1、3.13.1空间向量空间向量及其及其运算运算 平面向量复习 定义： 既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法： 用有向线段表示； 字母表示法： 用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 表示 AB 相等的向量： 长度相等且方向相同的向量 A B C D 平面向量的加减法运算平面向量的加减法运算 向量的加法：向量的加法： a b 平行四边形法则平行四边形法则 a 三角形法则三角形法则(首尾相连首尾相连) 平面向量的加法运算律平面向量的加法运算律 加法交换律：加法交换律： abba 加法结合律：加法结合律： (ab)ca(bc) 推广推广 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向首尾相接的若干向量
2、之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量即：量的起点指向末尾向量的终点的向量即： nnn AAAAAAAAAA 11433221 1 A 2 A 3 A 4 A 1n A n A 首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量即：则它们的和为零向量即： 0 11433221 AAAAAAAAAA nnn 1 A 2 A 3 A 4 A n A 1n A 向量的减法向量的减法 a b 三角形法则三角形法则 减向量减向量终点指向终点指向被减向量被减向量终点终点 一、空间向量的基本概念一、空间向量的基本概念 空间向量空间向量 零零向量向量 单
3、位单位向量向量 相等相等向量向量 相反相反向量向量 ABa或 0 1|e ba aa与 既有既有大小大小，又有，又有方向方向的量的量 长度为长度为零零的向量的向量 长度为长度为1的向量的向量 方向方向相同相同，长度，长度相等相等的向量的向量 方向方向相反相反，长度，长度相等相等的向量的向量 向量的模 表示向量的有向线段的长度 |a A B 9 结论：结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。1）空间任意两个向量都是共面向量。 2）涉及空间任意两个向量问题，平2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。面向量中有关结论仍适用它们。 a b a b b b ABOAOBa + b
4、a b A B b C O OCOACAa - - b 二、空间向量的加减运算二、空间向量的加减运算 11 平面向量平面向量 空间向量空间向量 加法加法 减法减法 运算运算 加法加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法减法:三角形法则 运 算 律 加法交换律加法交换律 abba 加法结合律加法结合律: : ()()abcabc abba加法交换律加法交换律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法结合律加法结合律 ()()abcabc 注注: :两个空间向量的加、减法两个空间向量的加、减法与两个平面向量与两个平面向量 的加、减法实质是一样的的加、减法实质是一样的. . 2、对
5、空间向量的加法、减法的小结、对空间向量的加法、减法的小结 化简结果的向量：列向量表达式，并标出 ，化简下已知平行六面体DCBAABCD ；BCAB ；AAADAB A B C D A B C D 例例1 (4)ACDBDC (3)ABCB AA ABCDA B C D例1、 已知平行六面体，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： ；BCAB 解： A B C D A B C D BCAB AC ；AAADAB AAADAB AAAC CCAC AC 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示
6、向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 (4)ACDBDC (3)ABCB AA 练习练习1、在如图所示的平行六面体中，、在如图所示的平行六面体中， 求证：求证： 2.ACABADAC A B C D A B C D ,ABCDA B C D 变式：变式： 已知平行六面体已知平行六面体 则下列四式中：则下列四式中： 其中正确的是其中正确的是 。 (1); (2); (3); (4). ABCBAC ACABB CCC AACC ABBBBCC CAC 15 例如例如: : a 3 a 3a 与平面向量一样与平面向量一样, ,实数实数 与空间向量与空间向量a的乘积的乘积 a 仍然
7、是一个向量仍然是一个向量. . 当当0 时时, ,a 与向量与向量a的方向相同的方向相同; ; 当当0 时时, ,a 与向量与向量a的方向相反的方向相反; ; 当当0 时时, ,a 是零向量是零向量. . 三、三、 空间向量的数乘运算法则 16 显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律及结合律 () ()() a bab aaa aa 即： （） F E D C B A 123 891P （ ）、（ ）、（ ） 练习 17 a c b 定义定义: :表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合重合, ,则称这些向量叫
