1、 1 20212021 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷（学生版）（学生版）2021.01 时间：时间：120120 分钟；满分：分钟；满分：150150 分分 一一、填空题（本大题共填空题（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1 1- -6 6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7 7- -1 12 2 题每题题每题 5 5 分）分） 1.等差数列 n a中， 1 3,2ad，则 10 a . 2.已知复数z满足13zi (i是虚数单位)，则zi . 3.不等式 25 1 2 x x 的解集为 . 4.已知圆柱的底面半径为 1,母线长为 2,则圆柱
2、的侧面积为 . 5.求直线2x与直线310 xy 的夹角为_. 6.方程组 111 222 a xb yc a xb yc 无解，求 11 22 ab ab . 7.1 n x的二项展开式中有且仅有 3 x为最大值，则 3 x的系数为 . 8.已知函数 30 31 x x a f xa 的最小值为5，则a . 9. 在无穷等比数列 n a中， 1 lim()4 n n aa ，则 2 a的取值范围是 10. 某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示， 问有几种运动方式组合 A 运动 B 运动 C 运动 D 运动 E 运动 7 点8 点 8 点9 点 9 点1
3、0 点 10 点11 点 11 点12 点 30 分钟 20 分钟 40 分钟 30 分钟 30 分钟 11. 已知椭圆 2 2 2 1 y x b （01b）的左、右焦点为 1 F、 2 F，以O为顶点， 2 F为焦点作 抛物线交椭圆于P，且 12 45PFF，则抛物线的准线方程是 12. 已知0，对任意 * nN，总存在实数，使得 3 cos() 2 n，则的最小值是 二二. . 选择题（本大题共选择题（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2 20 0 分）分） 13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是 ( ) A. 2 x B.sinx C. 2x D. 1x 1
4、4.已知集合 2 2 0 ,1AxxxNxx RR，则（ ） A. AB B. RR C AC B C. AB D. AB R 2 15. 已知函数( )yf x的定义域为R，下列是( )f x无最大值的充分条件是（ ） A. ( )f x为偶函数且关于直线1x 对称 B. ( )f x为偶函数且关于点(1,1)对称 C. ( )f x为奇函数且关于直线1x 对称 D. ( )f x为奇函数且关于点(1,1)对称 16. 在ABC中，D为BC中点，E为AD中点， 则以下结论： 存在ABC， 使得0AB CE uu u r uur ； 存在三角形ABC，使得CE uur ()CBCA uuruu
5、r ；成立的是（ ） A. 成立，成立 B. 成立，不成立 C. 不成立，成立 D. 不成立，不成立 三三、 解答题（本大题共解答题（本大题共 5 5 题，共题，共 14+14+14+16+18=7614+14+14+16+18=76 分）分） 17. 四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为 4，E为AB中点，PE 平面ABCD. （1）若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积； （2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为 45， 求PD与AC所成角的大小. 18. 已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a ， 1 cos 4 C . （1）若sin2
6、sinAB，求b、c；（2） 4 cos() 45 A ，求c. 3 19.（1）团队在O点西侧、东侧 20 千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足 | 20PAPB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴， 北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东 60处，求双曲线标准方程和P点坐标. （2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有C、D两站点，测量距离发现| 30QAQB千米， | 10QCQD千米，求|OQ（精确到 1 米）和Q点位置（精确到 1 米，1） 20. 已知函数( )|f xxaax . （1）若1a ，求函数的定义域； （2）若0a
7、，若()f axa有 2 个不同实数根，求a的取值范围； （3）是否存在实数a，使得函数( )f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围. 4 21. 已知数列 n a满足0 n a ，对任意2n ， n a和 1n a 中存在一项使其为另一项与 1n a 的 等差中项 （1）已知 1 5a ， 2 3a ， 4 2a ，求 3 a的所有可能取值； （2）已知 147 0aaa， 2 a、 5 a、 8 a为正数，求证： 2 a、 5 a、 8 a成等比数列，并求出公比q； （3）已知数列中恰有 3 项为 0，即0 rst aaa，2rst，且 1 1a ， 2 2a ， 求 111
8、rst aaa 的最大值. 5 20212021 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷 （参考答案版）（参考答案版） 2021.01 时间：时间：120120 分钟；满分：分钟；满分：150150 分分 一一、填空题（本大题共填空题（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1 1- -6 6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7 7- -1 12 2 题每题题每题 5 5 分）分） 1.等差数列 n a中， 1 3,2ad，则 10 a . 【答案答案】21 【解析】【解析】 101+9 21aad 2.已知复数z满足13zi (i是虚数单位)，则zi .
