1、. (二二)立体几何与空间向量立体几何与空间向量 1 (2016 课标全国甲)如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB5， AC6， 点 E， F 分别在 AD，CD 上，AECF5 4，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置， OD 10. (1)证明：DH平面 ABCD； (2)求二面角 BDAC 的正弦值 (1)证明 由已知得 ACBD，ADCD. 又由 AECF 得AE AD CF CD，故 ACEF. 因此 EFHD，从而 EFDH. 由 AB5，AC6 得 DOBO AB2AO24. 由 EFAC 得OH DO AE AD 1
2、4. 所以 OH1，DHDH3. 于是 DH2OH2321210DO2，故 DHOH. 又 DHEF，而 OHEFH， 所以 DH平面 ABCD. (2)解 如图， 以 H 为坐标原点，HF 的方向为 x 轴正方向，HD 的方向为 y 轴正方向，HD 的方向为 z 轴正 方向，建立空间直角坐标系，则 H(0,0,0)， A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)， D(0,0,3)，AB (3，4,0)，AC(6,0,0)，AD (3,1,3) 设 m(x1，y1，z1)是平面 ABD的法向量，则 . ? ? ? ? ? m AB 0， m AD 0， 即 ? ? ? ? 3x14y
3、10， 3x1y13z10， 所以可取 m(4,3，5) 设 n(x2，y2，z2)是平面 ACD的法向量，则 ? ? ? ? ? n AC 0， n AD 0， 即 ? ? ? ? 6x20， 3x2y23z20， 所以可取 n(0，3,1) 于是 cosm，n m n |m|n| 14 50 10 7 5 25 . sinm，n2 95 25 . 因此二面角 BDAC 的正弦值是2 95 25 . 2(2016 山东)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径， FB 是圆台的一条母线 (1)已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC
4、； (2)已知 EFFB1 2AC2 3，ABBC，求二面角 FBCA 的余弦值 (1)证明 设 FC 中点为 I，连接 GI，HI.在CEF 中， 因为点 G，I 分别是 CE，CF 的中点， 所以 GIEF. 又 EFOB，所以 GIOB. 在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC.又 HIGII，BCOBB， 所以平面 GHI平面 ABC. 因为 GH?平面 GHI，所以 GH平面 ABC. (2)解 连接 OO，则 OO平面 ABC.又 ABBC，且 AC 是圆 O 的直径，所以 BOAC. 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 由题意得 B(0,2 3
5、，0)，C(2 3，0,0) 过点 F 作 FMOB 于点 M， 所以 FM FB2BM23，可得 F(0， 3，3) 故BC (2 3，2 3，0)，BF(0， 3，3) 设 m(x，y，z)是平面 BCF 的法向量 由 ? ? ? ? ? m BC 0， m BF 0， 可得? ? 2 3x2 3y0， 3y3z0. 可得平面 BCF 的一个法向量 m? ? ? ? 1，1， 3 3 ， 因为平面 ABC 的一个法向量 n(0,0,1)， 所以 cosm，n m n |m|n| 7 7 . 所以二面角 FBCA 的余弦值为 7 7 . 3 (2016 上海)将边长为 1 的正方形 AA1O
6、1O(及其内部)绕 OO1旋转一周形成圆柱， 如图，AC 长为2 3， 11 AB长为 3，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧 (1)求三棱锥 CO1A1B1的体积； (2)求异面直线 B1C 与 AA1所成的角的大小 解 (1)连接 O1B1，则 11 ABA1O1B1 3， O1A1B1为正三角形， . 1 1 1 O A B S 3 4 ， 1 1 1 CO A B V 1 3OO11 1 1 O A B S 3 12. (2)设点 B1在下底面圆周的射影为 B， 连接 BB1，则 BB1AA1， BB1C 为直线 B1C 与 AA1所成角(或补角)， BB1AA11. 连
7、接 BC，BO，OC，AB 11 AB 3， AC2 3 ， BC 3，BOC 3，BOC 为正三角形， BCBO1，tanBB1C BC BB11， BB1C45 ， 直线 B1C 与 AA1所成的角的大小为 45 . 4(2016 四川)如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCPAB90 ，BCCD1 2 AD.E 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90 . (1)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由； (2)若二面角 PCDA 的大小为 45 ，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 解 (1)在梯形 ABCD 中，A
