1、. 6解析几何解析几何 1直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为0，) (2)直线的斜率 定义：倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k，即 ktan (90 )；倾斜角为 90 的直线没有斜率；斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直 线的斜率为 ky1y2 x1x2(x1x2)；直线的方向向量 a(1，k)；应用：证明三点共线：kAB kBC. 问题 1 (1)直线的倾斜角 越大，斜率 k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线 xcos 3y20 的倾斜角的范围是_ 答案 (1)错 (2)0， 6 5 6 ，) 2直线方程的五种形式 (1)点
2、斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为 k，则直线方程为 yy0k(xx0)，它不包括垂 直于 x 轴的直线 (2)斜截式：已知直线在 y 轴上的截距为 b，斜率为 k，则直线方程为 ykxb，它不包括垂 直于 x 轴的直线 (3)两点式：已知直线经过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为 yy1 y2y1 xx1 x2x1，它不包 括垂直于坐标轴的直线 (4)截距式：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a，b，则直线方程为x a y b1，它不包括垂直 于坐标轴的直线和过原点的直线 (5)一般式：任何直线均可写成 AxByC0(A，B 不同时为 0)的形式 问题2
3、 已知直线过点P(1,5)， 且在两坐标轴上的截距相等， 则此直线的方程为_ 答案 5xy0 或 xy60 3两条直线的位置关系 (1)若已知直线的斜截式方程，l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则： l1l2?k1k2，且 b1b2；l1l2?k1 k21；l1与 l2相交?k1k2. (2)若已知直线的一般方程 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20，则： l1l2平行?A1B2A2B10 且 B1C2B2C10； . l1l2?A1A2B1B20； l1与 l2相交?A1B2A2B10； l1与 l2重合?A1B2A2B10 且 B1C2B2C10. 问题 3 设直线
4、 l1：xmy60 和 l2：(m2)x3y2m0，当 m_时，l1l2； 当 m_时，l1l2；当_时 l1与 l2相交；当 m_时，l1与 l2重合 答案 1 1 2 m3 且 m1 3 4点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点 P(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离为 d|Ax0By0C| A2B2 ； (2)两平行线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离为 d |C1C2| A2B2. 问题 4 两平行直线 3x2y50 与 6x4y50 间的距离为_ 答案 15 13 26 5圆的方程 (1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2. (2)圆的一般方程：x
5、2y2DxEyF0(D2E24F0)，只有当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 才表示圆心为(D 2， E 2)，半径为 1 2 D2E24F的圆 问题 5 若方程 a2x2(a2)y22axa0 表示圆，则 a_. 答案 1 6直线与圆的位置关系的判断 (1)几何法：根据圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的大小关系来判定 (2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据 的符号来判断 问题 6 已知圆 C： (xa)2(yb)2r2的圆心为抛物线 y24x 的焦点， 直线 3x4y20 与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A(x1)2y264 25 Bx2(y1
6、)264 25 C(x1)2y21 Dx2(y1)21 答案 C 解析 因为抛物线 y24x 的焦点为(1,0)，所以 a1，b0，又直线 3x4y20 与圆 C 相 切，得 r32 5 1，所以该圆的方程为(x1)2y21. . 7圆锥曲线的定义和性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|PF2|2a (2a|F1F2|) |PF1|PF2|2a (2ab0) x2 a2 y2 b21(a0，b0) y22px(p0) 图形 范围 |x|a，|y|b |x|a x0 顶点 ( a,0)，(0， b) ( a,0) (0,0) 对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 关于 x 轴对称
7、焦点 ( c,0) (p 2，0) 轴 长轴长 2a，短轴长 2b 实轴长 2a， 虚轴长 2b 离心率 ec a 1b 2 a2 (01) e1 准线 xp 2 通径 |AB|2b 2 a |AB|2p 渐近线 y b ax 问题7 抛物线y22px (p0)的焦点为F， O为坐标原点， M为抛物线上一点， 且|MF|4|OF|， MFO 的面积为 4 3，则抛物线方程为( ) Ay26x By28x Cy216x Dy215 2 x 答案 B 解析 依题意，设 M(x，y)，|OF|p 2，所以|MF|2p，x p 22p，x 3p 2 ，y 3p，又MFO 的面积为 4 3，所以1 2
