1、 百师联盟百师联盟 2021 届高三一轮复习联考（四）新高考卷届高三一轮复习联考（四）新高考卷 数学试卷数学试卷 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.同答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，同答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无
2、效。卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为 120 分钟，满分 150 分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1.已知集合2, 1,0,1,2A ，集合 1 0 x Bx x ，则AB （ ） A.0,1,2 B.2, 1,2 C.2, 1,1 D.0,1 2.已知复数z满足 2i i z ，其中i是虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若 3 sincos 4 ，0,，则sin 4
3、的值为（ ） A. 7 8 B. 46 8 C. 7 8 D. 46 8 4.设 n S是等比数列 n a的前n项和，若 34 21Sa， 23 21Sa，则公比q （ ） A.2 B.1 C.3 D.2 5.若a，b是两个不共线的向量，已知2MNab，2PNakb，3PQab，若M，N，Q三 点共线，则k （ ） A.1 B.1 C. 3 2 D.2 6.研究药物、毒物、及其代谢物在机体内的吸收、分布、代谢和排泄的动态过程及这些过程与药理反应间的 定量规律的学科分支称为药物动力学，为了揭示药物在机体内的动力学规律，通常从给药后的一系列时间 采取血样， 测定血药浓度， 然后对所得到的数据作理论
4、分析， 已知在恒速静脉滴注停止后的血药浓度c（t） 随着时间t（单位：h） 的变化可以用指数模型 0 ht tCce描述， 假定某药物的消除速率常数0.15k （单 位： 1 h） ，初始血药浓度 0 67.5mg / LC ，则该药物在机体内的血药浓度变为22.5mg/ L需要的时间约 为（ln31.1） （ ） A.2.7h B.4.6h C.7.3h D.10.1h 7.高斯（1777-1855）是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并 享有“数学王子”之称，高斯一生的数学成就很多，其中：设xR，用 x表示不超过x的最大整数，则 yx称为高斯函数，例如：
5、2.32，2.13 ，已知函数 2 22fxxx，0,2x，设函 数 yf x 的值域为集合D，则D中所有负整数元素个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 8.设函数 12 sinsinfaxxbx，则“0 2 f ”是“ f x为偶函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9.已知曲线E： 22 1 31 xy mm .（ ） A.若13m，则E为椭圆 B.若E为
6、焦点在x轴上的椭圆，则12m C.若1m，则E为焦点在x轴上的双曲线 D.若E为双曲线，则焦距为 4 10.设函数 2sin 21 6 xxf 的图象为C，则（ ） A.图象C关于直线 5 6 x 对称 B.图象C关于点,0 12 中心对称 C.图象C可由函数 2sin21g xx的图象向左平移 12 个单位长度得到 D.函数 f x在 513 , 36 上单调递增 11.已知0a ，0b ，则下列结论正确的是（ ） A.若2ab，则1ab B.若0c ，则 aac bbc C.若log 2020log 20200 ab ，则 a b a e b D.若 14 2 ab ，则 9 2 ab 1
7、2.设函数 f x的定义域为R，满足 31f xf x，且当0,1x时， 2 f xxx，若对任意 ,xa ，都有 54 25 f x ，则实数a的可能取值为（ ） A.3 B.12 5 C.2 D.1 三、填空题：本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上. 13.已知 1 F、 2 F是椭圆C： 22 22 1 xy ab 2+=1（0ab）的两个焦点，过点 1 F的直线与椭圆交于A，B两 点， 2 ABF的周长为 12，椭圆C的离心率为 2 3 ，则椭圆C的方程为_. 14. 5 2 1 12x x 展开式中 2 x的系数为_. 15.若数列 n a满足： 1
8、 1a ， 2 1a ， 12nnn aaa （3n，n N） ，则称数列 n a为斐波那契数列 斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，如图 1 中的实线部分（正方形内的数字与 n a为所 在正方形的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构成圆心角为90的扇形） ，自然界中存在许多这样 的图案，比如向日葵种子的排列、芦荟叶子的排列等（如图 2） ，若一母线长为 16 的圆锥的底面周长恰好等 于图 1 的螺旋曲线的长度，则该圆锥的侧面积为_. 16.已知正三棱锥ABCD的外接球是球O，1BC ， 2 3 3 AB ，点E为BD中点，过点E作球O的截 面，则所得截面圆面积的取值范围是_
