1、天津市部分区天津市部分区 20202021 学年度第一学期期末学年度第一学期期末 练习高三数学练习高三数学 本试卷分为第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟 参考公式：参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么()( )( )P ABP AP B 如果事件 A，B 相互独立，那么()( ) ( )P ABP A P B 圆锥的侧面积公式Srl，其中 r 表示圆锥底面圆的半径，l 表示圆锥的母线长 圆锥的体积公式 2 1 3 Vr h，其中 r 表示圆锥底面圆的半径，h 表示圆锥的高 球的表面积公式 2 4SR，其中 R 表示球的半径 第第 I 卷卷
2、注意事项：注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其它答案标号 2本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1设全集1,2,3,4U ，且4 UA ，则集合 A 的子集共有（ ） A3 个 B4 个 C7 个 D8 个 2设 i 是虚数单位，若复数 z 满足(2)3zii，则z （ ） A13i B13i C1 3i D1 3i 3已知 2 sin() 4 ，则cos2（ ） A 7 8 B 7 8 C
3、 3 4 D 3 4 4设 n S是等比数列 n a的前 n 项和，若 34 21Sa， 23 21Sa，则 1 a （ ） A2 B1 C1 D2 5随着人口红利的消失和智能制造趋势的演进，工业机器人逐渐成为企业提高产品质量、向智能化转型升 级的核心力量经过多年的发展，我国的工业机器人产业已经达到了定的规模，不仅在焊接、装配、搬 运、冲压、喷涂等专业领域涌现出大量的机器人产品，同时机器人关键零部件方面也已经接近或达到了 世界领先水平下图是“中投产业研究院”发布的2020-2024 年中国机器人产业投资分析及前景预测 报告中关于 2019 年全国工业机器人产量数据的统计图数据来源：国家统计局|
4、，根据统计图分析，以 下结论不正确 的是（ ） A2019 年 312 月，全国工业机器人本月同比增长最低的是 8 月份，最高的是 12 月份 B2019 年 212 月，全国工业机器人本月累计同比增长均在 0%以下 C2019 年 212 月，全国工业机器人本月累计同比增长最低值是 4 月份 D2019 年 312 月，全国工业机器人在 12 月份同比增长超过 15% 6 “ 22 loglogab”是“ 11 ab ” （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7若0 x，0y ，且21xy，则 1 2 y xyy （ ） A有最大值为 7 3 B有最
5、小值为 1 2 2 C有最小值为 2 D无最小值 8已知 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b）的左、右焦点，M 为双曲线左支上一点，且满足 112 2MFFF，若 12 5 cos 16 MFF ，则该双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C2 D 9 2 9已知函数 2 e ( ) | x f x x （e 为自然对数的底数） ，关于 x 的方程 2 ( )2( )20f xaf xa()aR恰有 四个不同的实数根，则 a 的取值范围为（ ） A(1,) B(2,) C 2 e , 2e 1 D 2 4e2 , 4e 1 第卷第卷 注意事项：注意事项： 1用黑
6、色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 2本卷共 11 小题，共 105 分 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分试题中包含两个空的，答对试题中包含两个空的，答对 1 个的给个的给 3 分，全部答分，全部答 对的给对的给 5 分分 10在 5 2 x x 的展开式中，x 的系数是_ （用数字作答） 11已知直线50 xy与圆 22 420 xyxym相交于 A，B 两点，若| 2AB ，则实数m _ 12从 11 至 14 世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的数书九章 ，李冶的测 圆海镜 ，杨辉的详解九章算法
7、、 日用算法和杨辉算法 某学校团委为拓展学生课外学习兴 趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一 部不是杨辉著作的概率为_ 13将函数( )sin()f xAx（0A，0，| 2 ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长 度，所得函数的部分图象如图所示，则( )f x _ 14在平行四边形 ABCD 中，1AD ， 3 BAD ，点 EF 在 CD 上且满足 1 3 DEDC， 2 3 DFDC， 若 M 为 AB 的中点，且1AF ME，则 AB 的长为_ 15如图，在圆锥 SO 中，2SO，圆锥的侧面积为3，ABC是圆锥底面圆 O 的内接正