8、p 2 3p4 3，p4， 所以抛物线方程为 y28x. 8(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零， . 利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切， 在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断 是否相切 (2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长 |P1P2|?1k2?x1x2?24x1x2或|P1P2|?1 1 k2?y1y2? 24y 1y2. (3)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F
9、的直线 l 交抛物线于 C(x1，y1)，D(x2，y2)，则焦半径|CF| x1p 2； 弦长|CD|x1x2p；x1x2p 2 4 ，y1y2p2. 问题 8 已知抛物线的方程为 y22px(p0)，过抛物线上一点 M(p， 2p)和抛物线的焦点 F 作直线 l 交抛物线于另一点 N，则|NF|FM|等于( ) A1 2 B1 3 C12 D13 答案 C 解析 由题意可知直线 l 的方程为 y2 2(xp 2)， 联立方程 ? ? ? ? ? y22px， y2 2?xp 2?， 得 N(p 4， 2 2 p)， 所以|NF|p 4 p 2 3 4p，|FM|p p 2 3 2p， 所以
10、|NF|FM|12. 易错点 1 直线的倾斜角和斜率关系不清 例 1 直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是( ) A0，) B0， 4 3 4 ，) C0， 4 D0， 4 2，) 易错分析 本题易混淆 和倾斜角的关系，不能真正理解斜率和倾斜角的实质，忽视倾斜角 本身的范围 解析 设直线的倾斜角为 ，则有 tan sin . 因为 sin 1,1，所以1tan 1， . 又 0，)，所以 0 4或 3 4 0 是直线与 抛物线相交的充分条件，但不是必要条件 解 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直于 x 轴，因为过点(0,1)，所以 x0，即 y 轴， 它正好与抛物线 y22x 相切；
11、当直线斜率存在时，设所求的直线为 ykx1，则 ? ? ? ? y22x， ykx1， 所以 k2x2(2k2)x1 0.当 k0 时，方程有一解，直线与抛物线仅有一个交点，所以直线为 y1；当 k0 时， 0，方程有一解，直线与抛物线也仅有一个交点，解得 k1 2，所以所求直线为 y 1 2x1. 综上，满足条件的直线为：y1，x0，y1 2x1. 易错点 5 定点问题思路不清 例 5 已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过 F 作两条相互垂直的弦 AB，CD，设弦 AB，CD 的 中点分别为 M，N.求证：直线 MN 恒过定点 易错分析 直线恒过定点是指无论直线如何变动， 必有一个定点的坐
12、标适合这条直线的方程， 问题就归结为用参数把直线的方程表示出来， 无论参数如何变化这个方程必有一组常数解 本 题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线 MN 的方程时计算错误；二是在得到了直 线系 MN 的方程后，对直线恒过定点的思路不清，找错方程的常数解 证明 由题设，知 F(1,0)，直线 AB 的斜率存在且不为 0，设 lAB：yk(x1)(k0)，代入 y2 4x， 得 k2x22(k22)xk20， 得 xMxAxB 2 k 22 k2 ，又 yMk(xM1)2 k， 故 M(k 22 k2 ，2 k) 因为 CDAB，所以 kCD1 k.以 1 k代 k， 同理，可得 N(2k
13、21，2k) 所以直线 MN 的方程为(2k21k 22 k2 )(y2k) (2k2 k)(x2k 21)， 化简整理，得 yk2(x3)ky0，该方程对任意 k 恒成立，故 ? ? ? ? ? y0， x30， y0， 解得 ? ? ? ? x3， y0. 故不论 k 为何值，直线 MN 恒过点(3,0) . 1设向量 a(a,1)，b(1，b)(ab0)，若 ab，则直线 b2xy0 与直线 xa2y0 的位置 关系是( ) A平行 B垂直 C相交但不垂直 D重合 答案 B 解析 由题意知两直线都经过点(0,0)，因为 ab，所以 a bab0，所以 ab，由于直 线 b2xy0 的斜率
14、为b2，直线 xa2y0 的斜率为 1 a2，则(b 2)1 a21，故两直线垂直 2 过点 P( 3， 1)的直线 l 与圆 x2y21 有公共点， 则直线 l 的倾斜角的取值范围是( ) A.? ? ? ? 0， 6 B.? ? ? ? 0， 3 C.? ? ? ? 0， 6 D.? ? ? ? 0， 3 答案 D 解析 如图，过点 P 作圆的切线 PA，PB，切点为 A，B. 由题意知|OP|2，|OA|1， 则 sin 1 2， 所以 6，BPA 3. 故直线 l 的倾斜角的取值范围是? ? ? ? 0， 3 . 3两圆 x2y22axa240 和 x2y24by14b20 恰有三条公
15、切线，若 aR，bR 且 ab0，则 1 a2 1 b2的最小值为( ) A1 B3 C.1 9 D.4 9 答案 A 解析 两圆方程可化为(xa)2y24， . x2(y2b)21， 由题意知两圆外切， a24b23， 即 a24b29， 1 a2 1 b2( 1 a2 1 b2) a24b2 9 1 9(5 a2 b2 4b2 a2 ) 1 9(52 a2 b2 4b2 a2 )1. 当且仅当 a 2b 时取等号，( 1 a2 1 b2)min1. 4点 F1，F2是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左，右焦点，在此椭圆上存在点 P，使F1PF260 ， 且|PF1|2|PF2|，则此椭圆的离心率为( ) A.1 3 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 6 答案 C 解析 由F1PF260 ，|PF1|2|PF2|， 可得PF2F190 ， ec a 2c 2a |F1F2| |PF1|PF2| 3|PF2| 2|PF2|PF2| 3 3 . 5抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB 120 ，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂
