1、. 回扣回扣 7 解析几何解析几何 1.直线方程的五种形式 (1)点斜式：yy1k(xx1)(直线过点 P1(x1，y1)，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直 线). (2)斜截式：ykxb(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的 直线). (3)两点式： yy1 y2y1 xx1 x2x1(直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且 x1x2，y1y2，不包括坐标 轴和平行于坐标轴的直线). (4)截距式：x a y b1(a、b 分别为直线的横、纵截距，且 a0，b0，不包括坐标轴、平行 于坐标轴和过原点的直线). (5)
2、一般式：AxByC0(其中 A，B 不同时为 0). 2.直线的两种位置关系 当不重合的两条直线 l1和 l2的斜率存在时： (1)两直线平行 l1l2?k1k2. (2)两直线垂直 l1l2?k1 k21. 提醒：当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽 略. 3.三种距离公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离： |AB| ?x2x1?2?y2y1?2. (2)点到直线的距离：d|Ax0By0C| A2B2 (其中点 P(x0，y0)，直线方程为 AxByC0). (3)两平行线间的距离：d |C2C1| A2B2(其中两平行线方程分别
3、为 l 1：AxByC10，l2：Ax ByC20). 提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x，y 的系数应对应相等. 4.圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2. (2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0). 5.直线与圆、圆与圆的位置关系 . (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法. (2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法. 6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|PF2| 2a(2a|F1F2|) |PF1|PF2| 2a
4、(2ab0) x2 a2 y2 b21(a0，b0) y22px(p0) 图形 几 何 性 质 范围 |x|a，|y|b |x|a x0 顶点 ( a，0)，(0， b) ( a，0) (0，0) 对称性 关于 x 轴，y 轴和原点对称 关于 x 轴对称 焦点 ( c，0) (p 2，0) 轴 长轴长 2a，短轴长 2b 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 ec a 1b 2 a2(01) e1 准线 xp 2 渐近线 y b ax 7.直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断. 弦长公式：|AB| 1k2|x1x2| 11 k2|y1y2|.
5、8.范围、最值问题的常用解法 (1)几何法 直线外一定点 P 到直线上各点距离的最小值为该点 P 到直线的垂线段的长度. 圆 C 外一定点 P 到圆上各点距离的最大值为|PC|R， 最小值为|PC|R(R 为圆 C 的半径). 过圆 C 内一定点 P 的圆的最长的弦即为经过点 P 的直径，最短的弦为过点 P 且与经过点 P 的直径垂直的弦. 圆锥曲线上本身存在最值问题，如()椭圆上两点间最大距离为 2a(长轴长)；()双曲线 上两点间最小距离为 2a(实轴长)； ()椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为ac， ac， ac 与 ac 分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；()在抛物线上的点
6、中，顶 . 点与抛物线的准线距离最近. (2)代数法 把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解. 9.定点、定值问题的思路 求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待， 把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数 就要全部等于零，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直 线或曲线所过的定点. 求证某几何量为定值， 首先要求出这个几何量的代数表达式， 然后对表达式进行化简、 整理， 根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值. 10.解
7、决存在性问题的解题步骤 第一步： 先假设存在， 引入参变量， 根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)； 第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在； 第三步：得出结论. 1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确 定倾斜角的范围时出错. 2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视 截距为 0 的情况，直接设为x a y a1；再如，过定点 P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的 情况直接设为 yy0k(xx0)等. 3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致