8、三角形，P 为 SO 上一点，且90APC，则圆锥 SO 的体积为_，三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为 _ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题共小题共 75 分解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤 16 （本小题满分 14 分） 在ABC中，已知2sinsinsin 6 BCA （1）求角 B 的大小； （2）若4AB ，ABC的面积为3，求sin2A的值 17 （本小题满分 15 分） 如图，在三棱锥 D-ABC 中，已知2ABAD，1AC ，5CD ，2 2BD，90BAC， E，F 分别为线段 AB，BC 的中点
9、 （1）求证：ADBC； （2）求直线 BD 与平面 DEF 所成角的余弦值； （3）求平面 DEF 与平面 DAC 所成二面角的正弦值 18 （本小题满分 15 分） 已知数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 1a ， * 31 nn SanN （1）求 n a的通项公式； （2）对任意的正整数 n，设 22 1 log n n b na ，记数列 n b的前 n 项和为 n T，求证： 3 4 n T 19 （本小题满分 15 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 过点( 6, 2)且离心率为 6 3 设 P 为圆 22 3xy上任意一点， 过点 P 作该圆的切线交
10、椭圆于 E，F 两点 （1）求椭圆的方程； （2）试判断PE PF是否为定值？若为定值，则求出该定值；否则，请说明理由 20 （本小题满分 16 分） 已知函数( )lnesin x f xa xax ，e 是自然对数的底数，若0a ，且0 x恰为( )f x的极值点. （1）证明： 1 1 2 a； （2）求( )f x在区间(, )上零点的个数 天津市部分区天津市部分区 20202021 学年度第一学期期末练习高三数学学年度第一学期期末练习高三数学 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、选择题：一、选择题： （本大题共本大题共 9 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 45
11、分分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A C B C A B C D 二、填空题：二、填空题： （本大题共本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分） 1010 114 12 7 10 132sin 2 3 x 14 9 4 15 2 3 ； 9 2 三、解答题：三、解答题： （本大题共本大题共 5 个小题，共个小题，共 75 分分） 16解： （1）在ABC中，2sinsinsin 6 BCA ， 所以3sinsinsincossin()BCBCBC 即3sinsinsincossincoscossinBCBCBCBC， 所以3sinsin
12、cossinBCBC 又sin0C ，所以 3 tan 3 B ， 又0B，所以 6 B （2）设BCt由题意及（1）得， 1 4 sin3 26 ABC St ， 解得3t ，即3BC 在ABC中，由余弦定理， 得 222 2cosACABBCAB BCB 22 4( 3)2 43cos7 6 所以7AC 由正弦定理，得 sinsin ACBC BA ， 所以 3121 sinsin 62147 BC A AC 因为73ACBC， 所以BA ，所以0 6 A 所以 2 215 7 cos1 sin1 1414 AA ， 所以 215 75 3 sin22sincos2 141414 AAA
13、17 （1）证明：在ABD中，2ABAD，2 2BD， 所以 222 BDABAD，所以ADAB 在ACD中，因为1AC ，2AD ，5CD ， 所以 222 CDACAD，所以.ADAC 因为AB 平面 ABC，AC 平面 ABC，且ABACA， 所以AD 平面 ABC 又因为BC 平面 ABC，所以ADBC （2）解：由（1）知，ADAB，ADAC，又90BAC， 以点 A 为坐标原点，分别以AC，AB，AD的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直 角坐标系Axyz 则(0,0,0)A，(0,2,0)B，(1,0,0)C，(0,0,2)D， 因为 E，F 分别为 AB，CB 的中
14、点，所以(0,1,0)E， 1 ,1,0 2 F 所以(0,1, 2)DE ， 1 ,1, 2 2 DF ，(0,2, 2)DB ， 设平面 DEF 的法向量为( , , )nx y z， 则有 0 0 n DE n DF ，即 20 1 20 2 yz xyz ， 令1z ，得2y ，0 x，所以(0,2,1)n 设直线 BD 与平面 DEF 所成角为 因为0422DB n ，| 2 2DB ，|5n ， 所以 210 sin 10| |2 25 BD n BDn 因为0 2 ，所以 2 3 10 cos1 sin 10 即所求直线 BD 与平面 DEF 所成角的余弦值为 3 10 10 （
