1、. 中档大题规范练中档大题规范练 2 立体几何立体几何 1如图，三棱柱 ABCA1B1C1的侧面 AA1C1C 是矩形，侧面 AA1C1C侧面 AA1B1B，且 AB 4AA14，BAA160 ，D 是 AB 的中点 (1)求证：AC1平面 CDB1； (2)求证：DA1平面 AA1C1C. 证明 (1)连接 A1C 交 AC1于 F，取 B1C 中点 E，连接 DE，EF. 四边形 AA1C1C 是矩形，F 是 A1C 的中点， EFA1B1，EF1 2A1B1， 四边形 ABB1A1是平行四边形，D 是 AB 的中点， ADA1B1，AD1 2A1B1， 四边形 ADEF 是平行四边形，
2、AFDE，即 AC1DE. 又DE?平面 CDB1，AC1?平面 CDB1， AC1平面 CDB1. (2)AB4AA14，D 是 AB 的中点， AA11，AD2，BAA160 ， A1D AD2AA212AD AA1cos 60 3. AA21A1D2AD2，A1DAA1， 侧面 AA1C1C侧面 AA1B1B，侧面 AA1C1C侧面 AA1B1BAA1，ACAA1，AC?平面 AA1C1C， AC平面 AA1B1B，A1D?平面 AA1B1B， ACA1D， 又AA1?平面 AA1C1C， AC?平面 AA1C1C， ACAA1A， DA1平面 AA1C1C. 2如图，已知四棱锥 PAB
3、CD 的底面 ABCD 是平行四边形，PA平面 ABCD，M 是 AD 的 中点，N 是 PC 的中点 . (1)求证：MN平面 PAB； (2)若平面 PMC平面 PAD，求证：CMAD. 证明 (1)取 PB 中点 E，连接 EA，EN，PBC 中， ENBC 且 EN1 2BC. 又 AM1 2AD，ADBC， ADBC， 得 ENAM，ENAM，四边形 ENMA 是平行四边形 得 MNAE，MN?平面 PAB， AE?平面 PAB， MN平面 PAB. (2)过点 A 作 PM 的垂线，垂足为 H. 平面 PMC平面 PAD， 平面 PMC平面 PADPM，AHPM，AH?平面 PAD
4、， AH平面 PMC，又 CM?平面 PMC， AHCM. PA平面 ABCD，CM?平面 ABCD， PACM. PAAHA，PA，AH?平面 PAD， CM平面 PAD. AD?平面 PAD，CMAD. 3如图，四棱锥 ABCDE 中，ABC 是正三角形，四边形 BCDE 是矩形，且平面 ABC 平面 BCDE，AB2，AD4. (1)若点 G 是 AE 的中点，求证：AC平面 BDG； (2)若 F 是线段 AB 的中点，求三棱锥 BEFC 的体积 (1)证明 设 CEBDO，连接 OG， . 由三角形的中位线定理可得：OGAC, AC?平面 BDG， OG?平面 BDG， AC平面 B
5、DG. (2)解 平面 ABC平面 BCDE，DCBC， DC平面 ABC，DCAC， DC AD2AC22 3， 又F 是 AB 的中点，ABC 是正三角形， CFAB，SBCF1 2BF CF 3 2 ， 又平面 ABC平面 BCDE，EBBC， EB平面 BCF， VBEFCVEBCF1 3SBCF EB1. 4 如图所示， 四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 侧棱 PA底面 ABCD， 且 PA2，Q 是 PA 的中点 (1)证明：PC平面 BDQ； (2)求三棱锥 QBAD 的体积 (1)证明 连接 AC，交 BD 于 O，连接 OQ. 因为底面 AB
6、CD 为正方形， 所以 O 为 AC 的中点 又因为 Q 是 PA 的中点，所以 OQPC， 因为 OQ?平面 BDQ，PC?平面 BDQ， 所以 PC平面 BDQ. (2)解 因为侧棱 PA底面 ABCD， 所以三棱锥 QBAD 的高为 QA1 2PA 1 221， 而底面积为 SBAD1 2222， 所以 VQBAD1 3SBADQA 1 321 2 3. 5如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，BAD60 ，AB . 2，PD 6，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为棱 PB 上一点 (1)证明：平面 EAC平面 PBD； (2)若 PD平面 EAC，求三棱锥 PEAD 的体积 (1)证明 PD平面 ABCD，AC?平面 ABCD， ACPD. 四边形 ABCD 是菱形，ACBD， 又PDBDD，AC平面 PBD. 而 AC?平面 EAC，平面 EAC平面 PBD. (2)解 PD平面 EAC，平面 EAC平面 PBDOE， PDOE，O 是 BD 中点，E 是 PB 中点 取 AD 中点 H，连接 BH， 四边形 ABCD 是菱形，BAD60 ， BHAD，又 BHPD，ADPDD， BH平面 PAD， BH 3 2 AB 3. VPEADVEPAD1 2VBPAD 1 2 1 3SPADBH 1 6 1 22 6 3 2 2 .