8、B 与 CD 不平行延长 AB，DC， 相交于点 M(M平面 PAB)，点 M 即为所求的一个点理由如下： 由已知，BCED，且 BCED. 所以四边形 BCDE 是平行四边形 从而 CMEB.又 EB?平面 PBE，CM?平面 PBE. 所以 CM平面 PBE. (说明：延长 AP 至点 N，使得 APPN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) . (2)方法一 由已知，CDPA，CDAD，PAADA， 所以 CD平面 PAD.从而 CDPD. 所以PDA 是二面角 PCDA 的平面角 所以PDA45 . 设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2. 过点 A 作 AHCE，交 CE
9、的延长线于点 H，连接 PH. 易知 PA平面 ABCD， 从而 PACE.且 PAAHA，于是 CE平面 PAH.又 CE?平面 PCE， 所以平面 PCE平面 PAH. 过 A 作 AQPH 于 Q，则 AQ平面 PCE. 所以APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角 在 RtAEH 中，AEH45 ，AE1， 所以 AH 2 2 . 在 RtPAH 中，PH PA2AH23 2 2 . 所以 sinAPHAH PH 1 3. 方法二 由已知，CDPA，CDAD，PAADA， 所以 CD平面 PAD. 于是 CDPD. 从而PDA 是二面角 PCDA 的平面角所以PDA45 . 由PAB
10、90 ，且 PA 与 CD 所成的角为 90 ，可得 PA平面 ABCD. 设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2. 作 AyAD，以 A 为原点，以AD ，AP 的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空 间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0) 所以PE (1,0，2)，EC(1,1,0)，AP(0,0,2) . 设平面 PCE 的法向量为 n(x，y，z) 由 ? ? ? ? ? n PE 0， n EC 0. 得 ? ? ? ? x2z0， xy0. 设 x2，解得 n(2，2,1) 设直线 PA 与平面 PCE 所成
11、的角为 ， 则 sin |n AP | |n| |AP | 2 2 22?2?212 1 3. 所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为1 3. 5(2016 北京)如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PAPD， ABAD，AB1，AD2，ACCD 5. (1)求证：PD平面 PAB； (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； (3)在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理 由 (1)证明 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，又 ABAD，AB?平面 ABCD，
12、 AB平面 PAD. PD?平面 PAD，ABPD， 又 PAPD，PAABA，PD平面 PAB. (2)解 取 AD 中点 O，连接 CO，PO.PAPD，POAD. 又PO?平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD， PO平面 ABCD， CO?平面 ABCD，POCO， ACCD，COAD. 以 O 为原点建立如图所示空间直角坐标系 . 易知 P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0，1,0)，C(2,0,0) 则PB (1,1，1)，PD (0，1，1)，PC (2,0，1) 设 n(x0，y0,1)为平面 PDC 的一个法向量 由 ? ? ? ? ? n PD 0， n PC 0
13、得 ? ? ? ? y010， 2x010， 解得 ? ? ? ? ? y01， x01 2. 即 n? ? ? ? 1 2，1，1 . 设 PB 与平面 PCD 的夹角为 . 则 sin |cosn，PB | ? ? ? ? ? ? n PB |n|PB | ? ? ? ? ? ? 1 211 1 411 3 3 3 . (3)解 设在棱 PA 上存在点 M，使得 BM平面 PCD， 则存在 0,1使得AM AP ，因此点 M(0,1，)，BM (1，) BM?平面 PCD，BM平面 PCD， 当且仅当BM n0，即(1，) ? ? ? ? 1 2，1，1 0，解得 1 4，在棱 PA 上存在点 M 使 得 BM平面 PCD，此时AM AP 1 4.