15、3）解：由（1）知，AB 平面 DAC， 所以平面 DAC 的一个法向量为(0,2,0)AB 因为4n AB，| 2AB ， 所以 42 5 cos, 5| |52 n AB n AB nAB 设平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角为，因为0 所以 2 5 sin1 cos, 5 n AB 故所求平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角的正弦值为 5 5 18解： （1）由题意，知31 nn Sa， * Nn， 令1n 得， 11 31Sa， 因为 11 Sa，所以 1 1 2 a 当2n时， 11 31 nn Sa ， 所以，得 11 3311 nnnn SSaa ， 即 1 3 n
16、nn aaa ，所以 1 1 (2) 2 n n a n a 所以数列 n a是首项为 1 2 ，以 1 2 为公比的等比数列， 所以 1 2 n n a （2）由（1）得 1 2 n n a 所以 22 111 11 log(2)22 n n b nan nnn 所以 1 1111111111 2 132435112 n T nnnn 3111 4212nn 因为 * Nn，所以 111 0 212nn ， 所以 3 4 n T 19解： （1）由题可得 22 222 6 3 62 1 c a ab abc ，解得 2 3 2 a b 所以椭圆的方程为 22 1 124 xy （2）当过点
17、P 且与圆 22 3xy相切的切线斜率不存在时， 由对称性，不妨设切线方程为3x ， 则( 3,0)P，( 3, 3)E，( 3,3)F，所以3PE PF 当过点 P 且与圆 22 3xy相切的切线斜率存在时， 不妨设切线的方程为ykxm， 设点 11 ,E x y， 22 ,F xy， 00 ,P x y 将直线方程与圆的方程联立并整理， 得 222 1230kxkmxm， 由直线与圆相切易得 22 3 1mk， 0 2 1 km x k ， 联立直线和椭圆的方程并整理， 得 222 1 363120kxkmxm， 则 2222 364 1 33120k mkm ， 所以 2 1212 22
18、 6312 , 1 31 3 kmm xxx x kk 所以 10102020 ,PE PFxxyyxxyy 10201020 xxxxyyyy 2 1020 1kxxxx 22 120120 1kx xxxxx 2 2 2 2 222 6 3121 1 1 31 31 km km mkmk k kkk 2 2 93 3 1 3 k k 综上可知，PE PF为定值3 20解:（1）由题意，得( )ln(1)ecos x fxaxax 因为0 x为函数( )f x的极值点， 所以(0)ln0faa 令( )ln(0)g xxx x，显然 a 是( )g x的零点 则 1 ( )10g x x ，
19、( )g x在(0,)上单调递增， 因为(1)0g， 111e lnln0 2222 g ， 所以( )ln(0)g xxx x在 1 ,1 2 上有唯一的零点 a， 所以 1 1 2 a （2）由（1）知，ln,( )sine x aa f xaxx ， ( )cos(1)e x fxaxx 当(,0)x 时，由0a ，1cos1x ，11x，e1 x 得，( )0fx， 所以( )f x在(,0)上单调递减，( )(0)0f xf， 所以( )f x在区间(,0)上不存在零点 当(0, )x时，设( )cos(1)e x h xxx ，则( )(2)esin x h xxx ， （）若0,
20、 2 x ，令( )(2)esin x m xxx ， 则( )(3)ecos0 x m xxx ， 所以( )m x在0, 2 上单调递减 因为(0)20m， 2 2e10 22 m ； 所以存在0, 2 ，满足( )0m 当(0, )x时，( )( )0m xh x，( )h x在(0,)上单调递增； 当, 2 x 时，( )( )0m xh x，( )h x在, 2 上单调递减 （）若,2 2 x ，令( )(2)e x xx ，,2 2 x ， 则( )(3)e0 x xx ， 所以( )x在区间,2 2 上单调递减， 所以 2 1 ( )2e 22e x 又因为 1 sinsin2s
21、in(2)sin 62 x ， 所以( )(2)esin0 x h xxx ，( )h x在,2 2 上单调递减 （）若(2, )x，则( )(2)esin0 x h xxx ， ( )h x在(2, )上单调递减 由（） 、 （） 、 （）得，( )h x在(0,)上单调递增，( )h x在(2, )单调递减 因为( )(0)0hh，( )(1)e10h ， 所以存在( , ) 使得( )0h， 所以，当(0,)x时，( )( )0fxh x，( )f x在(0,)上单调递增， 所以( )(0)0f xf； 当( , )x 时，( )( )0fxh x，( )f x在( , ) 上单调递减， 因为( )(0)0ff，( )0f， 所以( )f x在区间( , ) 上有且只有一个零点， 综上，( )f x在区间(, )上的零点个数为 2