9、. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（10 分） 如图，在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在bc；2 cos32bCca； sinsinsinsinACBC bac 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 已知1a ， 6 C ，D是边AC上的一点， 4 ADB，若_，求ABD的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（12 分） 为了振兴乡村，打好扶贫攻坚战，某企业应当地政府号召，在其扶贫基地建厂，利用当地原材料优势生产 某种产品，已知年固定成本为 50 万元，年变动成本M（万元）与
10、产品产量x（万件）的关系为 2 11 ,030 42 171300 150,36 16 xxx x M x x ，产品售价为 10.5 万元/万件，该企业利用其产业链优势，可将该厂产品全 部收购 （1）写出年利润P（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式； （2）当年产量为多少时，该厂年利润最大？最大利润为多少？ 19.（12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足： 123 12 23 3 n n nn aaana ，n N. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 n S 的前n项和为 n T，证明： 11 9 n T . 20.（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD
11、中，PD 底面ABCD，ADCD，/AB CD， 1 1 2 PDABADCD， M，N，Q分别为线段BC，CD，PA的中点. （1）证明：平面/PMN平面QDB； （2）求二面角PBDQ的余弦值. 21.（12 分） 已知抛物线C： 2 2ypx（0p ）的焦点F关于直线 1 l：10 xy 的对称点为 1 F，且 1 3 2FF . （1）求抛物线C的方程； （2）过点2,0的直线 2 l交抛物线C于A，B两点，抛物线C上是否存在定点D，使直线AD，BD的 斜率之和为定值，若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由. 22.（12 分） 已知函数 ln1xxxf xa，aR. （1）求函数
12、 f x的单调区间； （2）当2a 时，对任意1x ， 1f xb x恒成立，求正整数b的最大值. 百师联盟百师联盟 2021 届高三一轮复习联考（四）新高考卷届高三一轮复习联考（四）新高考卷 数学参考答案及评分意见数学参考答案及评分意见 1.B【解析】,01,B ，所以2, 1,2AB ，故选 B. 2.D【解析】 2 2i i2i 1 2i ii z ，所以z在复平面对应的点1, 2位于第四象限，故选 D. 3.D【解析】因为 3 sincossincos 4 ，所以 29 sincos1 2sincos 16 ， 7 2sincos0 16 ，因为0,，所以sin0 ，cos0 ，0,
13、2 ， 223 sincos12sincos 16 ， 246 sinsincos 428 ，故选 D. 4.C【解析】因为 34 21Sa， 23 21Sa，两式作差得 32343 222SSaaa，即 43 3aa，则该等 比数列的公比3q ，故选 C. 5.B【解析】由题意知，1NQPQPNakb，因为M，N，Q三点共线，故MNNQ，即 21ab akb ，解得1 ，1k ，故选 B. 6.C 【解析】 由题意可得 0.15 67.5 t ec t ， 设该药物在机体内的血药浓度变为 22. 5mg/ L需要的时间为 1 t， 1 0.15 1 67.522.5 t c te，则 1 0
14、.15 1 3 t e，所以 1 0.15ln3t ， 1 ln31.1 7.3h 0.150.15 t ，故选 C. 7.B【解析】函数 f x图象的对称轴为 1 4 x ，当0,2x时，易知 min 117 48 ffx ， 17 ,4 8 fx ， 所以 yf x 的值域3, 2, 1,0,1,2,3D ， 故其值域中所有负整数元素为1， 2，3，个数为 3，故选 B. 8.C【解析】若 f x为偶函数，则 f xfx， 即 1212 sinsinsinsinaxbxaxbx ， 整理得 12 2 sincos2 sincos0axbx，即 12 coscos0ab，所以0 2 f ；若
15、0 2 f ， 即有 12 coscos0ab，所以“0 2 f ”是“ f x为偶函数”的充要条件，故选 C. 9.BC【解析】若方程表示椭圆，则满足 30 10 31 m m mm ，解得12m或23m，对于 A 中，当2m 时， 此时方程 22 2xy表示圆， 所以 A 不正确； 当方程表示焦点在x轴上的椭圆， 则满足 30 10 31 m m mm ， 解得12m， 所以 B 正确； 对于 C 中， 当1m时，30m，10m ， 表示焦点在x轴上的双曲线， 所以 C 正确；对于 D 中，当1m 时，方程 22 1 42 xy ，此时双曲线的焦距2 6，所以 D 不正确.故选 BC. 1
16、0.ACD【解析】当 5 6 x 时， min 5 3 6 ff x ，A 正确；当 12 x 时，10 12 f ， 所以 B 错误；函数 2sin21g xx的图象向左平移 12 个单位长度得到的函数为 2sin212sin 21 126 xxh x ，C 正确； f x的单调递增区间为, 36 kk ， kZ，易知 D 正确故选 ACD. 11.ACD【解析】由于22abab，则1ab，故 A 正确；当ab时， aac bbc ，故 B 错误；由 log 2020log 20200 ab 得 20202020 11 0 loglogab ，则有1ab，设函数 ex f x x ， 2 e
