1、. 回扣回扣 6 立体几何立体几何 1.概念理解 (1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关 系. (2)三视图 三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察 几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高. 三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在 正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样. 2.柱、锥、台、球体的表面积和体积 侧面展开图 表面积 体积 直棱柱 长方形 S2S底S侧 VS底 h 圆柱 长方形 S2r22rl
2、 Vr2 l 棱锥 由若干三角形构成 SS底S侧 V1 3S 底 h 圆锥 扇形 Sr2rl V1 3r 2 h 棱台 由若干个梯形构成 SS上底S下底S侧 V1 3(S SSS) h 圆台 扇环 Sr2(rr)lr2 V1 3(r 2rrr2) h 球 S4r2 S4 3r 3 3.平行、垂直关系的转化示意图 . (1) (2)线线垂直 判定 性质 线面垂直 判定 性质 面面垂直 (3)两个结论 ? ? ? ?a b ?ab ? ? ? ?ab a ?b 4.用向量求空间角 (1)直线 l1，l2夹角 有 cos |cosl1，l2|(其中 l1，l2分别是直线 l1，l2的方向向量). (
3、2)直线 l 与平面 的夹角 有 sin |cosl，n|(其中 l 是直线 l 的方向向量，n 是平面 的法向量). (3)平面 ， 夹角 有 cos |cosn1，n2|，则 l 二面角的平面角为 或 (其中 n1，n2分别是平面 ， 的法向量). 1.混淆“点 A 在直线 a 上”与“直线 a 在平面 内”的数学符号关系，应表示为 Aa，a? . 2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓 线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主) 视图和俯视图为主. 3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别， 几何体的表面积
4、是几何体的侧面积与所有底面面 积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数1 3. 4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的 条件，导致判断出错.如由 ，l，ml，易误得出 m 的结论，就是因为忽视面 面垂直的性质定理中 m? 的限制条件. 5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形， 弄清楚变与不变的 元素后， 再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与 数量关系. 6.几种角的范围 两条异面直线所成的角 0 90 直线与平面所成的角 0 90 二面角 0 180 . 两条
5、相交直线所成的角(夹角)0 90 直线的倾斜角 0 180 两个向量的夹角 0 180 锐角 0 90 7.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何 体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致 出错. 1.如图是一个多面体三视图， 它们都是斜边长为 2的等腰直角三角形， 则这个多面体最长一 条棱长为( ) A. 2 B. 3 C.2 3 D.3 2 答案 B 解析 由三视图可知，几何体是一个三棱锥，底面是一个斜边长为 2的等腰直角三角形， 一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度为 1，这样在所有棱中，连接与底面垂直的侧棱
6、的 顶点与底面的另一锐角顶点的侧棱最长，长度是12? 2?2 3.故选 B. 2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( ) 答案 D 解析 在被截去的四棱锥的三条可见棱中， 两条为长方体的面对角线， 它们在右侧面上的投 影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在侧面上的投影与右侧面的对角 线重合，对照各图，只有 D 符合. 3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( ) . A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3 答案 B 解析 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所
7、示. VV三棱柱V长方体1 2433436187290(cm 3). 4.直三棱柱 ABCA1B1C1的直观图及三视图如图所示，D 为 AC 的中点，则下列命题是假命 题的是( ) A.AB1平面 BDC1 B.A1C平面 BDC1 C.直三棱柱的体积 V4 D.直三棱柱的外接球的表面积为 4 3 答案 D 解析 由三视图可知，直三棱柱 ABCA1B1C1的侧面 B1C1CB 是边长为 2 的正方形，底面 ABC 是等腰直角三角形， ABBC， ABBC2.连接 B1C 交 BC1于点 O， 连接 OD.在CAB1 中，O，D 分别是 B1C，AC 的中点，ODAB1，AB1平面 BDC1.故