8、则称这些向量叫共线向量共线向量.(.(或平行向量或平行向量) ) 思考思考: :对空间任意两个向量对空间任意两个向量a与与b, ,如果如果ab , ,那那 么么a与与b有什么关系有什么关系? ?反过来呢反过来呢? ? 类似于平面类似于平面, ,对于对于空间任意两个向量空间任意两个向量a, ,b( (0b ) ), , a/b R , ,ab . . 四、共线向量及其定理四、共线向量及其定理 18 思考思考: :如图如图, ,l为经过已知点为经过已知点A A且平行非零向量且平行非零向量a的直线的直线, , 如何如何表示表示直线直线l上的任一点上的任一点P? ? l A P a 注注: :非零向量
9、非零向量a叫做叫做 直线直线l的的方向向量方向向量. . B /APa, ,存在唯一实数存在唯一实数tR , ,使使APt a. . 点点P在直线在直线l上上 唯一实数唯一实数,tR 使使APt a 对于任意一点对于任意一点 O, ,有有APOPOA 则则点点P在直线在直线l上上 唯一实数唯一实数,tR 使使OPOAta 点点 B 在直线在直线 l 上上, ,且且ABa 则则点点P在直线在直线l上上 唯一实数唯一实数,tR 使使OPOAtAB 注注: :、式都称为、式都称为空间直线的向量表示式空间直线的向量表示式, , 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定即空间直线由空间一点及直线的方
10、向向量唯一确定. . O 即，P,A,B三点共线。或表示 为： (1).OPt OAtOB 19 例例 2 2、已知已知OE是以是以OA OB OC、为棱的平行六面体为棱的平行六面体 OADBCFEG的对角线的对角线, ,点点M是是ABC的重心的重心. . 求证求证: :点点M在直线在直线OE上上. . O A M G E F C B D 分析分析: 证三点共线可证三点共线可 尝试尝试用向量来分析用向量来分析. N 20 五五. .共面向量及其定理共面向量及其定理: : 1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. . O A a a
11、注意：注意：空间任意两个空间任意两个 向量是共面的向量是共面的，但空，但空 间任意三个向量就不间任意三个向量就不 一定共面的了。一定共面的了。 2.2.共面向量定理共面向量定理: :如如果两个向量果两个向量a b、不共线不共线, ,则向则向 量量p与向量与向量a b、共面的充要条件是存在唯一的有共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对序实数对( , )x y使使pxayb. . Aa b B C P p 21 思考思考 1 1: :如图如图, ,平面平面 为经过已知点为经过已知点A且平行且平行两不共线两不共线 的的非零向量非零向量a b、的的平面平面, ,如何如何表示表示平面平面A上的任一点上的
12、任一点P 呢呢? ? O Aa b B C P p AP ab与与 、共面共面, , 唯一唯一有序有序实数实数对对( , ),x y 使使APxayb. . 点点P在在平面平面 上上 唯一唯一有序有序实数实数对对( , ),x y使使APxayb 已知点已知点B C、在平面在平面 内且内且ABa , ,ACb 点点P在在平面平面 上上 是是存在存在唯一有序实数对唯一有序实数对( , ),x y使使APxAByAC 已知点已知点B C、在平面在平面 内且内且ABa , ,ACb , ,对于空间任意一点对于空间任意一点O 点点P在在平面平面 上上 是是存在存在唯一有序实数对唯一有序实数对( , )
13、,x y使使OPOAxAByAC 注注: :、式都称为、式都称为平面平面 的向量表示式的向量表示式, , 即即平面平面由空间一点及由空间一点及两个不共线两个不共线向量唯一确定向量唯一确定. . 22 思考思考 2 2( (课本课本 P88P88 思考思考) ) 已知空间任意一点已知空间任意一点O和不共线的三点和不共线的三点A B C、 、, , 满 足 向 量 关 系 式满 足 向 量 关 系 式OPxOAyOBzOC( ( 其 中其 中 1xyz) )的点的点P与点与点A B C、 、是否共面是否共面? ? 23 1.对于空间任意一点对于空间任意一点O，下列命题正确的是：，下列命题正确的是：
14、 (A)若若 ，则，则P、A、B共线共线 (B)若若 ，则，则P是是AB的中点的中点 (C)若若 ，则，则P、A、B不共线不共线 (D)若若 ，则，则P、A、B共线共线 OPOAtAB 3OPOAAB OPOAtAB OPOAAB A 2.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任意一点内，并且对空间任意一点 O， , 则则x的值为的值为( ) 1 ( )1( )0( )3() 3 ABCD OMxOAOBOC 1111 3333 练习练习: : D 24 3.下列下列说明正确的是：说明正确的是： (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线 (B)在空间共