17、1 x x x x f ，则 f x在1,单调递增，所以 f af b，即 ee ab ab ，则有ea b a b ，故 C 正确； 11414149 552 2222 baba abab ababab ， 当且仅当 14 2 ab ， 4ba ab ， 即 3 2 a ，3b 时取等号，故 D 正确.故选 ACD. 12.BCD 【解析】当0,1x时， 2 f xxx的最小值为 1 4 ；当1,0 x 时，10,1x ， 2 111f xxx，由 31f xf x知， 1 1 3 f xf x，所以此时 21 11 3 f xxx ，其最小值为 1 12 ；同理，当1,2x时， 2 311
18、f xxx ， 其最小值为 3 4 ；当2,3x时， 2 922f xxx 的最小值为 9 4 ；作出如右简图，因为 9543 4254 ，要使 54 25 f x ，则有 254 922 25 xx ，解得 12 5 x 或 13 5 x ，要使 对任意,xa ，都有 54 25 f x ，则实数a的取值范围是 12 , 5 ，故选 BCD. 13. 22 1 97 xy 【解析】 2 ABF的周长为4a，故3a ，由 2 3 c a 得2c ，则 222 7bac，椭 圆C的方程为 22 1 97 xy . 14.70【解析】 5 2 1 12x x 展开式中含 2 x的项为 232442
19、 55 2 1 12270CxCxx x ，故 2 x系数为 70. 15.132【解析】 3 2a ， 4 3a ， 5 5a ， 6 8a ， 7 13a ，则图 1 中螺旋线的长度为 233 1 12358 13 42 ，圆锥底面圆的半径为r.母线长为l，则 33 2 2 r ，16l ，则圆锥 的侧面积为 133 216132 24 rl .故答案为132. 16. 4 , 49 【解析】如图，设BCD的中心为 1 O，球O的半径为R，连接 1 O D，OD， 1 O E，OE， 则 1 23 1 sin 333 O D ， 22 11 1AOADO D， 在 1 RtOO D中， 2
20、 2 2 3 1 3 RR ，解得 2 3 R ，所以 11 1 3 OOAOR， 1 13 1 sin 336 O E ， 所以 22 11 7 6 OEO EOO， 过点E作球O的截面， 当截面与OE垂直时， 截面的面积最小，此时截面的半径为 22 1 2 ROE，则截面面积为 2 1 24 ，当截面过球心时，截 面面积最大，最大面积为 2 4 9 R .故答案为 4 , 49 . 17.【解析】若选择，bc，则在ABC中， 6 BC， 2 3 A， 由正弦定理： sinsin ac AC ，得 3 3 c . 在ABD中，由正弦定理： sinsin cBD ADBA ，即 3 3 23
21、22 BD ，解得 2 2 BD ， 321262 sinsinsin 123422224 ABD ， 所以 133 sin 224 ABD SABBDABD . 若选择，2 cos32bCca，则2sincos3sin2sin2sinBCCABC， 化简得，3sin2cossinCBC，因为 5 0, 6 C ，所以sin0C ，故 3 cos 2 B ， 又 5 0, 6 B ，故 6 B ，所以 2 3 A. 由正弦定理： sinsin ac AC 得 3 3 c . 在ABD中，由正弦定理： sinsin cBD ADBA ，即 3 3 23 22 BD ，解得 2 2 BD ， 32
22、1262 sinsinsin 123422224 ABD ， 所以 133 sin 224 ABD SABBDABD . 若选择 sinsinsinsinACBC bac ，则有 acbc bac ，即 222 2cosbcabcbcA ， 1 cos 2 A ，由于 5 0, 6 A ，故 2 3 A. 由正弦定理： sinsin ac AC 得 3 3 c . 在ABD中，由正弦定理： sinsin cBD ADBA ，即 3 3 23 22 BD ，解得 2 2 BD ， 321262 sinsinsin 123422224 ABD ， 所以 133 sin 224 ABD SABBDA
23、BD . 18.【解析】 （1）产品年销售额为10.5x万元，由题意得 2 11 10.550,030 42 171300 10.515050,30 16 xxxx xxx x P ，即 2 1 1050,030 4 3300 100,30 16 xxx xx P x . （2）当030 x， 21 2050 4 Px ，此时，当20 x 时，年利润取得最大值 50 万元. 当30 x时， 33003300 100100285 1616 Pxx xx ，当且仅当 3300 16 x x 即40 x 时取等 号，则当40 x 时，年利润取得最大值 85 万元. 因此，当年产量为 40 万件时，该
24、厂年利润最大，为 85 万元. 19.【解析】 （1）因为 123 12 23 3 n n nn aaana ，所以 1 1 2 3 2 3 a ， 当2n时， 1231 11 231 3 n nn n aaana 得 1211 1 33 n n nnn nn nan n ， 所以1 n an，而1n 时也适合此式，所以1 n an（n N）. （2）证明： 122211 21333 n Snnn nnn ， 所以 21111111 1 3425123 n T nnnn 21111111 1 3231239nnn . 20.【解析】 （1）证明：连接AN，BN，设AN，BN交于点O，连接OQ.