9、【答案答案】5 【解析】【解析】1 25zii 3.不等式 25 1 2 x x 的解集为 . 【答案答案】( 7,2) 【解析】【解析】 25 1(7)(2)72 2 x xxx x 4.已知圆柱的底面半径为 1,母线长为 2,则圆柱的侧面积为 . 【答案答案】4 【解析】【解析】24Srl 5.求直线2x与直线310 xy 的夹角为_. 【答案答案】 6 【解析】【解析】 12 12 12 3 (1,0),( 3, 1),cos 26 n n nn n n 6.方程组 111 222 a xb yc a xb yc 无解，求 11 22 ab ab . 【答案答案】0 【解析】【解析】 1
10、1 22 0 ab D ab 7.1 n x的二项展开式中有且仅有 3 x为最大值，则 3 x的系数为 . 【答案答案】20 【解析】【解析】 3 16 336,20 2 rn r rn n TC xnrnnC 6 8.已知函数 30 31 x x a f xa 的最小值为5，则a . 【答案答案】9 【解析】【解析】 303112159 3131 xx xx aa f xaaa 9. 在无穷等比数列 n a中， 1 lim()4 n n aa ，则 2 a的取值范围是 【答案答案】( 4,0)(0,4)U 【解析】【解析】由题意，( 1,0)(0,1)q U，lim0 n n a ， 11
11、lim()4 n n aaa ， 21 4aa qq( 4,0)(0,4)U 11. 某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示， 问有几种运动方式组合 【答案答案】23 【解析】【解析】由题意，至少要选 2 种运动，并且选 2 种运动的情况中，AB、DB、EB 的组 合是不符题意的， 5432 5555 323CCCC 11. 已知椭圆 2 2 2 1 y x b （01b）的左、右焦点为 1 F、 2 F，以O为顶点， 2 F为焦点作 抛物线交椭圆于P，且 12 45PFF，则抛物线的准线方程是 【答案答案】12x 【解析】【解析】设 1( ,0)Fc，
12、2( ,0) F c，则抛物线 2 4ycx，直线 1: PFyxc， 联立 2 4ycx yxc ，( ,2 )P cc， 212 PFFF， 212 2PFFFc， 1 2 2PFc， 12 (22 2)2221PFPFcac，即准线方程为12xc A 运动 B 运动 C 运动 D 运动 E 运动 7 点8 点 8 点9 点 9 点10 点 10 点11 点 11 点12 点 30 分钟 20 分钟 40 分钟 30 分钟 30 分钟 7 12. 已知0，对任意 * nN，总存在实数，使得 3 cos() 2 n，则的最小值是 【答案答案】 2 5 【解析】【解析】在单位圆中分析，由题意，
13、n的终边要落在图中阴影部分区域（其中 6 AOxBOx ）， 3 AOB ，对任意 * nN要成立， * 2 N， 即 2 k ， * k N，同时 3 ，的最小值为 2 5 二二. . 选择题（本大题共选择题（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.下列函数中,在定义域内存在反函数的是 ( ) A. 2 x B.sinx C. 2x D. 1x 【答案答案】C 14.已知集合 2 2 0 ,1AxxxNxx RR，则（ ） A. AB B. RR C AC B C. AB D. AB R 【答案答案】D 15. 已知函数( )yf x的定义域为R，
14、下列是( )f x无最大值的充分条件是（ ） A. ( )f x为偶函数且关于直线1x 对称 B. ( )f x为偶函数且关于点(1,1)对称 C. ( )f x为奇函数且关于直线1x 对称 D. ( )f x为奇函数且关于点(1,1)对称 【答案答案】D 【解析】【解析】反例如图所示. 选项 D，易得( )f nn，nZ 16. 在ABC中，D为BC中点，E为AD中点， 则以下结论： 存在ABC， 使得0AB CE uu u r uur ； 存在三角形ABC，使得CE uur ()CBCA uuruur ；成立的是（ ） A. 成立，成立 B. 成立，不成立 C. 不成立，成立 D. 不成立
15、，不成立 【答案答案】B 8 【解【解析析】不妨设(2 ,2 )Axy，( 1,0)B ，(1,0)C，(0,0)D，( , )E x y， ( 12 , 2 )ABxy uuu r ，(1, )CExy uur ，若0AB CE uu u r uur ， 2 (21)(1)20 xxy， 2 (21)(1)2xxy，满足条件的( , )x y明显存在，成立； F为AB中点，()2CBCACF uuruuruuu r ，CF与AD交点即重心G， G为AD三等分点，E为AD中点，CE uur 与CG uuu r 不共线， 即不成立；故选 B 三三、 解答题（本大题共解答题（本大题共 5 5 题，
16、共题，共 14+14+14+16+18=7614+14+14+16+18=76 分）分） 17. 四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为 4，E为AB中点，PE 平面ABCD. （1）若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积； （2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为 45，求PD与AC所成角的大小. 【答案答案】（1） 32 3 3 P ABCD V ；（2) 2 arccos 6 【解析】【解析】（1）正方形ABCD边长为 4，PAB为等边三角形，E为AB中点， 2 3PE ， 2 132 3 42 3 33 P ABCD V ； （2）如图建系，(0,0,4)P，