15、线的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线 (C)在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线 (D)在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线 4.下列说法正确的是：下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面 D C A M C G D B 1 ) 2 abc（ 1 ) 3 abc（ 练习练习 5 5: : 如 图如 图 ,
16、 , 已 知 空 间 四 边 形已 知 空 间 四 边 形ABCD中中 , , 向 量向 量 ABa , ,ACb , ,ADc , ,若若M为为BC的中点的中点, ,G为为 BCD 的重心的重心, ,试用试用abc、表示下列向量表示下列向量: : DM AG 例例3(课本例课本例1)如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平 面面AC外一点外一点O引向量引向量 , , , , 求证：求证： 四点四点E、F、G、H共面；共面； 平面平面EG/平面平面AC. OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 例例3 (课本例课本例1)已知已知 ABCD ，从平面，从平面AC外一点外
17、一点O引向量引向量 A ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面； 平面平面AC/平面平面EG. B C D O E F G H 证明：证明： 四边形四边形ABCD为为 ACABAD（） EGOGOEkOCkOA ()k OCOAkAC （）代入）代入 ()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。 EFEH 例例3 已知已知 ABCD ，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面； 平面平面
18、AC/平面平面EG。 证明：证明： 由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得： EFOFOEkOBkOA ()k OBOA kAB 由由知知 EGkAC /EGAC/EFAB /EGAC面面面面 A B C D O E F G H 六、两个向量的夹角六、两个向量的夹角 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范 围是围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是其取值范围是0,180 七、两个向量的数量积七、两个向量的数量积 注注: :两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的
19、数量积是数量，而不是向量. . 规定规定: :零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零. a b B 类比平面向量类比平面向量, ,你能说你能说 出出a b 的几何意义吗的几何意义吗? ? B1 1 如图如图 11 A B是是b在在a方方 向上的向上的投投影向量影向量. . A A1 1 2、空间两个向量的数量积的性质、空间两个向量的数量积的性质 3、空间向量数量积的运算律、空间向量数量积的运算律 与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 向量数量积的运算适合乘法结合律吗向量数量积的运算适合乘法结合律吗? 即即(ab)
20、c一定等于一定等于a(b c)吗吗? 例例4、已知空间向量、已知空间向量a，b满足满足|a|=4，|b|=8，a与与b的夹角是的夹角是 150，计算：，计算：(1)(a+2b) (2a-b)；(2)|4a一一2b| 如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都的每条边和对角线长都 等于等于a，点，点E、F、G分别是分别是AB、AD、DC的中点。求的中点。求 下列向量的数量积：下列向量的数量积： (1);(2); (3);(4). AB ACAD BD GF ACEF BC 练习练习6 A B C D E F G 练习练习7 ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,9
21、0 ,60ADAABADBAADAA AC DC B D A B C A 解：解： ACABADAA |85 AC 22 |()ACABADAA 222 | 2() ABADAA AB ADAB AAAD AA 222 4352(0107.5) 85 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对，将它沿对 角线角线AC折起，使折起，使AB与与CD成成60角，求角，求B，D间的距离间的距离 练习练习8 已知空间四边形已知空间四边形OABC中，中，M，N，P，Q分别为分别为BC，AC，OA， OB的中点，若的中点，若AB=OC，求证：，求证：PMQN 证明：证明：