25、 因为N为CD中点， 1 2 ABCD， 所以 1 2 DNCDAB， 因为ADCD， 所以四边形ABND为矩形， 所以O为AN中点， 因为Q为PA中点， 所以/OQ PN，因为PN 平面PMN，OQ 平面PMN，所以/OQ平面PMN， 因为M为BC中点， 所以/BD MN，MN 平面PMN，BD 平面PMN，所以/BD平面PMN OQ 平面QDB，BD 平面QDB， PNMNN，0QBDO， 平面/PMN平面QDB. （2）因为PD 平面ABCD，ADCD，可如图建立空间直角坐标系： 所以0,0,0D，0,0,1P，1,1,0B， 11 ,0, 22 Q ，0,0,1DP ，1,1,0DB
26、， 11 ,0, 22 DQ . 设平面PBD和平面QBD的一个法向量分别为 111 ,xmy z， 222 ,xny z， 则有 0 0 m DP m DB ， 0 0 n DQ n DB ， 即 1 11 0 0 z xy ， 22 21 0 11 0 22 xy xz ， 取 12 1xx得1, 1,0m ，1, 1, 1n ， 所以 6 os 3 c, m n m n mn ， 则二面角PBDQ的余弦值为 6 3 . 21.【解析】 （1）点F到直线 1 l的距离 13 2 2 22 c dc ， 所以抛物线C的方程为 2 8yx. （2）存在，2,4D或2, 4D.理由如下： 设 1
27、1 ,A x y， 22 ,B xy， 00 ,D xy，直线AB的方程为2xmy， 联立抛物线C的方程 2 8yx有： 2 8160ymy， 所以 12 8yym， 12 16y y ， 则 10201020 2222 001210201020 88 8888 ADBD yyyyyyyy kk yyyyxxxxyyyy 0 1200 22 2 12012000 0 0 0 64 81616 4 4 16816 8 8 y m yyymy y yyyyymyyy ym y ， 当且仅当 2 00 0 16 48 yy y 时，式为定值，解得 0 4y ，所以2,4D或2, 4D. 22.【解析
28、】 （1）因为 ln1xxxf xa，所以 ln1xfax， 令 1 0e a xfx ，当 1 0,e a x 时， 0fx； 当 1 e, a x 时， 0fx. 所以 f x的单调递增区间为 1 e, a ；单调递减区间为 1 0,e a x . （2）当2a ，1x 时， 1f xb x变形为 ln21 11 f xxxx b xx ， 令 ln21 1 xx g x x x ， 2 ln2 1 g x x xx ， 令 ln2xh xx ， 11 10 x xx h x ， 所以 gx在1,单调递增， 又 l2n20h ， ln3 130h ， 2ln2042h ， 所以存在唯一 0 3,4x ，使得 0 0h x，即 00 ln2xx， 故当 0 1,xx时， 0h x ， g x单调递减； 当 0, xx时， 0h x ， g x单调递增； 所以 2 000 0 0 0 0 0 ln211 1 11 xxxx x xx g xg x ， 即 0 1bx，又 0 3,4x ，所以 0 14,5x ， 因为b N，所以 max 4b.
