1、. 中档大题规范练中档大题规范练 3 数数 列列 1.(2016 课标全国甲)Sn为等差数列an的前 n 项和， 且 a11， S728.记 bnlg an， 其中x 表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg 991. (1)求 b1，b11，b101； (2)求数列bn的前 1 000 项和. 解 (1)设an的公差为 d，据已知有 721d28， 解得 d1.所以an的通项公式为 ann. b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012. (2)因为 bn ? ? ? ? ? 0，1n1，an4qn 1， 5 4a3是 a2，a4 的等差中项， 25 4a3a2a4， 即
2、2q25q20. q1，q2， an4 2n 12n1. 依题意，数列bn为等差数列，公差 d1， 又 S2S6a432， (2b11)6b165 2 32， b12，bnn1. (2)an2n 1， Tn4?2 n1? 21 2n 24. 不等式 nlog2(Tn4)bn73n 化为 n2n7(n1)， nN*， n 2n7 n1 对一切 nN*恒成立. 而n 2n7 n1 ?n1? 23?n1?9 n1 (n1) 9 n132 ?n1? 9 n133， 当且仅当 n1 9 n1， 即 n2 时等号成立， 3. 4.在各项均为正数的等比数列an中，a12，且 a3，3a2，a4成等差数列.
3、(1)求等比数列an的通项公式； (2)若数列bn满足 bn(n2)log2an，求数列 1 bn的前 n 项和 Tn. 解 (1)由已知 6a2a3a4， 则 6a2a2qa2q2， . 即 q2q60，又 q0， 所以 q2，an2n. (2)bn(n2)log22nn(n2)， 则 1 bn 1 2( 1 n 1 n2)， Tn 1 b1 1 b2 1 bn 1 2(1 1 3) 1 2( 1 2 1 4) 1 2( 1 n1 1 n1) 1 2( 1 n 1 n2) 1 2(1 1 2 1 n1 1 n2) 3 4 2n3 2?n23n2?. 5.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn
4、，且满足 a6a810，S1035. (1)求数列an的通项公式； (2)求数列 an 2n 1的前 n 项和 Tn. 解 (1)由题设可得 ? ? ? ? a16d5， 2a19d7， 解得 ? ? ? ? a11， d1， 所以 an1(n1)2n. (2)因为 an 2n 1 1 2n 2n 1 2n 1， 所以 Tn211 2 1 2n 2(121 23 1 22n 1 2n 1)， 令 Sn211 2 1 2n 2， Sn121 23 1 22n 1 2n 1， 则 TnSnSn， 因而 Sn211 2 1 2n 2 2?1 1 2n? 1 2 4(1 1 2n)4 1 2n 2， 因为 Sn121 23 1 22n 1 2n 1， . 所以1 2Sn 1 22 1 223 1 23n 1 2n， 以上两式两边相减可得 1 2Sn1 1 2 1 22 1 23 1 2n 1n 1 2n 1 1 2n 11 2 n 1 2n2 1 2n 1n 1 2n， 所以 Sn4 1 2n 2n 1 2n 1， 因此 TnSnSn n 2n 1.