22、 练习练习9 1010. .如图，在空间四边形如图，在空间四边形ABCD中，中，2AB ，3BC ， 2 3BD ，3CD ，30ABD，60ABC，求，求 AB与与CD的夹角的余弦值的夹角的余弦值 奎屯 王新敞 新疆 解：解：CD BDBC， AB CDAB BDAB BC | | cos,ABBDAB BD | | cos,ABBCAB BC 22 3cos15023 cos120633 31 cos, 2 32| | AB CD AB CD ABCD ， AB与与CD的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为 1 2 说明：说明：由图形知向量的夹角时易出错，如由图形知向量的夹角时易出错，如,150
23、AB BD 易错写成易错写成,30AB BD，注意推敲！，注意推敲！ 练习练习11 123123 ( ,),( ,)aa a abb b b设则 ;ab ;ab ;a ;a b /;ab ;ab 112233 (,)ab ab ab 112233 (,)ab ab ab 123 (,),()aaaR 1 1223 3 a ba ba b 112233 ,()abab ab abR 1 1223 3 00a ba ba ba b 八、向量的直角坐标运算八、向量的直角坐标运算 新课新课 2222 123 | aa aaaa 2222 123 | bb bbbb 1. 1.距离公式距离公式 （1 1
24、）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体注意：此公式的几何意义是表示长方体 的对角线的长度。的对角线的长度。 九、距离与夹角九、距离与夹角 | AB ABABAB 212121 (,)xxyyzz 222 212121 ()()()xxyyzz 222 212121 |()()() AB dABxxyyzz 在空间直角坐标系中，已知在空间直角坐标系中，已知 、 ，则，则 111 (,)A xyz 222 (,)B xyz （2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式 cos, | | a b a b ab 1 1223 3 222222 123123
25、 ; a ba ba b aaabbb 2. 2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式 注意：注意： （1）当）当 时，时， 同向；同向； （2）当）当 时，时， 反向；反向； （3）当）当 时，时， 。 cos,1a b 与 ab cos,1 a b与 ab cos,0a b ab 例例5已知已知 (2, 3,5),( 3,1, 4) ,|,8 , ab ab ab aa a b 求 (2, 3,5)( 3,1, 4)(5, 4,9)ab (2, 3,5)( 3,1, 4)( 1, 2,1)ab 222 | |2( 3)538a 88(2, 3,5)(16, 24,40)a (2, 3,5) (
26、 3,1, 4)2 ( 3) ( 3) 1 5 ( 4)29a b 解解: F1 E1 C1 B1 A1 D1 D AB Cy z x O 解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建 立空间直角坐标系立空间直角坐标系 ，则，则 Oxyz 1 3 (1,1,0) ,1,1 , 4 BE 1 1 (0,0,0) ,0, 1 . 4 DF ， 1 31 1,1(1,1,0)0,1 , 44 BE 例例6 如图如图, 在正方体在正方体 中，中， ，求，求 与与 所成的角的余弦值所成的角的余弦值. 1111 ABCDA B C D 11 B E 11 11 4 A B D F 1 BE
27、1 DF 1 11 0, 1(0,0,0)0, 1 . 44 DF ， 11 1115 0 01 1, 4416 BE DF 11 1717 |,|. 44 BEDF 11 11 11 15 15 16 cos,. 17 | |1717 44 BE DF BEDF BEDF 证明：证明：如图，不妨设正方体的棱长为如图，不妨设正方体的棱长为 1 1， 分别以分别以DA、DC、 1 DD为单位正交基底为单位正交基底 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz， 例例 7 7、 如图， 正方体如图， 正方体 1111 ABCDA B C D 中，中，E，F分别是分别是 1 BB， 11 D B 中
28、点，求证：中点，求证： 1 EFDA 则则 1 (1,1,) 2 E， 1 1 ( ,1) 2 2 F 所以所以 11 1 (,) 22 2 EF ， 又又 1(1,0,1) A，(0,0,0)D， 所以所以 1 (1,0,1)DA 所以所以 1 11 1 (,) (1,0,1)0 22 2 EF DA ， 因此因此 1 EFDA ，即，即 1 EFDA 证明：不妨设已知正方体的棱长为证明：不妨设已知正方体的棱长为1 1个单个单 位长度位长度, ,设设 1 ,DAi DCj DDk 分别以分别以 为坐标向量建立空间直为坐标向量建立空间直 角坐标系角坐标系 则则 , ,i j k Dxyz 1 1 (0,0,0)(1,0,0)( 1,0,0),(0, 1) 2 ADDF 1 1 ( 1,0,0) (0, 1)0 2 AD D F 1 D FAD 1 (0,1, ) 2 AE 又 1 1111 (0,1,) (0, 1)0 2222 AE D F 1 D FAEADAEA又 1 D FADE 平面 1 (0,0,0), (1,0,0),(0,0,1)DAD 11 (0,0),(1,1, ) 22 FE 11111 ,ABCDABC DE FBB CD中分别是的中点 1 D FADE求证平面 例例8. 在正方体在正方体