17、( 2,4,0)D ，( 2,0,0)A ， (2,4,0)C，( 2,4, 4)PD uuu r ，(4,4,0)AC uuu r ， 82 cos 66 4 2 | | PD AC PDAC uuu r uuu r uuu ruuu r， 即PD与AC所成角的大小为 2 arccos 6 18. 已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a ， 1 cos 4 C . （1）若sin2sinAB，求b、c；（2） 4 cos() 45 A ，求c. 【答案答案】（1）1b,6c （2） 5 30 2 c 【解析】【解析】（1）sin2sin2ABab，1b， 222 211
18、 cos6 22 14 c Cc ； （2） 47 2 cos()cos 4510 AA ， 2 sin 10 A ， 115 cossin 44 CC ， 由正弦定理， 25 30 sinsin2 c c AC 9 19.（1）团队在O点西侧、东侧 20 千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足 | 20PAPB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴， 北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东 60处，求双曲线标准方程和P点坐标. （2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有C、D两站点，测量距离发现| 30QAQB千米， | 10QCQD千米，求|
19、OQ（精确到 1 米）和Q点位置（精确到 1 米，1） 【答案答案】（1） 22 1 100300 xy , 15 2 5 6 (,) 22 P;(2)19OQ ,Q点位置北偏东66 【解析】【解析】（1）10a ，20c ， 2 300b ，双曲线为 22 1 100300 xy ； 直线 3 : 3 OP yx，联立双曲线，得 15 2 5 6 (,) 22 P； （2）| 30QAQB，15a ，20c ， 2 175b ，双曲线为 22 1 225175 xy ； | 10QCQD，5a ，15c ， 2 200b ，双曲线为 22 1 25200 yx ； 联立双曲线，得 14400
20、2975 (,) 4747 Q，19OQ 米，Q点位置北偏东66 20. 已知函数( )|f xxaax . （1）若1a ，求函数的定义域； （2）若0a ，若()f axa有 2 个不同实数根，求a的取值范围； （3）是否存在实数a，使得函数( )f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围. 【答案答案】（1）(, 20,)x U; (2) 1 (0, ) 4 a;(3) 1 4 a 【解析】【解析】（1）( )|1| 1f xxx ，|1| 10 x ，解得(, 20,)x U； （2）( )|f xxaaxa，设0 xat ，tat有 2 个不同实数根， 整理得 2 att
21、，0t ，同时0a ， 1 (0, ) 4 a； （3）当xa ， 2 11 ( )|() 24 f xxaaxxxx ，在 1 ,) 4 递减， 此时需满足 1 4 a ，即 1 4 a 时，函数( )f x在,)a上递减； 当xa，( )|2f xxaaxxax ，在(, 2 a 上递减， 1 0 4 a ，20aa ，即当 1 4 a 时，函数( )f x在(,)a 上递减； 综上，当 1 4 a 时，函数( )f x在定义域R上连续，且单调递减 10 21. 已知数列 n a满足0 n a ，对任意2n ， n a和 1n a 中存在一项使其为另一项与 1n a 的等差中 项 （1）已
22、知 1 5a ， 2 3a ， 4 2a ，求 3 a的所有可能取值； （2）已知 147 0aaa， 2 a、 5 a、 8 a为正数，求证： 2 a、 5 a、 8 a成等比数列， 并求出公比q； （3）已知数列中恰有 3 项为 0，即0 rst aaa，2rst，且 1 1a ， 2 2a ， 求 111rst aaa 的最大值. 【答案答案】（1） 3 1a ;（2）见解析；（3） 21 64 【解析】【解析】（1）由题意， 11 2 nnn aaa 或 11 2 nnn aaa ， 2313 21aaaa， 3213 24aaaa，经检验， 3 1a （2） 147 0aaa， 32
23、 2aa，或 2 3 2 a a ，经检验， 2 3 2 a a ； 32 5 24 aa a ，或 2 53 2 a aa （舍）， 2 5 4 a a ； 52 6 28 aa a ，或 2 65 4 a aa （舍）， 2 6 8 a a ； 62 8 216 aa a ，或 2 86 8 a aa （舍）， 2 8 16 a a ； 综上， 2 a、 5 a、 8 a成等比数列，公比为 1 4 ； （3）由 11 2 nnn aaa 或 11 2 nnn aaa ，可知 21 1 1 nn nn aa aa 或 21 1 1 2 nn nn aa aa ， 由第（2）问可知， 21121 02 rrrrrr aaaaaa ， 3 111221 111111 0()() 1()() 222222 irii rrrrr aaaaaaa ， * iN， 1 max 1 () 4 r a ， 同理， 2 11 11111 ()1()() 22224 jsrjj srr aaa ， * jN， 1 max 1 () 16 s a ， 同理， 1 max 1 () 64 t a ， 111rst aaa 的最大值为 21 64