8、漏解，如两条直线垂直时， 一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为 0. 4.在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几何 中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合. 5.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式 |C1C2| A2B2，导 致错解. 6.在圆的标准方程中，误把 r2当成 r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件. 7.易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解. 8.利用椭圆、 双曲线的定义解题时， 要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的 定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a0”
9、下进行. 1.直线 2mx(m21)y m0 倾斜角的取值范围为( ) A.0，) B.0， 4 3 4 ，) C.0， 4 D.0， 4( 2，) 答案 C 解析 由已知可得m0.直线的斜率k 2m m21.当m0时， k0， 当m0时， k 2m m21 2 m1 m 2 2 m 1 m 1，又因为 m0，所以 0r，故相离. 7.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知 F1、F2 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当F1PF230 时，这一对相关曲线 中椭圆的离心率是( ) A.74 3 B.2 3 C. 31 D.42 3 答案 B 解
10、析 由题意设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21， 双曲线方程为x 2 a21 y2 b211，且 cc1. 由题意c a c a11， (*) 由F1PF230 ，由余弦定理得：椭圆中 4c24a2(2 3)|PF1|PF2|， 双曲线中：4c24a21(2 3)|PF1|PF2|， 可得 b21(74 3)b2，代入(*)式， . c4a21a2(c2b21)a2(84 3)c2a2(74 3)a4， 即 e4(84 3)e2(74 3)0， 得 e274 3，即 e2 3，故选 B. 8.若椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，线段 F1F2 被抛物线
11、y22bx 的焦点 分成 53 两段，则此椭圆的离心率为( ) A.2 5 5 B.4 17 17 C.3 5 D. 4 5 答案 A 解析 cb 2 cb 2 5 3，a 2b2c2，c2b， 5c24a2，ec a 2 5 2 5 5 . 9.如图，已知 F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左，右焦点，|F1F2|4，点 A 在双 曲线的右支上，线段 AF1与双曲线左支相交于点 B，F2AB 的内切圆与 BF2相切于点 E， 若|AF2|2|BF1|，|BE|2 2，则双曲线 C 的离心率为_. 答案 2 解析 设|AF2|2|BF1|2m， 由题意得|AF1
12、|2m2a，|BF2|m2a， 因此|AB|m2a，2|BE|AB|BF2|AF2|4a， 即 a 2，又|F1F2|4?c2，所以离心率为c a 2. 10.已知 F1，F2是双曲线x 2 16 y2 91 的焦点，PQ 是过焦点 F1的弦，且 PQ 的倾斜角为 60 ， 那么|PF2|QF2|PQ|的值为_. 答案 16 解析 由双曲线方程x 2 16 y2 91 知，2a8， 由双曲线的定义得，|PF2|PF1|2a8， |QF2|QF1|2a8， . 得|PF2|QF2|(|QF1|PF1|)16， |PF2|QF2|PQ|16. 11.抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2y 2 3
13、1 的渐近线的距离是_. 答案 3 2 解析 抛物线 y24x 的焦点为(1，0)，双曲线 x2y 2 31 的渐近线为 y b ax，即 y 3x. 由于焦点(1，0)到双曲线的两条渐近线距离相等，所以只考虑焦点到其中一条之间的距离 d | 3| 31 3 2 . 12.过抛物线 y22x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB|25 12，|AF|F1F2|， 因此曲线 E 是长轴长 2a4，焦距 2c2 的椭圆，且 b2a2c23，所以曲线 E 的方程为x 2 4 y 2 31. (2)由曲线 E 的方程得，上顶点 M(0， 3)，记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
14、题意知，x10，x20， 若直线 AB 的斜率不存在，则直线 AB 的方程为 xx1，故 y1y2，且 y21y223(1x 2 1 4)，因 . 此 kMA kMBy1 3 x1 y2 3 x2 y 2 13 x21 3 4，与已知不符，因此直线 AB 的斜率存在，设直线 AB：ykxm，代入椭圆 E 的方程x 2 4 y2 31，得(34k 2)x28kmx4(m23)0. 因为直线 AB 与曲线 E 有公共点 A，B，所以方程有两个非零不等实根 x1，x2， 所以 x1x2 8km 34k2，x1x2 4?m23? 34k2 ， 又 kAMy1 3 x1 kx1m 3 x1 ， kMBy
15、2 3 x2 kx2m 3 x2 ， 由 kAM kBM1 4， 得 4(kx1m 3)(kx2m 3)x1x2， 即(4k21)x1x24k(m 3)(x1x2)4(m 3)20， 所以 4(m23)(4k21)4k(m 3)(8km)4(m 3)2(34k2)0， 化简得 m23 3m60，故 m 3或 m2 3， 结合 x1x20 知 m2 3，即直线 AB 恒过定点 N(0，2 3). (3)由 0 且 m2 3得 k 3 2， 又 SABM|SANMSBNM|1 2|MN| |x2x1| 3 2 ?x1x2?24x1x2 3 2 ?8km 34k2? 24 4?m23? 34k2 6 4k 29 34k2 6 4k29 12 4k29 3 2 ， 当且仅当 4k2912，即 k 21 2 时，ABM 的面积最大，最大值为 3 2 .
