8、BCD平面ABEAB，AD 平面ABCD，AD 底面ABE， 易知3EF ， 3 2AEBE ， 2 1 3 29 2 ABE S， 9 327 ABE GHFABE VSEF ， M为AB中点，EAEB，EMAB， AD 平面ABE，EM 平面ABE，EMAD， ABADAQI，AB、AD 平面ABCD，EM平面ABCD /OF EMQ，OF平面ABCD，且3OFEM， 1 6 3 318 3 F CDGH V ，因此，27 1845 ABCDFE V 五面体 19 （12 分）在中老年人群体中，肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动 之间的联系，调查了 50 位中老年人每周运动
9、的总时长（单位：小时） ，将数据分成0，4） ， 4，8） ，8，14） ，14，16） ，16，20） ，20，246 组进行统计，并绘制出如图所示的柱形 图 图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定： 每周运动的总时长少于14小时为运动较少 每周运动的总时长不少于 14 小时为运动较多 （1）根据题意，完成下面的 2 2 列联表： 有肠胃病 无肠胃病 总计 运动较多 运动较少 总计 （2）能否有 999%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？ 附：K2 2 n adbc abcdacbd （na+b+c+d） P（K2k） 0050 0010 0001 k 3841 6635 10828
10、 【解析】 （1）由柱形图可知，有肠胃病的老年人中运动较少的人数为 12+10+8=30，运动较 多的人数为 2+1+1=4； 无肠胃病的老年人中运动较少的人数为 3+2+1=6，运动较多的人数为 2+4+4=10 故 2 2 列联表如下： 有肠胃病 无肠胃病 总计 运动较多 4 10 14 运动较少 30 6 36 总计 34 16 50 （2） 2 2 50 4 630 10 13.89210.828 34 16 14 36 K ， 故有 999%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关 20 （12 分）已知直线2xp与抛物线C： 2 20ypx p交于P，Q两点，且POQ 的面积为 1
11、6（O为坐标原点） （1）求C的方程 （2）直线l经过C的焦点F且l不与x轴垂直，l与C交于A，B两点，若线段AB的垂直 平分线与x轴交于点D，试问在x轴上是否存在点E，使 AB DE 为定值？若存在，求该定值 及E的坐标；若不存在，请说明理由 【解析】 （1）将2xp代入 2 2ypx，得2yp ，所以POQ的面积为 2 1 24416 2 ppp 因为0p ，所以2p ，故C的方程为 2 4yx （2）由题意设直线l的方程为 10yk xk ，由 2 1 , 4 , yk x yx 得 2222 240k xkxk 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 2 12 2 24k xx
12、 k ，所以 2 12 2 44 | k ABxxp k 因为线段AB的中点的横坐标为 2 12 2 2 2 xxk k ，纵坐标为 2 k ， 所以线段AB的垂直平分线的方程为 2 2 212k yx kkk ， 令0y ，得 2 2 3x k ，所以D的横坐标为 2 2 3 k ， 设,0E t，则 2 22 32 2 3 t k DEt kk ， 2 2 44 32 ABk DEt k ， 所以当且仅当32t ，即1t 时， AB DE 为定值，且定值为 2，故存在点E，且E的坐标 为1,0 21 （12 分）设函数 2 lnf xxaxx (1)若当1x 时， f x取得极值，求a的值
13、，并求 f x的单调区间 (2)若 f x存在两个极值点12 ,x x，求a的取值范围，并证明： 21 21 4 2 f xf xa xxa 【解析】 （1） 2 121 2,0 xax fxxax xx 1x 时， f x取得极值， 0,31fa ， 2 211231 xxxx fx xx ， 解 0fx 得 1 0 2 x或1x ，解 0fx 得 1 1 2 x， f x的单调增区间为 1 0,(1,) 2 ，单调减区间为 1 ,1 2 （2） 2 21 ,0 xax fxx x ， f x存在两个极值点，方程 0fx 即 2 210 xax 在(0, )上有两个不等实 根， 2 12 1
14、 80,0 2 ax x ， 12 0 2 a xx， 2 2a 22 21 222111 2121 lnlnf xf xxaxxxaxx xxxx 2121 21 2121 lnlnlnln 2 xxxxa xxa xxxx ， 所证不等式 21 21 4 2 f xf xa xxa 等价于 21 21 lnln4xx xxa ，即 21 2121 lnln2xx xxxx ， 不妨设 21 0 xx，即证 2 21 2 1 1 1 ln2 1 x xx x x x ， 令 2 1 1 x t x ， 21 ln 1 t h tt t ， 2 22 114 0 11 t h t t tt t
15、 ， h t在(1,) 上递增， 10h th， 2 21 2 1 1 1 ln2 1 x xx x x x 成立， 21 21 4 2 f xf xa xxa 成立 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生从分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分 22 【极坐标与参数方程】 （10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 4 4 xm ym （m为参数） （1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线 1 l， 2 l，其中 1 l与C交于A，B两点，
16、2 l与C交于M，N 两点， 1 l与 2 l交于点 00 ,P xy，求证：PA PBPMPN 【解析】由4ym，得 4 y m ，代入 2 4xm，得 2 4 y x ，即 2 4yx， C的普通方程为 2 4yx，表示开口向右，焦点为1,0F的抛物线 （2）设直线 1 l的倾斜角为，直线 2 l的倾斜角为， 则直线 1 l的参数方程为 0 0 cos sin xxt yyt （t为参数） ， 与 2 4yx联立得 222 000 sin2sin4cos40tytyx， 设方程的两个解为 1 t， 2 t，则 2 00 1 2 2 4 sin yx t t ， 2 00 1 2 2 4 s
17、in yx PAPBt t ， 则 22 0000 22 44 sin ()sin yxyx PMPN ，PA PBPMPN 23 【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） 已知函数 1f xxax （1）若 2f a ，求a的取值范围； （2）当,xa ak时，函数 f x的值域为1,3，求k的值 【解析】 （1） 12f aa，得212a ， 即13a ，a的取值范围是1,3； （2）当1a时，函数 f x在区间, a ak上单调递增， 则 min 11f xf aa ，得2a ， max 213f xf akak ，得 1k ， 当1a 时， 21,1 1,1 21, xax f xaax xax a ， 则 min 11f xf aa ，得0a ， max 213f xf akak ，得 2k 综上所述，k的值为 1 或 2
