1、高中数学必修高中数学必修 2 2 知识点知识点直线与方程直线与方程 一、直线与方程一、直线与方程 （1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180 （2 2）直线的斜率）直线的斜率 定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 k 表示。即 0 tan(90 )k 。斜率反映直线与 x 轴的倾斜程度。 当 90,0时，0k； 当 180,90时，0k； 当 90时，k不存在。 过两点的直线的斜率公式：)( 21
2、12 12 xx xx yy k 注意下面四点：(1)当 21 xx 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90； (2)k与P1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例例.如右图，直线 l1的倾斜角=30，直线 l1l2，求直线 l1和 l2的斜率. 解：k1=tan30= 3 3 l1l2 k1k2 =1 k2 =3 例：例：直线053yx的倾斜角是( ) A.120 B.150 C.60 D.30 （3 3）直线方程）直线方程 点斜式：)( 11 xxkyy直线斜率k，且过点 1
3、1, y x 注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b 两点式： 11 2121 yyxx yyxx （ 1212 ,xxyy）即不包含于平行于 x 轴或 y 直线两点轴的直 线，直线两点 11, y x， 22,y x，当写成 211211 ()()()()xxyyyyxx的形式时，方程 可以表示任何一条直线。 截矩式：1 xy ab 其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )
4、b,即l与x轴、y轴的截距分别为, a b。 对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。 一般式：0CByAx（A，B不全为 0） 注意： 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如： 平行于x轴的直线：by （b为常数） ； 平行于y轴的直线：ax（a为常数） ； 例题：例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是 1 2 ，经过点 A(8，2)； . (2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴； . x y o 1 2 l1 l2 (3)在x轴和y轴上的截距分别是 3 , 3 2 ； . 4)经过两点 P1(3，2)、P2(5，4)； . 例例 1：直线l的方程为 Ax
5、+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ） AC=0，B0 BC=0，B0，A0 CC=0，AB0 例例 2：直线l的方程为 AxByC=0，若 A、B、C 满足 AB.0 且 BC0，则 l 直线不经 的象限是（ ） A第一 B第二 C第三 D第四 （4 4）直线系方程：即具有某一）直线系方程：即具有某一共同性质的直线共同性质的直线 （一）平行直线系 平行于已知直线0 000 CyBxA（ 00,B A是不全为 0 的常数）的直线系： 0 00 CyBxA（C为常数） （二）过定点的直线系 （）斜率为k的直线系： 00 y yk x x ，直线过定点 00, y x； （）过
6、两条直线0: 1111 CyBxAl，0: 2222 CyBxAl的交点的直线 系方程为0 222111 CyBxACyBxA（为参数） ， 其中直线 2 l不在直线系中。 （三）垂直直线系 垂直于已知直线0AxByC（,A B是不全为 0 的常数）的直线系： 0BxAy C 例例 1：直线：直线 l：(2m+1)x+(m+1)y7m4=0 所经过的定点为 。(mR) （5 5）两直线平行与垂直）两直线平行与垂直 当 111: bxkyl， 222 :bxkyl时， （1） 212121 ,/bbkkll ； （2）1 2121 kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在
7、与否。 （3） 1212 ,kk bb 1 l与 2 l重合； （4） 12 kk 1 l与 2 l相交。 另 外 一 种 形 式 ： 一 般 的 ， 当 111111 0:0(,)lAxB yCA B不全为， 与 222222 0:0(,)lA xB yCA B不全为 时， （1） 1221 1221 0 / / 12 0 A BA B ll B CB C ，或者 1221 1221 0 0 ABA B ACA C 。 （2） 121212 0llA AB B 。 （3） 1 l与 2 l重合 1221 ABA B= 1221 BCB C= 1221 ACA C=0。 （4） 1 l与 2
