1、. 中档大题规范练中档大题规范练 4 概率与统计概率与统计 1现有 A，B，C 三种产品需要检测，产品数量如下表： 产品 A B C 数量 800 800 1 200 已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了 7 件 (1)求分别抽取的三种产品件数； (2)已知被抽取的 A，B，C 三种产品中，一等品分别有 1 件、2 件、2 件，现再从已抽取的 A， B，C 三件产品中各抽取 1 件，求 3 件产品都是一等品的概率 解 (1)设 A、B 产品均抽取了 x 件， C 产品抽取了(72x)件， 则有 x 800 72x 1 200，解得 x2， A、B 产品分别抽取了 2 件，C 产品抽取了
2、3 件 (2)记抽取的 A 产品为 a1，a2，其中 a1为一等品，抽取的 B 产品为 b1，b2，两件均为一等品， 抽取的 C 产品为 c1，c2，c3，其中 c1，c2为一等品， 从三种产品中各取一件，基本事件数 n22312， 其中三个都是一等品的基本事件有：a1，b1，c1，a1，b1，c2，a1，b2，c1，a1，b2，c2， 共 4 件， 3 件产品均为一等品的概率 P 4 12 1 3. 2某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动 (1)若抽奖规则是从一个装有 3 个红球和 4 个白球的袋中有放回地抽取 2 个球，当两球同色时 则中奖，求中奖的概率
3、； (2)若小张计划在 10：0010：40 之间赶到，小李计划在 10：2011：00 之间赶到，求小张 比小李提前到达的概率 解 (1)从袋中 7 个球中摸出 2 个， 试验的结果共有 7749(种)， 中奖的情况分为两种： 2 个球都是白色，包含的基本事件数为 4416； 2 个球都是红色，包含的基本事件数为 339. 所以，中奖这个事件包含的基本事件数为 16925. . 因此，中奖概率为25 49. (2)设小张和小李到达的时间分别为 10 点到 11 点之间的 x，y 分钟 用(x，y)表示每次试验的结果， 则所有可能结果为 (x，y)|0x40 或 20y60; 记小张比小李提前
4、到达为事件 A，则事件 A 的可能结果为 A(x，y)|xy,0x40 或 20y60； 如图所示，试验全部结果构成区域 为正方形 ABCD. 而事件 A 所构成区域是正方形内的阴影部分 根据几何概型公式，得到 P(A) S阴影 S正方形 4021 220 2 402 7 8. 所以，小张比小李提前到达的概率为7 8. 3(2016 课标全国丙)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折 线图 注：年份代码 17 分别对应年份 20082014. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立 y 关于 t
5、的回归方程(系数精确到 0.01)，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注： 参考数据：? i1 7 yi9.32，? i1 7 tiyi40.17， . ? i1 7 ?yi y ?20.55， 72.646. 参考公式：相关系数 r ? i1 n ?ti t ?yi y ? ? i1 n ?ti t ?2? i1 n ?yi y ?2 ， 回归方程y a b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b ? i1 n ?ti t ?yi y ? ? i1 n ?ti t ?2 ，a y b t . 解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 t 4，? i1 7 (ti t )
6、228, ? i1 7 ?yi y ?20.55. ? i1 7 (ti t )(yi y )? i1 7 tiyi t? i1 7 yi 40.1749.322.89， r 2.89 0.5522.6460.99. 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99， 说明 y 与 t 的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 (2)由 y 9.32 7 1.331 及(1)得 b ? i1 7 ?ti t ?yi y ? ? i1 7 ?ti t ?2 2.89 28 0.103， a y b t 1.3310.10340.92. 所以 y 关于 t 的回归方程为y
7、 0.920.10t. . 将 2016 年对应的 t9 代入回归方程得 y 0.920.1091.82. 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨 4某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其某科成绩(是不小于 40 不大 于 100 的整数)分成六段后画出如下频率分布直方图， 根据图形中所给的信息， 回答以下问题： (1)求第四小组70,80)的频率，并补全频率分布直方图； (2)求样本的众数； (3)观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分 解 (1)因为各组的频率和等于 1， 故第四组的频率： f41
8、(0.0250.01520.010.005)100.3， 频率分布直方图补全如下 (2)由频率分布直方图知第四小组70,80)的小矩形最高，所以样本的众数是 75. (3)依题意，60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 (0.0150.030.0250.005)100.75， 所以，抽取学生成绩的及格率是 75%. 学生的平均分450.1550.15650.15750.3850.25950.0571. 所以估计这次考试的平均分是 71 分 5经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下： 排队 0 1 2 3 4 5 人及 . 人数 5 人以上 概率 0.1 0.1
9、6 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多 2 人排队等候的概率是多少？ (2)至少 3 人排队等候的概率是多少？ 解 记“无人排队等候”为事件 A， “1 人排队等候”为事件 B， “2 人排队等候”为事件 C， “3 人排队等候”为事件 D，“4 人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事 件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 互斥 (1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G， 则 GABC， 所以 P(G)P(ABC) P(A)P(B)P(C) 0.10.160.30.56. (2)方法一 记“至少 3 人排队等候”为事件 H， 则 HDEF， 所以 P(H)P(DEF) P(D)P(E)P(F) 0.30.10.040.44. 方法二 记“至少 3 人排队等候”为事件 H， 则其对立事件为事件 G， 所以 P(H)1P(G)0.44.