8、 A 正确. . 直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，AA1BD.又 ABBC2，D 为 AC 的中点， BDAC，BD平面 AA1C1C.BDA1C. 又 A1B1B1C1，A1B1B1B， A1B1平面 B1C1CB，A1B1BC1. BC1B1C，且 A1B1B1CB1，BC1平面 A1B1C. BC1A1C，A1C平面 BDC1.故 B 正确. VSABCC1C1 22224，C 正确. 此直三棱柱的外接球的半径为 3，其表面积为 12，D 错误.故选 D. 5.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点，则异面直线 AC 和
9、 MN 所成的角为( ) A.30 B.45 C.60 D.90 答案 C 解析 由中点 M，N 可知 MNAD1，由D1AC 是正三角形可知D1AC60 ，所以异面直 线 AC 和 MN 所成的角为 60 . 6.已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是( ) A.若 m，n，则 mn B.若 m，n?，则 mn C.若 m，mn，则 n D.若 m，mn，则 n 答案 B 7.已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 3，AB1，AC1，BAC60 ，则此球的表面积等于_. 答案 52 3 . 解析 由题意得三棱柱底面为正三
10、角形，设侧棱长为 h，则 h 3 4 12 3?h4，因为球心 为上下底面中心连线的中点，所以 R222( 3 3 )213 3 ，因此球的表面积等于 4R2413 3 52 3 . 8.已知长方体 ABCDABCD，E，F，G，H 分别是棱 AD，BB，BC，DD 中点，从中任取两点确定的直线中，与平面 ABD平行的有_条. 答案 6 解析 如图，连接 EG，EH，FG，EH 綊 FG， EFGH 四点共面，由 EGAB，EHAD，EGEHE，ABADA， 可得平面 EFGH 与平面 ABD平行，符合条件的共有 6 条. 9.， 是两平面，AB，CD 是两条线段，已知 EF，AB 于 B，C
11、D 于 D，若增 加一个条件，就能得出 BDEF，现有下列条件：AC；AC 与 ， 所成的角相等； AC 与 CD 在 内的射影在同一条直线上；ACEF. 其中能成为增加条件的序号是_. 答案 解析 由题意得，ABCD，A，B，C，D 四点共面. 中，AC，EF?，ACEF，又AB，EF?， ABEF，ABACA，EF平面 ABCD， 又BD?平面 ABCD，BDEF，故正确； 中，由可知，若 BDEF 成立， 则有 EF平面 ABCD，则有 EFAC 成立， 而 AC 与 ， 所成角相等是无法得到 EFAC 的，故错误； 中，由 AC 与 CD 在 内的射影在同一条直线上， . 可知面 EF
12、AC，由可知正确； 中，仿照的分析过程可知错误， 故填. 10.如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论： BD平面 CB1D1； AC1BD； AC1平面 CB1D1； 异面直线 AD 与 CB1所成角为 60 . 错误的有_.(把你认为错误的序号全部写上) 答案 解析 BDB1D1，利用线面平行的判定可推出 BD平面 CB1D1； 由 BD平面 ACC1可推出 AC1BD； AC1CD1，AC1B1D1可推出 AC1平面 CB1D1； 异面直线 AD 与 CB1所成角为 45 ，错误. 11.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC 3，D、E 分别是 AC1和
13、 BB1 的中点，则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为_. 答案 6 解析 如图，取 AC 中点 F，连接 FD，FB.则 DFBE，DFBE，DEBF，BF 与平 面 BB1C1C 所成的角为所求的角，AB1，BC 3，AC2，ABBC，又 ABBB1， AB平面 BB1C1C，作 GFAB 交 BC 于点 G，则 GF平面 BB1C1C，FBG 为直线 BF 与平面 BB1C1C 所成的角，由条件知 BG1 2BC 3 2 ，GF1 2AB 1 2， . tanFBGGF BG 3 3 ，FBG 6. 12.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边长都相
14、等，M 是 PC 上 的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的 条件即可) 答案 DMPC(或 BMPC，答案不唯一) 解析 四边形 ABCD 是菱形，ACBD， 又PA平面 ABCD， PABD， 又 ACPAA， BD平面 PAC，BDPC. 当 DMPC(或 BMPC)时， 即有 PC平面 MBD， 而 PC?平面 PCD，平面 MBD平面 PCD. 13.在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABC 是正三角形，AC 与 BD 的交点 M 恰好 是 AC 中点，又 PAAB4，CDA120 ，点 N 在线段 PB 上，且 PN 2. (1)求证：BDPC； (2)求证：MN平面 PDC； (3)求二面角 APCB 的余弦值. (1)证明 因为ABC 是正三角形，M 是 AC 中点， 所以 BMAC，即 BDAC， 又因为 PA平面 ABCD，BD?平面 ABCD， PABD，又 PAACA， 所以 BD平面 PAC， 又 PC?平面 PAC，所以 BDPC. (2)证明 在正三角形 ABC 中，BM2 3， . 在ACD 中，因为 M 为 AC 中点，DMAC， 所以 ADCD，又CDA120 ，所以 DM2 3 3 ， 所以 BMMD31，在等腰直角三角形 PAB 中， PAAB4，PB4 2，所以 BNNP31