8、l相交 1221 0ABA B。 例例.设直线 l1经过点 A(m，1)、B(3，4)，直线 l2经过点 C(1，m)、D(1，m+1)， 当(1) l1/ / l2 (2) l1l1时分别求出 m 的值 例 1.已知两直线 l1： x+(1+m) y =2m 和 l2：2mx+4y+16=0，m 为何值时 l1与 l2相交平 行 例 2. 已知两直线 l1：(3a+2) x+(14a) y +8=0 和 l2：(5a2)x+(a+4)y7=0 垂直，求 a 值 （6 6）两条直线的交点）两条直线的交点 0: 1111 CyBxAl 0: 2222 CyBxAl相交 交点坐标即方程组 0 0
9、222 111 CyBxA CyBxA 的一组解。 方程组无解 21/l l ； 方程组有无数解 1 l与 2 l重合 例 3.求两条垂直直线 l1：2x+ y +2=0 和 l2： mx+4y2=0 的交点坐标 例 4. 已知直线 l 的方程为1 2 1 xy， (1)求过点（2，3）且垂直于 l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于 l 的直线方程。 例例 2：求满足下列条件的直线方程 (1) 经过点 P(2，3)及两条直线 l1： x+3y4=0 和 l2：5x+2y+1=0 的交点 Q； (2) 经过两条直线 l1： 2x+y8=0 和 l2：x2y+1=0 的交点且与直线 4x
10、3y7=0 平行； (3) 经过两条直线 l1： 2x3y+10=0 和 l2：3x+4y2=0 的交点且与直线 3x2y+4=0 垂直； （7 7）两点间距离公式：）两点间距离公式：设 1122 (,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则 22 2121 |()()ABxxyy （ 8 8 ） 点 到 直 线 距 离 公 式 ：） 点 到 直 线 距 离 公 式 ： 一 点 00,y xP 到 直 线1: 0lAx By C 的 距 离 22 00 BA CByAx d （9 9）两平行直线距离公式）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求
11、解。 对于0: 1111 CyBxAl 0: 2222 CyBxAl来说： 12 22 CC d AB 。 例 1：求平行线 l1：3x+ 4y 12=0 与 l2： ax+8y+11=0 之间的距离。 例 2：已知平行线 l1：3x+2y 6=0 与 l2： 6x+4y3=0，求与它们距离相等的平行线方程。 (10) (10) 对称问题对称问题 1) 中心对称 A、若点 11 ( ,)M x y及( , )N x y关于( , )P a b对称，则由中点坐标公式得 1 1 2, 2. xax yby B、直线关于点的对称，主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐 标公式求出它们对于已知点对
12、称的两点坐标， 再由两点式求出直线方程， 或者求出一个 对称点，再利用 12 / /ll，由点斜式得出所求直线的方程。 2) 轴对称 A、点关于直线的对称： 若 111 ( ,)P x y与 222 (,)P xy关于直线: 0l Ax By C 对 称，则线段 12 PP的中点在对称轴l上，而且连结 12 PP的直线垂直于对称轴l，由方程组 1212 12 12 0, 22 , xxyy ABC yyB xxA 可得到点 1 P关于l对称的点 2 P的坐标 22 (,)xy（其中 12 0,)Axx。 B、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的 点来解决，若已知直线 1 l与对
13、称轴l相交，则交点必在与 1 l对称的直线 2 l上，然后再求 出 1 l上任一个已知点 1 P关于对称轴l对称的点 2 P，那么经过交点及点 2 P的直线就是 2 l； 若已知直线 1 l与对称轴l平行，则与 1 l对称的直线和 1 l到直线l的距离相等，由平行直线 系和两条平行线间的距离，即可求出 1 l的对称直线。 例 1：已知直线 l：2x3y+1=0 和点 P(1，2). (1) 分别求：点 P(1，2)关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标 (2) 分别求：直线 l：2x3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称的直线方程. (3) 求直线 l 关于点 P(1，2)对称的直线方程。 (4) 求 P(1，2)关于直线 l 轴对称的直线方程。 例 2：点 P(1，2)关于直线 l： x+y2=0 的对称点的坐标为 。 11. 中点坐标公式中点坐标公式：已知：已知两点两点 P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点 M 坐标为( 2 21 xx ， 2 21 yy ) 例例. 已知点 A(7，4)、B(5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程
